數(shù)學建模活動“教”“學”“評”一致的實踐與思考

黃炳鋒

（福州第三中學，福建 福州 350003）

隨著教育部制定的《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》（下文簡稱“《課標（2017 年版）》”）的發(fā)布，數(shù)學核心素養(yǎng)被廣為推介，學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，高中數(shù)學課程如何落實以學科核心素養(yǎng)為綱，引發(fā)熱議.數(shù)學建模是高中數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，而“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”又是數(shù)學課程內(nèi)容的四條主線之一，作為核心素養(yǎng)的“數(shù)學建模”與課程內(nèi)容的“數(shù)學建模活動”有何區(qū)別，“數(shù)學建模素養(yǎng)”與“數(shù)學建模活動”有何聯(lián)系，“數(shù)學建模活動”如何開展、評價，核心素養(yǎng)是可教、可學、可測評的，“數(shù)學建模活動”如何做到“教”“學”“評”一致等問題，引起關(guān)注與思考.本文擬以《普通高中教科書·數(shù)學（人教A 版）》必修一的數(shù)學建模活動“建立函數(shù)模型解決實際問題”為例，從教學建議、學法指導與評價實例三個角度加以闡述.

一、數(shù)學建模活動辨析

（一）數(shù)學建模活動是數(shù)學課程新增內(nèi)容

與《普通高中數(shù)學課程標準（2003 實驗版）》（下文簡稱“《課標（實驗版）》”）相比，《課標（2017 年版）》將“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”作為一條主線，納入課程內(nèi)容，設置了教學課時，設計了評價方式，并要求將結(jié)果放入學生綜合評價檔案袋中，因此，“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”被稱為新增內(nèi)容.［1］但實際上，數(shù)學建模活動并非本輪課改首次提出.

上一輪課改《課標（實驗版）》在“課程基本理念”中就提出“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”，通過設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建模”等學習活動，培養(yǎng)學生形成“積極主動的、多樣的學習方式”，從而“激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣”，在學習過程中，養(yǎng)成“獨立思考、積極探索的習慣”.在“內(nèi)容標準”中專門闡述了“數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學文化”的教學要求，給出教學建議.

可以肯定，上一輪課改《課標（實驗版）》的實施，已經(jīng)為《課標（2017 年版）》增加“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”為主線內(nèi)容做了必要的準備.

（二）數(shù)學建模活動是四條主線內(nèi)容之一

《課標（2017 年版）》將“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計合并，設計為四大主題，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程的學習中，但“數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動”主題與其他主題在“內(nèi)容要求”“教學提示”與“學業(yè)要求”上的闡述均有明顯差異，其他主題在“內(nèi)容要求”上，按單元劃分，列出主題的教學核心內(nèi)容，提出單元的教學目標，而“數(shù)學建模活動”在“內(nèi)容要求”上并沒有列出“核心內(nèi)容”，只給出數(shù)學建模活動的內(nèi)容本質(zhì)和基本過程；在“教學提示”上，不是結(jié)合具體單元內(nèi)容給出提示與建議，而是以課題研究過程中的環(huán)節(jié)給出建議與要求；在“學業(yè)要求”上，不是列出單元學習達成目標與要求，而是給出學業(yè)評價的方法，要求學生經(jīng)歷數(shù)學建模活動的全過程，完成課題研究.

由此可見，雖同為主線，數(shù)學建模活動與其他主線不同，數(shù)學建模活動沒有安排核心內(nèi)容，這意味著，這條主線內(nèi)容的學習，不具體依托某個知識與技能，也可以說依托所有其他主線的內(nèi)容進行數(shù)學建模主題的學習，教學重在過程與方法；給出的“教學提示”與“學業(yè)要求”也突出了“過程與方法”的評價.

（三）數(shù)學建模活動與數(shù)學建模素養(yǎng)關(guān)系

數(shù)學核心素養(yǎng)都可以從“概念內(nèi)涵，學科價值，具體內(nèi)容，學生表現(xiàn)，水平層次”等五個方面加以闡述，數(shù)學建模核心素養(yǎng)也是如此.

從素養(yǎng)的角度看數(shù)學建模，應注意“概念內(nèi)涵”所揭示的數(shù)學建模的屬性，把握其在“屬性”上的定位.有三層含義：第一，數(shù)學建模包括了對現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象；第二，數(shù)學建模需要用數(shù)學語言表達實際問題；第三，數(shù)學建模關(guān)鍵是用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.結(jié)合聚焦學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的外顯性行為（過程、步驟）的描述，不難看出，數(shù)學建模聚焦學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：基于現(xiàn)實情境與數(shù)學抽象，構(gòu)建數(shù)學模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，進而發(fā)展“四能”（發(fā)現(xiàn)問題能力、提出問題能力、分析問題能力、解決問題能力），從而達到“三會”（會用數(shù)學的眼光看、會用數(shù)學的思維想、會用數(shù)學的語言表述現(xiàn)實世界）.基于上述分析，數(shù)學建模素養(yǎng)的內(nèi)涵是極其豐富的，它與其他五個數(shù)學學科核心素養(yǎng)直接關(guān)聯(lián).數(shù)學建模素養(yǎng)不僅體現(xiàn)在解決一個數(shù)學應用的問題，而且還蘊涵著方法、思想、價值判斷與選擇，乃至數(shù)學的精神與解決問題的態(tài)度.

數(shù)學建模活動是一類綜合實際活動，是基于數(shù)學思維和數(shù)學視角，“對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象”“用數(shù)學語言表達問題”“用數(shù)學方法（主要是模型思想）解決實際問題”的過程之統(tǒng)稱.《課標（2017 年版）》指出，數(shù)學建模活動主要包括“發(fā)現(xiàn)問題”“提出問題”“分析問題”“構(gòu)建模型”“確定參數(shù)”“計算求解”“驗證結(jié)果”“改進模型”“解決問題”等環(huán)節(jié).從過程可見，數(shù)學建模活動需要數(shù)學建模核心素養(yǎng)的強力支持.

從活動的角度看數(shù)學建模，應注意“活動內(nèi)涵”所揭示的數(shù)學建模的特點，應以課題研究的形式開展，并把握其在“內(nèi)容”上的定位：第一，層次上可分為“了解數(shù)學概念的背景，重要結(jié)果直接應用，數(shù)學結(jié)果綜合應用，數(shù)學建模”等，并逐級提升；第二，認識上可從“了解數(shù)學建模”“數(shù)學建模主要步驟”“數(shù)學建模主要過程”到“實踐數(shù)學建模活動”逐步深入；第三，過程上可遵循課題研究的四個環(huán)節(jié)，如圖1.

圖1

比較數(shù)學建模素養(yǎng)與數(shù)學建模活動可以看出，數(shù)學核心素養(yǎng)是從學科角度提出的課程目標，可分解到教學目標，形成和發(fā)展數(shù)學建模核心素養(yǎng)需要結(jié)合各主線內(nèi)容，數(shù)學建模核心素養(yǎng)可以教學，可以習得，也可以測評，形成并發(fā)展數(shù)學建模核心素養(yǎng)的渠道不止于數(shù)學建模活動，評價數(shù)學建模核心素養(yǎng)也與其他數(shù)學核心素養(yǎng)應用，可以按“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”等四個方面，并分為三個水平執(zhí)行；而數(shù)學建模活動是從課程角度提出的學習任務，它可以在活動中提升“四能”，養(yǎng)成“三會”，促進數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，數(shù)學建模活動亦可教可學，評價的關(guān)鍵是過程與方法.

二、數(shù)學建模活動“教“學”“評”過程例析

（一）整體設計，分層實施主題教學

數(shù)學建模活動貫穿高中數(shù)學必修課程與選擇性必修課程全過程，數(shù)學建模活動的教學不能僅依靠劃定的幾個課時，而應全盤考慮.數(shù)學建模活動具有綜合性強，數(shù)學建模素養(yǎng)與其他5 個核心素養(yǎng)也是聯(lián)系緊密、相互交融，所以數(shù)學建模活動的教學需要一個漸進的而又有層次的整體設計，并借助主題教學實施，從數(shù)學知識的直接應用與滲透到完整數(shù)學建模活動的實施，以“建立函數(shù)模型解決實際問題”為例，可設計如下漸進的層次.

第一，引入實際情境（如函數(shù)概念的四個實例），幫助學生理解函數(shù)概念，在概念教學中提升并發(fā)展數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)；

第二，直接套用實際情境中提供的函數(shù)式、公式等計算有實際意義的結(jié)果（如函數(shù)值，函數(shù)的表示），在例題教學中提升并發(fā)展數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

第三，間接套用實際情境中提供的概念式、公式等計算有實際意義的結(jié)果或者解釋、說明、得到結(jié)果的實際意義（如函數(shù)的應用一），在例題教學中提升并發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；

第四，在實際問題中，引領(lǐng)學生完成數(shù)學化的、簡單具體的數(shù)學應用（如函數(shù)的應用二的4 個實例）；

第五，在實際情境中，引導學生自主完成數(shù)學化的、簡單具體的數(shù)學應用（如第四章小結(jié)，復習題）；

第六，教師提供實際問題情境，學生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，在教師指導下學生完成“建立模型”和“模型求解”的主要過程（如數(shù)學建模活動“建立函數(shù)模型解決實際問題”中的建模實例）；

第七，學生部分自主（發(fā)現(xiàn)提出問題，模型的選擇和建立，求解模型，給出模型結(jié)果的解釋）、教師部分參與（給予指導和幫助），完成數(shù)學建模活動的全部過程（選題、開題、做題、結(jié)題）（如可在數(shù)學建模活動中繼續(xù)補充一些實例）；

第八，全過程、全自主（自主決定是否尋求教師的幫助）的數(shù)學建模活動（如數(shù)學建模活動中開展的課題研究）.

日常教學中，注重在函數(shù)主線中對“數(shù)學建模素養(yǎng)”的逐步滲透，要有意識地達到第一、二、三、四的層次要求，在章節(jié)復習中提升到第五的要求，第六、七、八是數(shù)學建模活動的專項要求，可分散難點，逐步解決“數(shù)學建模活動”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，根據(jù)學生實際情況，選擇做到某層次（如達到第六也可）.

（二）借助工具，化解收集數(shù)據(jù)困難

數(shù)學建模活動的實例教學，在數(shù)據(jù)收集環(huán)節(jié)，由于工具缺乏等原因，收集數(shù)據(jù)成為難點，但這個環(huán)節(jié)不能少也不能由教師代辦，應組織學生以“小組合作參與全部流程、分工完成”的形式，因地制宜地開展教學活動.為適合不同學校學生的情況，教材提出“我們可以利用秒表、溫度計等工具”，但實際上茶水溫度變化太快，利用“普通工具+人工記錄”的方法會有很大誤差，因此教材也提示“若用計算機、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術(shù)更好”，鼓勵融合使用信息技術(shù)支持數(shù)據(jù)收集工作.實際教學中，我們用空調(diào)進行室溫調(diào)節(jié)，保證實驗環(huán)境室溫保持25℃；用開水沖泡相同數(shù)量的茶葉，保證茶水的品質(zhì)一樣，而且起始溫度都能略超過85℃；用相同的容器盛茶水，保證茶水總水量不變；用能自動記錄數(shù)據(jù)的溫度傳感器收集茶水水溫與相應時間，并且設定記錄間隔時間分別為10s，20s，…，60s，…經(jīng)過多次實驗，結(jié)合多次實驗結(jié)果分析數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)每隔1min 記錄的數(shù)據(jù)能較好地通過散點圖反映出函數(shù)模型，于是取多次實驗的數(shù)據(jù)進行均值、四舍五入處理，得到一組數(shù)據(jù).

這里有幾點需要特別說明：

第一，收集數(shù)據(jù)是必要的，需要學生參與收集數(shù)據(jù)的實踐，學生重在參與數(shù)據(jù)收集的過程，數(shù)據(jù)有誤差不影響數(shù)學建模活動的開展，但為了體現(xiàn)科學精神，可以提出“如何保證收集的數(shù)據(jù)更精確”等問題供學生思考；

第二，實驗環(huán)境室溫不一定恰好保持25℃，在問題呈現(xiàn)時，改變室溫條件與相應的函數(shù)模型的參數(shù)即可；

第三，影響茶水溫度變化的因素很多，比如空氣濕度、大氣壓、茶水容器等，為簡化數(shù)學建模活動，我們只考慮一般情況下，茶水溫度與時間的關(guān)系，教學時不必過多涉及其他因素，干擾教學進程；

第四，實驗環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致.

（三）融合技術(shù)，解決建模關(guān)鍵環(huán)節(jié)

分析數(shù)據(jù)、建立模型與檢驗模型是實例教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因為這是數(shù)學建模活動中確定函數(shù)模型的基本步驟.通過觀察發(fā)現(xiàn)，散點圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學生可能會提出各種遞減函數(shù)作為模型，而選用y=kax+b函數(shù)模型的理由，教材已經(jīng)給出：觀察散點圖的分布狀況，并考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，可選擇函數(shù)y=kax+25（k∈R，0＜a＜1，x≥0）來近似刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律.實際教學中，可利用信息技術(shù)進一步引導學生選用其他幾個基本初等函數(shù)模型進行擬合，并判斷擬合效果，從而找到合適的函數(shù)模型.以教科書提供的數(shù)據(jù)為例，不同的函數(shù)模型擬合情況如下：

用一次函數(shù)f（x）=a+bx擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=83.6219-3.8874x，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9820（圖1-1）、散點圖（圖1-2）與殘差圖（圖1-3）可以看出吻合程度較好.

圖1-1

圖1-2

圖1-3

用二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=0.3457x2-5.6160x+84.7743，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9986（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度比一次函數(shù)擬合要好.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

用指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=83.8891×0.9490x，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9910（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度很高.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

用指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx+25 擬合，函數(shù)關(guān)系式為f（x）=59.0532×0.9239x+25，從相關(guān)指數(shù)R2=0.9943（圖2-1）、散點圖（圖2-2）與殘差圖（圖2-3）可以看出吻合程度更高.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

注：若經(jīng)過更多數(shù)據(jù)擬合驗證，可發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×bx+25 擬合相關(guān)指數(shù)大于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c擬合相關(guān)指數(shù)，且在四種效果中最佳.

教學中還應注意，選擇擬合函數(shù)模型y=kax+25 之后，教科書在參數(shù)k與a值的確定方法上并不相同.k值的確定用的是起始狀態(tài)的實際情況，即當x=0 時，y=85，解得k=60.盡管a的值也可以由一對（x，y）唯一確定，但教科書并不直接用表1 的一組數(shù)據(jù)代入求a，而用多組數(shù)據(jù)的比的均值求a，像這種采用平均值作為衰減比例來建立函數(shù)關(guān)系式的方法，在解決實際問題中不僅常用，而且與k值的確定一樣具有統(tǒng)計意義.教科書在邊框位置提出是否有差異的思考，教學時可作如下引導：事實上，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學常識，要分析的隨機變量越少越好，而每個變量獲得的樣本信息越多越好.因為隨機變量越少，分析的過程就會越簡單，而樣本容量越大，分析的結(jié)果就會越可靠.［2］根據(jù)這一常識，就不難理解教科書在k值的處理上，是希望減少要分析的隨機變量；a值的確定上用了多個數(shù)據(jù)，而用這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為這些數(shù)據(jù)的代表，是期望其與各個數(shù)據(jù)方差是最小，模型的吻合程度更高.

三、數(shù)學建模活動的開放與過程性評價

數(shù)學建模活動的評價檢測還在實踐并積極探索中，考查數(shù)學建模素養(yǎng)的試題也不斷涌現(xiàn)，本文以兩個實例說明數(shù)學建模的“評”與“教”“學”是一致的.

例1 網(wǎng)上購鞋常常看到“腳長與鞋號對應表”，如下.

（1）據(jù)此你能提出什么問題？

（2）某籃球運動員的鞋號為53，你能想辦法推測他的大致身高嗎？

評析：本題根據(jù)提供的數(shù)據(jù)考查數(shù)學建模活動中的若干“環(huán)節(jié)”.數(shù)學建模活動的一個基本環(huán)節(jié)就是提出問題，“提出問題”的層次能反映數(shù)學建模素養(yǎng)的水平，如數(shù)據(jù)之間一般化、規(guī)律性結(jié)論的發(fā)現(xiàn)就屬較高水平.第二個問題的解決方法是開放的，如可借助采集數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)“身高大致是腳長的7 倍”等，并利用腳長與鞋號的一般規(guī)律進行推測，體現(xiàn)了數(shù)學建模活動“過程與方法”的考查，解決問題需要基于數(shù)據(jù)分析的基本方法和模型特征的學習過程，以及在建模實踐中積累的經(jīng)驗.

例2 2017 年考古學家在郫都區(qū)古城遺址挖掘出竹木器遺存，檢測發(fā)現(xiàn)竹木器的碳14 的殘留量約為64%.一般認為死亡生物體內(nèi)碳14 的殘留量每隔5730年減為一半，據(jù)此估計制作竹木器的年代是（）（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.30）.

A.公元前1421 年 B.公元前1803 年

C.公元前2460 年 D.公元前5317 年

評析：本題是常規(guī)試題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)衰減模型計算有實際意義的結(jié)果，對制作竹木器的年代進行估計，在考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的過程中，突出數(shù)學建模活動的過程評價.

結(jié)語

數(shù)學建模活動可教、可學、可測評，其重要性不言而喻，數(shù)學建模活動進入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流，［3］本文旨在引發(fā)對數(shù)學建模活動教學的重視，并有序?qū)嵺`之.