數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“教”“學(xué)”“評(píng)”一致的實(shí)踐與思考

黃炳鋒

（福州第三中學(xué)，福建 福州 350003）

隨著教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（下文簡(jiǎn)稱“《課標(biāo)（2017 年版）》”）的發(fā)布，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被廣為推介，學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課程如何落實(shí)以學(xué)科核心素養(yǎng)為綱，引發(fā)熱議.數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，而“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”又是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一，作為核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)建模”與課程內(nèi)容的“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”有何區(qū)別，“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”與“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”有何聯(lián)系，“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”如何開(kāi)展、評(píng)價(jià)，核心素養(yǎng)是可教、可學(xué)、可測(cè)評(píng)的，“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”如何做到“教”“學(xué)”“評(píng)”一致等問(wèn)題，引起關(guān)注與思考.本文擬以《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A 版）》必修一的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”為例，從教學(xué)建議、學(xué)法指導(dǎo)與評(píng)價(jià)實(shí)例三個(gè)角度加以闡述.

一、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)辨析

（一）數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是數(shù)學(xué)課程新增內(nèi)容

與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003 實(shí)驗(yàn)版）》（下文簡(jiǎn)稱“《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》”）相比，《課標(biāo)（2017 年版）》將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為一條主線，納入課程內(nèi)容，設(shè)置了教學(xué)課時(shí)，設(shè)計(jì)了評(píng)價(jià)方式，并要求將結(jié)果放入學(xué)生綜合評(píng)價(jià)檔案袋中，因此，“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”被稱為新增內(nèi)容.［1］但實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)并非本輪課改首次提出.

上一輪課改《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》在“課程基本理念”中就提出“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”，通過(guò)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生形成“積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式”，從而“激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣”，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成“獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣”.在“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中專門闡述了“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化”的教學(xué)要求，給出教學(xué)建議.

可以肯定，上一輪課改《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》的實(shí)施，已經(jīng)為《課標(biāo)（2017 年版）》增加“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”為主線內(nèi)容做了必要的準(zhǔn)備.

（二）數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是四條主線內(nèi)容之一

《課標(biāo)（2017 年版）》將“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)合并，設(shè)計(jì)為四大主題，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程的學(xué)習(xí)中，但“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”主題與其他主題在“內(nèi)容要求”“教學(xué)提示”與“學(xué)業(yè)要求”上的闡述均有明顯差異，其他主題在“內(nèi)容要求”上，按單元?jiǎng)澐郑谐鲋黝}的教學(xué)核心內(nèi)容，提出單元的教學(xué)目標(biāo)，而“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”在“內(nèi)容要求”上并沒(méi)有列出“核心內(nèi)容”，只給出數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的內(nèi)容本質(zhì)和基本過(guò)程；在“教學(xué)提示”上，不是結(jié)合具體單元內(nèi)容給出提示與建議，而是以課題研究過(guò)程中的環(huán)節(jié)給出建議與要求；在“學(xué)業(yè)要求”上，不是列出單元學(xué)習(xí)達(dá)成目標(biāo)與要求，而是給出學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的方法，要求學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全過(guò)程，完成課題研究.

由此可見(jiàn)，雖同為主線，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與其他主線不同，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)沒(méi)有安排核心內(nèi)容，這意味著，這條主線內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不具體依托某個(gè)知識(shí)與技能，也可以說(shuō)依托所有其他主線的內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)建模主題的學(xué)習(xí)，教學(xué)重在過(guò)程與方法；給出的“教學(xué)提示”與“學(xué)業(yè)要求”也突出了“過(guò)程與方法”的評(píng)價(jià).

（三）數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)關(guān)系

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都可以從“概念內(nèi)涵，學(xué)科價(jià)值，具體內(nèi)容，學(xué)生表現(xiàn)，水平層次”等五個(gè)方面加以闡述，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)也是如此.

從素養(yǎng)的角度看數(shù)學(xué)建模，應(yīng)注意“概念內(nèi)涵”所揭示的數(shù)學(xué)建模的屬性，把握其在“屬性”上的定位.有三層含義：第一，數(shù)學(xué)建模包括了對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象；第二，數(shù)學(xué)建模需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題；第三，數(shù)學(xué)建模關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.結(jié)合聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外顯性行為（過(guò)程、步驟）的描述，不難看出，數(shù)學(xué)建模聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：基于現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”的過(guò)程，進(jìn)而發(fā)展“四能”（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力、提出問(wèn)題能力、分析問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力），從而達(dá)到“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述現(xiàn)實(shí)世界）.基于上述分析，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵是極其豐富的，它與其他五個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)直接關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不僅體現(xiàn)在解決一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的問(wèn)題，而且還蘊(yùn)涵著方法、思想、價(jià)值判斷與選擇，乃至數(shù)學(xué)的精神與解決問(wèn)題的態(tài)度.

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一類綜合實(shí)際活動(dòng)，是基于數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)視角，“對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象”“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題”“用數(shù)學(xué)方法（主要是模型思想）解決實(shí)際問(wèn)題”的過(guò)程之統(tǒng)稱.《課標(biāo)（2017 年版）》指出，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)主要包括“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”“提出問(wèn)題”“分析問(wèn)題”“構(gòu)建模型”“確定參數(shù)”“計(jì)算求解”“驗(yàn)證結(jié)果”“改進(jìn)模型”“解決問(wèn)題”等環(huán)節(jié).從過(guò)程可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)需要數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的強(qiáng)力支持.

從活動(dòng)的角度看數(shù)學(xué)建模，應(yīng)注意“活動(dòng)內(nèi)涵”所揭示的數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)，應(yīng)以課題研究的形式開(kāi)展，并把握其在“內(nèi)容”上的定位：第一，層次上可分為“了解數(shù)學(xué)概念的背景，重要結(jié)果直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)結(jié)果綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模”等，并逐級(jí)提升；第二，認(rèn)識(shí)上可從“了解數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)建模主要步驟”“數(shù)學(xué)建模主要過(guò)程”到“實(shí)踐數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”逐步深入；第三，過(guò)程上可遵循課題研究的四個(gè)環(huán)節(jié)，如圖1.

圖1

比較數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可以看出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是從學(xué)科角度提出的課程目標(biāo)，可分解到教學(xué)目標(biāo)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)需要結(jié)合各主線內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)可以教學(xué)，可以習(xí)得，也可以測(cè)評(píng)，形成并發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的渠道不止于數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)也與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)用，可以按“情境與問(wèn)題”“知識(shí)與技能”“思維與表達(dá)”“交流與反思”等四個(gè)方面，并分為三個(gè)水平執(zhí)行；而數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是從課程角度提出的學(xué)習(xí)任務(wù)，它可以在活動(dòng)中提升“四能”，養(yǎng)成“三會(huì)”，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)亦可教可學(xué)，評(píng)價(jià)的關(guān)鍵是過(guò)程與方法.

二、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“教“學(xué)”“評(píng)”過(guò)程例析

（一）整體設(shè)計(jì)，分層實(shí)施主題教學(xué)

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)貫穿高中數(shù)學(xué)必修課程與選擇性必修課程全過(guò)程，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)不能僅依靠劃定的幾個(gè)課時(shí)，而應(yīng)全盤考慮.數(shù)學(xué)建模活動(dòng)具有綜合性強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與其他5 個(gè)核心素養(yǎng)也是聯(lián)系緊密、相互交融，所以數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)需要一個(gè)漸進(jìn)的而又有層次的整體設(shè)計(jì)，并借助主題教學(xué)實(shí)施，從數(shù)學(xué)知識(shí)的直接應(yīng)用與滲透到完整數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的實(shí)施，以“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”為例，可設(shè)計(jì)如下漸進(jìn)的層次.

第一，引入實(shí)際情境（如函數(shù)概念的四個(gè)實(shí)例），幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，在概念教學(xué)中提升并發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；

第二，直接套用實(shí)際情境中提供的函數(shù)式、公式等計(jì)算有實(shí)際意義的結(jié)果（如函數(shù)值，函數(shù)的表示），在例題教學(xué)中提升并發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

第三，間接套用實(shí)際情境中提供的概念式、公式等計(jì)算有實(shí)際意義的結(jié)果或者解釋、說(shuō)明、得到結(jié)果的實(shí)際意義（如函數(shù)的應(yīng)用一），在例題教學(xué)中提升并發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

第四，在實(shí)際問(wèn)題中，引領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)化的、簡(jiǎn)單具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用（如函數(shù)的應(yīng)用二的4 個(gè)實(shí)例）；

第五，在實(shí)際情境中，引導(dǎo)學(xué)生自主完成數(shù)學(xué)化的、簡(jiǎn)單具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用（如第四章小結(jié)，復(fù)習(xí)題）；

第六，教師提供實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，在教師指導(dǎo)下學(xué)生完成“建立模型”和“模型求解”的主要過(guò)程（如數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”中的建模實(shí)例）；

第七，學(xué)生部分自主（發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題，模型的選擇和建立，求解模型，給出模型結(jié)果的解釋）、教師部分參與（給予指導(dǎo)和幫助），完成數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全部過(guò)程（選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題）（如可在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中繼續(xù)補(bǔ)充一些實(shí)例）；

第八，全過(guò)程、全自主（自主決定是否尋求教師的幫助）的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（如數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中開(kāi)展的課題研究）.

日常教學(xué)中，注重在函數(shù)主線中對(duì)“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”的逐步滲透，要有意識(shí)地達(dá)到第一、二、三、四的層次要求，在章節(jié)復(fù)習(xí)中提升到第五的要求，第六、七、八是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的專項(xiàng)要求，可分散難點(diǎn)，逐步解決“數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，選擇做到某層次（如達(dá)到第六也可）.

（二）借助工具，化解收集數(shù)據(jù)困難

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的實(shí)例教學(xué)，在數(shù)據(jù)收集環(huán)節(jié)，由于工具缺乏等原因，收集數(shù)據(jù)成為難點(diǎn)，但這個(gè)環(huán)節(jié)不能少也不能由教師代辦，應(yīng)組織學(xué)生以“小組合作參與全部流程、分工完成”的形式，因地制宜地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).為適合不同學(xué)校學(xué)生的情況，教材提出“我們可以利用秒表、溫度計(jì)等工具”，但實(shí)際上茶水溫度變化太快，利用“普通工具+人工記錄”的方法會(huì)有很大誤差，因此教材也提示“若用計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術(shù)更好”，鼓勵(lì)融合使用信息技術(shù)支持?jǐn)?shù)據(jù)收集工作.實(shí)際教學(xué)中，我們用空調(diào)進(jìn)行室溫調(diào)節(jié)，保證實(shí)驗(yàn)環(huán)境室溫保持25℃；用開(kāi)水沖泡相同數(shù)量的茶葉，保證茶水的品質(zhì)一樣，而且起始溫度都能略超過(guò)85℃；用相同的容器盛茶水，保證茶水總水量不變；用能自動(dòng)記錄數(shù)據(jù)的溫度傳感器收集茶水水溫與相應(yīng)時(shí)間，并且設(shè)定記錄間隔時(shí)間分別為10s，20s，…，60s，…經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，結(jié)合多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)每隔1min 記錄的數(shù)據(jù)能較好地通過(guò)散點(diǎn)圖反映出函數(shù)模型，于是取多次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、四舍五入處理，得到一組數(shù)據(jù).

這里有幾點(diǎn)需要特別說(shuō)明：

第一，收集數(shù)據(jù)是必要的，需要學(xué)生參與收集數(shù)據(jù)的實(shí)踐，學(xué)生重在參與數(shù)據(jù)收集的過(guò)程，數(shù)據(jù)有誤差不影響數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開(kāi)展，但為了體現(xiàn)科學(xué)精神，可以提出“如何保證收集的數(shù)據(jù)更精確”等問(wèn)題供學(xué)生思考；

第二，實(shí)驗(yàn)環(huán)境室溫不一定恰好保持25℃，在問(wèn)題呈現(xiàn)時(shí)，改變室溫條件與相應(yīng)的函數(shù)模型的參數(shù)即可；

第三，影響茶水溫度變化的因素很多，比如空氣濕度、大氣壓、茶水容器等，為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，我們只考慮一般情況下，茶水溫度與時(shí)間的關(guān)系，教學(xué)時(shí)不必過(guò)多涉及其他因素，干擾教學(xué)進(jìn)程；

第四，實(shí)驗(yàn)環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致.

（三）融合技術(shù)，解決建模關(guān)鍵環(huán)節(jié)

分析數(shù)據(jù)、建立模型與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菍?shí)例教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中確定函數(shù)模型的基本步驟.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學(xué)生可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為模型，而選用y=kax+b函數(shù)模型的理由，教材已經(jīng)給出：觀察散點(diǎn)圖的分布狀況，并考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，可選擇函數(shù)y=kax+25（k∈R，0＜a＜1，x≥0）來(lái)近似刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律.實(shí)際教學(xué)中，可利用信息技術(shù)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生選用其他幾個(gè)基本初等函數(shù)模型進(jìn)行擬合，并判斷擬合效果，從而找到合適的函數(shù)模型.以教科書提供的數(shù)據(jù)為例，不同的函數(shù)模型擬合情況如下：

用一次函數(shù)f（x）=a+bx擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=83.6219-3.8874x，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9820（圖1-1）、散點(diǎn)圖（圖1-2）與殘差圖（圖1-3）可以看出吻合程度較好.

圖1-1

圖1-2

圖1-3

用二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=0.3457x2-5.6160x+84.7743，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9986（圖2-1）、散點(diǎn)圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度比一次函數(shù)擬合要好.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

用指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=83.8891×0.9490x，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9910（圖2-1）、散點(diǎn)圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度很高.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

用指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx+25 擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=59.0532×0.9239x+25，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9943（圖2-1）、散點(diǎn)圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度更高.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

注：若經(jīng)過(guò)更多數(shù)據(jù)擬合驗(yàn)證，可發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx+25 擬合相關(guān)指數(shù)大于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c擬合相關(guān)指數(shù)，且在四種效果中最佳.

教學(xué)中還應(yīng)注意，選擇擬合函數(shù)模型y=kax+25 之后，教科書在參數(shù)k與a值的確定方法上并不相同.k值的確定用的是起始狀態(tài)的實(shí)際情況，即當(dāng)x=0 時(shí)，y=85，解得k=60.盡管a的值也可以由一對(duì)（x，y）唯一確定，但教科書并不直接用表1 的一組數(shù)據(jù)代入求a，而用多組數(shù)據(jù)的比的均值求a，像這種采用平均值作為衰減比例來(lái)建立函數(shù)關(guān)系式的方法，在解決實(shí)際問(wèn)題中不僅常用，而且與k值的確定一樣具有統(tǒng)計(jì)意義.教科書在邊框位置提出是否有差異的思考，教學(xué)時(shí)可作如下引導(dǎo)：事實(shí)上，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)常識(shí)，要分析的隨機(jī)變量越少越好，而每個(gè)變量獲得的樣本信息越多越好.因?yàn)殡S機(jī)變量越少，分析的過(guò)程就會(huì)越簡(jiǎn)單，而樣本容量越大，分析的結(jié)果就會(huì)越可靠.［2］根據(jù)這一常識(shí)，就不難理解教科書在k值的處理上，是希望減少要分析的隨機(jī)變量；a值的確定上用了多個(gè)數(shù)據(jù)，而用這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為這些數(shù)據(jù)的代表，是期望其與各個(gè)數(shù)據(jù)方差是最小，模型的吻合程度更高.

三、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開(kāi)放與過(guò)程性評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的評(píng)價(jià)檢測(cè)還在實(shí)踐并積極探索中，考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題也不斷涌現(xiàn)，本文以兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的“評(píng)”與“教”“學(xué)”是一致的.

例1 網(wǎng)上購(gòu)鞋常常看到“腳長(zhǎng)與鞋號(hào)對(duì)應(yīng)表”，如下.

（1）據(jù)此你能提出什么問(wèn)題？

（2）某籃球運(yùn)動(dòng)員的鞋號(hào)為53，你能想辦法推測(cè)他的大致身高嗎？

評(píng)析：本題根據(jù)提供的數(shù)據(jù)考查數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中的若干“環(huán)節(jié)”.數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的一個(gè)基本環(huán)節(jié)就是提出問(wèn)題，“提出問(wèn)題”的層次能反映數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平，如數(shù)據(jù)之間一般化、規(guī)律性結(jié)論的發(fā)現(xiàn)就屬較高水平.第二個(gè)問(wèn)題的解決方法是開(kāi)放的，如可借助采集數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)“身高大致是腳長(zhǎng)的7 倍”等，并利用腳長(zhǎng)與鞋號(hào)的一般規(guī)律進(jìn)行推測(cè)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模活動(dòng)“過(guò)程與方法”的考查，解決問(wèn)題需要基于數(shù)據(jù)分析的基本方法和模型特征的學(xué)習(xí)過(guò)程，以及在建模實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn).

例2 2017 年考古學(xué)家在郫都區(qū)古城遺址挖掘出竹木器遺存，檢測(cè)發(fā)現(xiàn)竹木器的碳14 的殘留量約為64%.一般認(rèn)為死亡生物體內(nèi)碳14 的殘留量每隔5730年減為一半，據(jù)此估計(jì)制作竹木器的年代是（）（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.30）.

A.公元前1421 年 B.公元前1803 年

C.公元前2460 年 D.公元前5317 年

評(píng)析：本題是常規(guī)試題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)衰減模型計(jì)算有實(shí)際意義的結(jié)果，對(duì)制作竹木器的年代進(jìn)行估計(jì)，在考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的過(guò)程中，突出數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的過(guò)程評(píng)價(jià).

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可教、可學(xué)、可測(cè)評(píng)，其重要性不言而喻，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)進(jìn)入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流，［3］本文旨在引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)的重視，并有序?qū)嵺`之.