數學建模活動“教”“學”“評”一致的實踐與思考

黃炳鋒

（福州第三中學，福建 福州 350003）

隨著教育部制定的《普通高中數學課程標準（2017 年版）》（下文簡稱“《課標（2017 年版）》”）的發布，數學核心素養被廣為推介，學科核心素養是育人價值的集中體現，高中數學課程如何落實以學科核心素養為綱，引發熱議.數學建模是高中數學學科六大核心素養之一，而“數學建模活動與數學探究活動”又是數學課程內容的四條主線之一，作為核心素養的“數學建模”與課程內容的“數學建模活動”有何區別，“數學建模素養”與“數學建模活動”有何聯系，“數學建模活動”如何開展、評價，核心素養是可教、可學、可測評的，“數學建模活動”如何做到“教”“學”“評”一致等問題，引起關注與思考.本文擬以《普通高中教科書·數學（人教A 版）》必修一的數學建模活動“建立函數模型解決實際問題”為例，從教學建議、學法指導與評價實例三個角度加以闡述.

一、數學建模活動辨析

（一）數學建模活動是數學課程新增內容

與《普通高中數學課程標準（2003 實驗版）》（下文簡稱“《課標（實驗版）》”）相比，《課標（2017 年版）》將“數學建模活動與數學探究活動”作為一條主線，納入課程內容，設置了教學課時，設計了評價方式，并要求將結果放入學生綜合評價檔案袋中，因此，“數學建模活動與數學探究活動”被稱為新增內容.［1］但實際上，數學建模活動并非本輪課改首次提出.

上一輪課改《課標（實驗版）》在“課程基本理念”中就提出“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”，通過設立“數學探究”“數學建模”等學習活動，培養學生形成“積極主動的、多樣的學習方式”，從而“激發學生的數學學習興趣”，在學習過程中，養成“獨立思考、積極探索的習慣”.在“內容標準”中專門闡述了“數學探究、數學建模、數學文化”的教學要求，給出教學建議.

可以肯定，上一輪課改《課標（實驗版）》的實施，已經為《課標（2017 年版）》增加“數學建模活動與數學探究活動”為主線內容做了必要的準備.

（二）數學建模活動是四條主線內容之一

《課標（2017 年版）》將“數學建模活動與數學探究活動”與函數、幾何與代數、概率與統計合并，設計為四大主題，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程的學習中，但“數學建模活動與數學探究活動”主題與其他主題在“內容要求”“教學提示”與“學業要求”上的闡述均有明顯差異，其他主題在“內容要求”上，按單元劃分，列出主題的教學核心內容，提出單元的教學目標，而“數學建模活動”在“內容要求”上并沒有列出“核心內容”，只給出數學建模活動的內容本質和基本過程；在“教學提示”上，不是結合具體單元內容給出提示與建議，而是以課題研究過程中的環節給出建議與要求；在“學業要求”上，不是列出單元學習達成目標與要求，而是給出學業評價的方法，要求學生經歷數學建模活動的全過程，完成課題研究.

由此可見，雖同為主線，數學建模活動與其他主線不同，數學建模活動沒有安排核心內容，這意味著，這條主線內容的學習，不具體依托某個知識與技能，也可以說依托所有其他主線的內容進行數學建模主題的學習，教學重在過程與方法；給出的“教學提示”與“學業要求”也突出了“過程與方法”的評價.

（三）數學建模活動與數學建模素養關系

數學核心素養都可以從“概念內涵，學科價值，具體內容，學生表現，水平層次”等五個方面加以闡述，數學建模核心素養也是如此.

從素養的角度看數學建模，應注意“概念內涵”所揭示的數學建模的屬性，把握其在“屬性”上的定位.有三層含義：第一，數學建模包括了對現實問題的數學抽象；第二，數學建模需要用數學語言表達實際問題；第三，數學建模關鍵是用數學方法構建模型解決問題.結合聚焦學生數學學科核心素養的外顯性行為（過程、步驟）的描述，不難看出，數學建模聚焦學生數學學科核心素養的幾個關鍵環節：基于現實情境與數學抽象，構建數學模型，經歷“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，進而發展“四能”（發現問題能力、提出問題能力、分析問題能力、解決問題能力），從而達到“三會”（會用數學的眼光看、會用數學的思維想、會用數學的語言表述現實世界）.基于上述分析，數學建模素養的內涵是極其豐富的，它與其他五個數學學科核心素養直接關聯.數學建模素養不僅體現在解決一個數學應用的問題，而且還蘊涵著方法、思想、價值判斷與選擇，乃至數學的精神與解決問題的態度.

數學建模活動是一類綜合實際活動，是基于數學思維和數學視角，“對現實問題進行數學抽象”“用數學語言表達問題”“用數學方法（主要是模型思想）解決實際問題”的過程之統稱.《課標（2017 年版）》指出，數學建模活動主要包括“發現問題”“提出問題”“分析問題”“構建模型”“確定參數”“計算求解”“驗證結果”“改進模型”“解決問題”等環節.從過程可見，數學建模活動需要數學建模核心素養的強力支持.

從活動的角度看數學建模，應注意“活動內涵”所揭示的數學建模的特點，應以課題研究的形式開展，并把握其在“內容”上的定位：第一，層次上可分為“了解數學概念的背景，重要結果直接應用，數學結果綜合應用，數學建模”等，并逐級提升；第二，認識上可從“了解數學建模”“數學建模主要步驟”“數學建模主要過程”到“實踐數學建模活動”逐步深入；第三，過程上可遵循課題研究的四個環節，如圖1.

圖1

比較數學建模素養與數學建模活動可以看出，數學核心素養是從學科角度提出的課程目標，可分解到教學目標，形成和發展數學建模核心素養需要結合各主線內容，數學建模核心素養可以教學，可以習得，也可以測評，形成并發展數學建模核心素養的渠道不止于數學建模活動，評價數學建模核心素養也與其他數學核心素養應用，可以按“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”等四個方面，并分為三個水平執行；而數學建模活動是從課程角度提出的學習任務，它可以在活動中提升“四能”，養成“三會”，促進數學建模核心素養的形成與發展，數學建模活動亦可教可學，評價的關鍵是過程與方法.

二、數學建模活動“教“學”“評”過程例析

（一）整體設計，分層實施主題教學

數學建模活動貫穿高中數學必修課程與選擇性必修課程全過程，數學建模活動的教學不能僅依靠劃定的幾個課時，而應全盤考慮.數學建模活動具有綜合性強，數學建模素養與其他5 個核心素養也是聯系緊密、相互交融，所以數學建模活動的教學需要一個漸進的而又有層次的整體設計，并借助主題教學實施，從數學知識的直接應用與滲透到完整數學建模活動的實施，以“建立函數模型解決實際問題”為例，可設計如下漸進的層次.

第一，引入實際情境（如函數概念的四個實例），幫助學生理解函數概念，在概念教學中提升并發展數學抽象等核心素養；

第二，直接套用實際情境中提供的函數式、公式等計算有實際意義的結果（如函數值，函數的表示），在例題教學中提升并發展數學運算等核心素養；

第三，間接套用實際情境中提供的概念式、公式等計算有實際意義的結果或者解釋、說明、得到結果的實際意義（如函數的應用一），在例題教學中提升并發展數學抽象、數學運算等核心素養；

第四，在實際問題中，引領學生完成數學化的、簡單具體的數學應用（如函數的應用二的4 個實例）；

第五，在實際情境中，引導學生自主完成數學化的、簡單具體的數學應用（如第四章小結，復習題）；

第六，教師提供實際問題情境，學生自主發現并提出問題，在教師指導下學生完成“建立模型”和“模型求解”的主要過程（如數學建模活動“建立函數模型解決實際問題”中的建模實例）；

第七，學生部分自主（發現提出問題，模型的選擇和建立，求解模型，給出模型結果的解釋）、教師部分參與（給予指導和幫助），完成數學建模活動的全部過程（選題、開題、做題、結題）（如可在數學建模活動中繼續補充一些實例）；

第八，全過程、全自主（自主決定是否尋求教師的幫助）的數學建模活動（如數學建模活動中開展的課題研究）.

日常教學中，注重在函數主線中對“數學建模素養”的逐步滲透，要有意識地達到第一、二、三、四的層次要求，在章節復習中提升到第五的要求，第六、七、八是數學建模活動的專項要求，可分散難點，逐步解決“數學建模活動”的關鍵環節，根據學生實際情況，選擇做到某層次（如達到第六也可）.

（二）借助工具，化解收集數據困難

數學建模活動的實例教學，在數據收集環節，由于工具缺乏等原因，收集數據成為難點，但這個環節不能少也不能由教師代辦，應組織學生以“小組合作參與全部流程、分工完成”的形式，因地制宜地開展教學活動.為適合不同學校學生的情況，教材提出“我們可以利用秒表、溫度計等工具”，但實際上茶水溫度變化太快，利用“普通工具+人工記錄”的方法會有很大誤差，因此教材也提示“若用計算機、數據采集器、溫度傳感器等信息技術更好”，鼓勵融合使用信息技術支持數據收集工作.實際教學中，我們用空調進行室溫調節，保證實驗環境室溫保持25℃；用開水沖泡相同數量的茶葉，保證茶水的品質一樣，而且起始溫度都能略超過85℃；用相同的容器盛茶水，保證茶水總水量不變；用能自動記錄數據的溫度傳感器收集茶水水溫與相應時間，并且設定記錄間隔時間分別為10s，20s，…，60s，…經過多次實驗，結合多次實驗結果分析數據，我們發現每隔1min 記錄的數據能較好地通過散點圖反映出函數模型，于是取多次實驗的數據進行均值、四舍五入處理，得到一組數據.

這里有幾點需要特別說明：

第一，收集數據是必要的，需要學生參與收集數據的實踐，學生重在參與數據收集的過程，數據有誤差不影響數學建模活動的開展，但為了體現科學精神，可以提出“如何保證收集的數據更精確”等問題供學生思考；

第二，實驗環境室溫不一定恰好保持25℃，在問題呈現時，改變室溫條件與相應的函數模型的參數即可；

第三，影響茶水溫度變化的因素很多，比如空氣濕度、大氣壓、茶水容器等，為簡化數學建模活動，我們只考慮一般情況下，茶水溫度與時間的關系，教學時不必過多涉及其他因素，干擾教學進程；

第四，實驗環境、容器形狀、不同茶葉等影響，數據可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致.

（三）融合技術，解決建模關鍵環節

分析數據、建立模型與檢驗模型是實例教學的關鍵環節，因為這是數學建模活動中確定函數模型的基本步驟.通過觀察發現，散點圖的分布狀況呈遞減狀態，學生可能會提出各種遞減函數作為模型，而選用y=kax+b函數模型的理由，教材已經給出：觀察散點圖的分布狀況，并考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，可選擇函數y=kax+25（k∈R，0＜a＜1，x≥0）來近似刻畫茶水溫度隨時間變化的規律.實際教學中，可利用信息技術進一步引導學生選用其他幾個基本初等函數模型進行擬合，并判斷擬合效果，從而找到合適的函數模型.以教科書提供的數據為例，不同的函數模型擬合情況如下：

用一次函數f（x）=a+bx擬合，函數關系式為f（x）=83.6219-3.8874x，從相關指數R2=0.9820（圖1-1）、散點圖（圖1-2）與殘差圖（圖1-3）可以看出吻合程度較好.

圖1-1

圖1-2

圖1-3

用二次函數f（x）=ax2+bx+c擬合，函數關系式為f（x）=0.3457x2-5.6160x+84.7743，從相關指數R2=0.9986（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度比一次函數擬合要好.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

用指數型函數f（x）=a×bx擬合，函數關系式為f（x）=83.8891×0.9490x，從相關指數R2=0.9910（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度很高.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

用指數型函數f（x）=a×bx+25 擬合，函數關系式為f（x）=59.0532×0.9239x+25，從相關指數R2=0.9943（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度更高.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

注：若經過更多數據擬合驗證，可發現指數型函數f（x）=a×bx+25 擬合相關指數大于二次函數f（x）=ax2+bx+c擬合相關指數，且在四種效果中最佳.

教學中還應注意，選擇擬合函數模型y=kax+25 之后，教科書在參數k與a值的確定方法上并不相同.k值的確定用的是起始狀態的實際情況，即當x=0 時，y=85，解得k=60.盡管a的值也可以由一對（x，y）唯一確定，但教科書并不直接用表1 的一組數據代入求a，而用多組數據的比的均值求a，像這種采用平均值作為衰減比例來建立函數關系式的方法，在解決實際問題中不僅常用，而且與k值的確定一樣具有統計意義.教科書在邊框位置提出是否有差異的思考，教學時可作如下引導：事實上，根據數理統計學常識，要分析的隨機變量越少越好，而每個變量獲得的樣本信息越多越好.因為隨機變量越少，分析的過程就會越簡單，而樣本容量越大，分析的結果就會越可靠.［2］根據這一常識，就不難理解教科書在k值的處理上，是希望減少要分析的隨機變量；a值的確定上用了多個數據，而用這些數據的平均數作為這些數據的代表，是期望其與各個數據方差是最小，模型的吻合程度更高.

三、數學建模活動的開放與過程性評價

數學建模活動的評價檢測還在實踐并積極探索中，考查數學建模素養的試題也不斷涌現，本文以兩個實例說明數學建模的“評”與“教”“學”是一致的.

例1 網上購鞋常常看到“腳長與鞋號對應表”，如下.

（1）據此你能提出什么問題？

（2）某籃球運動員的鞋號為53，你能想辦法推測他的大致身高嗎？

評析：本題根據提供的數據考查數學建模活動中的若干“環節”.數學建模活動的一個基本環節就是提出問題，“提出問題”的層次能反映數學建模素養的水平，如數據之間一般化、規律性結論的發現就屬較高水平.第二個問題的解決方法是開放的，如可借助采集數據發現“身高大致是腳長的7 倍”等，并利用腳長與鞋號的一般規律進行推測，體現了數學建模活動“過程與方法”的考查，解決問題需要基于數據分析的基本方法和模型特征的學習過程，以及在建模實踐中積累的經驗.

例2 2017 年考古學家在郫都區古城遺址挖掘出竹木器遺存，檢測發現竹木器的碳14 的殘留量約為64%.一般認為死亡生物體內碳14 的殘留量每隔5730年減為一半，據此估計制作竹木器的年代是（）（參考數據：lg2=0.30）.

A.公元前1421 年 B.公元前1803 年

C.公元前2460 年 D.公元前5317 年

評析：本題是常規試題，根據指數函數衰減模型計算有實際意義的結果，對制作竹木器的年代進行估計，在考查數學抽象、數學運算等核心素養的過程中，突出數學建模活動的過程評價.

結語

數學建模活動可教、可學、可測評，其重要性不言而喻，數學建模活動進入課堂已經成為世界教育的潮流，［3］本文旨在引發對數學建模活動教學的重視，并有序實踐之.