五軸加工中心旋轉軸幾何誤差元素區別建模辨識技術

鄭華林 項錫平 胡 騰 米 良 劉 雁

1.西南石油大學機電工程學院，成都，610500

2.中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，綿陽，621900

3.四川普什寧江機床有限公司,都江堰，611830

0 引言

五軸加工中心是航空航天、汽車和軍事領域中使用最廣泛的數字制造設備之一，其空間誤差對加工精度有顯著影響。現階段，如何準確辨識旋轉軸幾何誤差元素已成為機床空間誤差建模過程中亟待解決的關鍵共性問題。

旋轉軸幾何誤差元素定義方法[1]有絕對表示法和相對表示法兩種。絕對表示法中定義了每根旋轉軸4項位置無關幾何誤差元素(position-independent geometric error elements, PIGE)和6項位置相關幾何誤差元素(position-dependent geometric error elements, PDGE)。針對PIGE，IBARAKI等[2]提出相對表示法更有利于表示旋轉軸之間的運動關系，如BC擺頭轉臺型五軸加工中心，根據相對表示法可定義B軸2項PIGE，C軸6項PIGE。近年來，國內外學者提出了各種間接測量方法[2-6]來檢測五軸加工中心精度。借助激光跟蹤儀[5]提出通過點測量和位姿測量對刀尖點位置誤差和刀軸姿態誤差進行標定的方法，該方法需要采集大量數據點，適合大型數控機床。R-test測量儀[6]由于沒有相關規范，故會因傳感器的不同而導致測量算法和測量精度各有不同。球桿儀[2]由于測量方便、使用簡單，被廣泛應用于小型五軸加工中心旋轉軸幾何誤差的測量與辨識。

基于球桿儀的旋轉軸幾何誤差元素辨識方法有很多，XIANG等[7-8]提出了僅控制待測旋轉軸運動的方法，通過規劃球桿儀測量軌跡辨識了旋轉軸8項PIGE和10項PDGE。郭世杰等[9-10]建立了基于圓軌跡的4種測量模式，辨識了兩根旋轉軸10項PIGE，提出了5次安裝法，辨識了兩根旋轉軸12項PDGE。JIANG等[11]提出了兩根旋轉軸聯動的測量軌跡，解決了兩根旋轉軸同時運動時合成速度與球桿儀采樣頻率間不同步的問題，辨識了旋轉軸8項PIGE。以上研究方法在辨識過程中大多單獨辨識這兩種幾何誤差元素中的一種，缺少對PIGE與PDGE之間耦合作用的探討。

目前，很少有研究注意到旋轉軸PDGE建模方式與定義之間的聯系。HUANG等[12]針對旋轉軸誤差定義模糊的問題，分析了“部件偏移”和“軸線偏移”兩種旋轉軸誤差定義，對這兩種誤差進行建模與對比，采用球桿儀檢測以驗證誤差模型的準確性。DING等[13]分析了旋轉軸誤差定義中兩種不同的模型，即“error first”模型和“motion first”模型，根據“左基右一”原則，error first模型中誤差元素定義在旋轉軸理想坐標系下，motion first模型中誤差元素定義在旋轉軸實際坐標系下。付國強等[14]提出了六圈法，假設旋轉軸零位置處6項PDGE為0，辨識出每根旋轉軸10項幾何誤差元素。項四通[15]提出了迭代解耦的辨識方法，其中PIGE和PDGE都采用error first模型建模，辨識得到C軸PDGE。根據創成機理，PIGE主要是裝配產生的誤差[4,12,16]，可以將PIGE理解為部件偏移，適合采用error first模型進行建模；PDGE主要是零部件制造產生的誤差[4,12,16]，可以將PDGE理解為軸線偏移，適合采用motion first模型進行建模。

不難看出，現階段研究辨識的過程中大多單獨辨識這兩種幾何誤差元素中的一種或在建模時未考慮兩類誤差元素建模的差異性，由此可能導致旋轉軸幾何誤差元素的完整性受到一定程度影響或無法體現幾何誤差元素本征屬性等問題，不利于為機床精度反演提供理論與數據支持。為此，本文提出一種基于建模差異性的五軸加工中心旋轉軸幾何誤差元素辨識方法，同時辨識旋轉軸PIGE與PDGE。

1 旋轉軸幾何誤差元素定義

1.1 五軸加工中心運動鏈分析

以某BC擺頭轉臺型五軸加工中心為研究對象，其結構示意圖見圖1a。其中，OM是機床坐標系MCS(OMXYZ)原點，X、Y、Z軸行程分別為700 mm、400 mm、500 mm，B、C軸旋轉運動角度范圍分別為[-5°，115°]和[0°，360°]。根據多體系統理論，該機床運動學拓撲結構可分解為圖1b所示的兩個運動鏈，即刀具鏈(F-X-Z-Y-B-T)和工件鏈(F-C-W)。在金屬切削過程中，切削成形點可以視為上述兩運動鏈末端的交點。

(a)結構示意 (b)拓撲示意

1.2 旋轉軸PIGE定義

圖2 基于相對表示法的旋轉軸PIGE定義

1.3 旋轉軸PDGE的定義

根據ISO 230-7，每個旋轉軸的PDGE由6項參數組成。以C軸為例，如圖3所示，PDGE包含的6項參數分別為δxC、δyC、δzC、εxC、εyC和εzC。其中，δ和ε分別代表線性誤差元素和角度誤差元素；下角標x、y和z代表C軸PDGE的誤差方向。同理，B軸PDGE也可以采用類似的方式定義。

圖3 C軸 PDGE的定義[1]

2 旋轉軸幾何誤差元素辨識理論

2.1 旋轉軸運動學建模

齊次坐標變換是構建五軸數控機床運動學模型的最常用方法之一[9, 14]。由于所有幾何誤差元素都可以視為名義運動以外的微小運動，因此兩條運動鏈末端的最終位置可以表達為名義運動和誤差微小運動的綜合結果。

設EI,B、ED,B和EI,C、ED,C分別表示B軸和C軸的PIGE及PDGE，根據第1節中關于旋轉軸幾何誤差元素的定義，有

(1)

圖4 兩旋轉軸初始位置關系

(2)

(3)

令li和lr分別等于機床兩運動鏈末端PT和PW之間的初始距離和運動后最終距離，則兩末端之間的距離變化量

(4)

值得說明的是，辨識基本方程組不包含B軸PDGE，其辨識方程亦可按上述方法推導構建。在旋轉軸運動設計構思時，需在B軸旋轉的同時確保C軸靜止。由于篇幅限制，在此不再贅述。

2.2 Δl測量策略

為了辨識式(2)～(4)中PIGE和PDGE包含的14個幾何誤差元素，提出圖5所示的三種測量策略[17-18]。其中，Owb與Otb分別代表球桿儀(名義長度l)兩端小球的球心，下標wb、tb分別表示工件端小球、刀具端小球。根據測量過程中球桿儀軸線與Owb軌跡間的幾何關系，三種測量策略被分別命名為徑向、切向和軸向測量策略。

(a)徑向測量策略 (b)切向測量策略 (c)軸向測量策略

(5)

(6)

利用CAM軟件生成上述各測量策略的NC代碼并運行，記錄球桿儀所測的瞬時桿長變化量，亦即Owb與Otb間距離變化Δl，進而將測試數據代入式(4)。由于未知參數個數(待辨識的旋轉軸幾何誤差元素個數)大于基本辨識方程個數，為避免出現靜不定問題，須針對各測量策略設置不同安裝參數(包括H和rC)，以構建足夠的辨識方程。

2.3 旋轉軸幾何誤差元素辨識方法

2.3.1PIGE辨識方法

測量時，球桿儀桿長變化Δl由加工中心空間誤差所致，而空間誤差是機床直線軸、旋轉軸幾何誤差元素綜合作用的結果。五軸加工中心直線軸誤差元素可利用激光干涉儀進行測量，預先通過NC代碼補償方式對直線軸幾何誤差進行控制，從而假定直線軸沒有引入誤差，此時Δl僅取決于旋轉軸誤差元素，即

Δl=ΔlEI,B+ΔlED,B+ΔlEI,C+ΔlED,C

(7)

式中，ΔlEI,B、ΔlED,B、ΔlEI,C和 ΔlED,C為球桿儀桿長變化分量，分別由EI,B、ED,B、EI,C和ED,C引起。

由辨識基本方程推導過程可知，ΔlED,B對Δl無貢獻量(B軸保持靜止),因此，圖5所示各測量策略中，球桿儀Δl為

Δl=ΔlEI,B+ΔlEI,C+ΔlED,C

(8)

為辨識B軸PIGE，采用圖5所示徑向測量策略，并使工作臺(C軸)保持靜止，故ΔlED,C= 0，式(1)中ED,C可視為單位矩陣。此時，式(8)可進一步改寫為

Δl=ΔlEI,B+ΔlEI,C

(9)

此時，Owb、Otb和OM之間的幾何和運動學關系如圖6所示。省略測量結果的二次項，長度分量ΔlEI,B和ΔlEI,C分別為

(10)

其中，ex和ey可由加工中心CNC系統讀取。將式(10)代入式(9)，有

Δl=(δx,B-ex)cosθ+(rBεx,B-ey)sinθ

(11)

圖6 C軸靜止時球桿儀運動示意圖

式(11)中包含2項B軸PIGE，為便于求解，需利用4個特定相位處球桿儀的Δl，取θ分別為0°、90°、180°和270°。進而，δx,B和εx,B可以借助下式進行辨識：

(12)

為辨識C軸PIGE包含的6項誤差元素，還須借助圖5所示切向及軸向測量策略。

ΔlED,C≈0

(13)

故仍可基于式(8)辨識EI,C。對應各測量策略，將第1節中各PIGE定義代入式(8)，整理可得

(14)

ΔlEI,B可聯立式(11)、式(12)求得。同理，利用特定旋轉相位，可得C軸各PIGE計算方程:

(15)

式中，安裝參數rC和H的下標數字表示4個特定旋轉相位；Δl下標rad、tan和axi分別對應圖5中徑向、切向和軸向測量策略。

2.3.2PDGE辨識方法

考慮到B軸始終保持靜止，因而C軸PDGE是唯一需要辨識的位置相關幾何誤差元素。此時，2.3.1節中辨識所得旋轉軸PIGE則被視為已知參數。根據圖5中各測量策略，有

(16)

則C軸各項PDGE辨識方程為

(17)

(18)

為避免由于線性相關而導致的靜不定問題，安裝參數rC和H需滿足:

2.3.3基于迭代解耦的旋轉軸PIGE與PDGE分離辨識

2.3.1節中，為辨識C軸PIGE，忽略該軸各項PDGE，當C軸轉角為0時，若PDGE均為0，通過以上方法即可辨識得到旋轉軸幾何誤差元素準確值；但是若在C軸轉角為0時，PDGE不全為0，以上方法辨識的PIGE與PDGE解耦不完全，這對所提辨識方法的精準性帶來一定局限性。為解決這一問題,本文提出一種迭代解耦方法來對EI,C與ED,C進行有效、精準的分離辨識。

結合式(14)可看出，EI,C對球桿瞬時長度Δl的影響隨球桿旋轉相位不同而不同。這表明盡管旋轉軸PIGE與位置無關，但其對空間誤差的影響卻因位置不同而有所區分。其中，δx,C、δy,C、εx,C和εy,C對Δl的影響可視為一類隨旋轉角度變化的諧函數；而δz,C和εz,C對Δl的影響則可分別視為一類線性和角度的常量偏移。由此可推斷，初始辨識所得ED,C中存在由EI,C所致的耦合成分，即

(19)

式中，上標c、d、r分別表示含耦合項C軸PDGE、解耦的C軸PDGE和C軸殘余PIGE。

考慮到殘余EI,C的諧波效應和偏移效應，通過式(17)初步辨識的ED,C可以表示為以下形式：

(20)

根據EI,C的殘差效應，采用一階離散Fourier擬合ED,C(0)，ED,C(0)可以表示為

(21)

式中：a0(0)、a1(0)和b1(0)為常系數；$1(0)、$2(0)分別視為殘差EI,C引起的偏移效應分量和諧波效應分量。

因此，由式(15)辨識所得初始EI,C可寫作：

EI,C(1)=EI,C(0)+a0(0)

(22)

EI,C(1)=EI,C(0)+a1(0)cosθ+b1(0)sinθ

(23)

式(22)和式(23)分別用于分離ED,C中的偏移效應分量和諧波效應分量。將式(22)、式(23)所得C軸PIGE迭代值代入式(17)，對ED,C進行解耦辨識。由于PDGE可以看成偏離幾何誤差均值的波動量[19]，所以，假設ED,C為0附近的波動量，迭代解耦過程的收斂條件可以寫成

|(ED,C(i+1))ave|≤ε

(24)

式中，下標ave表示第i+1次迭代解耦所得C軸PDGE算術平均值；ε為預設收斂閾值。

一旦滿足收斂條件，EI,C和ED,C即可成功解耦，從而大大提高C軸幾何誤差元素的辨識精度。至此，整個迭代解耦過程可以表達為圖7所示流程圖。

圖7 C軸PIGE和PDGE迭代解耦流程圖

3 區別建模辨識方法驗證

3.1 仿真驗證

將C軸預設幾何誤差元素代入旋轉軸運動學模型，可計算機床兩運動鏈末端間距變化Δl；進而，利用計算所得Δl，并基于所提迭代解耦方法對C軸幾何誤差元素進行分離辨識。將辨識結果與預設數據分別進行對比，如表1和表2、圖8和圖9所示。其中，|0°表示C軸回轉角度為0°時的取值；上標pre與ident_iter分別表示預設值與迭代辨識值。

表1 預設EI,C和ED,C|0°

表2 解耦辨識所得EI,C

(a)預設

(a)預設

上述對比分析說明，所提迭代解耦方法能有效、精確地分離辨識機床旋轉軸位置無關與位置相關幾何誤差元素。

3.2 實驗驗證

為進一步驗證所提解耦辨識方法，以Renishaw QC20-W球桿儀為測量設備，在NJ-5HMC40五軸加工中心上開展幾何誤差測量實驗，如圖10所示。測量前，先通過NC代碼補償方式對直線軸幾何誤差元素的影響進行控制，假定直線軸沒有引入誤差。同時，為降低熱誤差對測量結果的影響，測量過程在恒溫環境中進行。

(a)徑向測量 (b)切向測量 (c)軸向測量

在C軸幾何誤差元素辨識方法中，設置了三組徑向策略安裝參數rC，分別為rC2、rC3、rC4，取rC2、rC4實驗桿長變化測得結果進行幾何誤差元素辨識，取rC3實驗桿長變化測量結果與預測結果進行對比。基于辨識出的PIGE和PDGE，獲得桿長變化量的預估值，對比結果如圖11所示。結果顯示，預測結果與實測結果最大誤差不超過0.005 mm，因此，所提辨識方法可以有效和準確地辨識旋轉軸幾何誤差元素，為構建空間誤差提供準確的旋轉軸幾何誤差元素數據。

圖11 測量和預測桿長變化數據對比

4 結論

精確辨識旋轉軸幾何誤差元素是構建五軸加工中心空間誤差模型的核心基礎。以多體系統動力學和齊次坐標變換為理論基礎，構建了BC擺頭轉臺型五軸加工中心旋轉軸運動學模型，推導了旋轉軸幾何誤差元素辨識基本方程；借助球桿儀開展了實驗研究，為求解辨識基本方程獲取了必要參數，提出了一種旋轉軸幾何誤差元素解耦辨識方法。

(1)對旋轉軸PIGE和PDGE的耦合機制進行了系統分析與討論，并在此基礎上，詳細闡述了基于區別建模的旋轉軸位置無關與位置相關幾何誤差元素迭代解耦分離辨識方法體系。

(2)基于虛擬樣機開展了數值仿真實驗，并借此對所提解耦辨識方法進行了驗證，結果對比顯示，所提辨識方法能有效、精確地分離辨識旋轉軸PIGE和PDGE。

(3)設置了驗證實驗，取一組桿長變化測量與預測結果進行對比，進一步驗證了區別建模解耦辨識方法。