核心素養視域下高中幾何與代數主線的教與學

林晴嵐 張潔 黃勇 陳柳娟

（福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

普通高中數學課程根據新時代新時期社會發展需求、數學發展的新特點以及學生成長規律間的相互聯系，明確了發展學生數學核心素養的要求，重新構建數學學科基礎教育課程主要內容，優化了數學課程的結構，關注了數學邏輯體系、內容主線、主題與核心內容之間的關聯，每一條主線都精選重要、核心內容，以主線的學習要求，借助特定的、情境化的、綜合性的數學活動提出針對性的數學問題，幫助學生系統學習主線下的數學基本知識、基本數學思維方法，掌握數學應用的相關技能，學會從多角度、用聯系的觀點看待事物，清晰地認識數學的科學價值、應用價值、人文價值和審美價值，提升學生的學習能力和綜合素養.

高中數學課程四條主線主要內容設置都以培育和發展學生數學核心素養為主導，在課程結構設置上，關注課程內容的基礎性與發展性、多樣性與統一性、整體與局部、必修與選擇性必修等內在聯系，準確把握數學本質，突出數學思想方法及充分發揮數學的育人功能.下面以幾何與代數主線為例試加闡釋.

一、幾何與代數主線的核心內容定位

主線的課程內容在必修課程中設置平面向量及其應用、復數、立體幾何初步三個單元（如圖1），選擇性必修課程中設置空間向量與立體幾何、平面解析幾何兩個單元（圖2），由這五個單元內容系統地將幾何圖形與代數運算之間的有機融合.借助這五個單元內容的系統學習來理解主線的核心知識、主要性質、基本原理，學會運用向量、復數、空間直角坐標系等數學工具，解決與幾何、物理、代數、三角等相關聯的現實問題，掌握運用幾何的圖“形”與代數運“算”相結合的思維方式，從中感悟數學知識之間的關聯，促進學生更好地認識、理解數學的本質，把握數學知識的整體性.

圖1

圖2

（一）平面向量及應用

本單元的學習內容（如圖3-1），通過對現實生活中船、飛機行程具體問題分析，借助幾何直觀，理解引入平面向量的必要性，認識向量的物理意義、幾何意義、代數意義、幾何表示和基本要素；掌握平面向量基本定理的幾何表示方法和坐標表示法，會從多種角度理解向量概念、運算法則（如圖3-2）、運算律（如向量的數乘運算律、向量的數量積運算律等），理解向量作為代數的對象，可以像數一樣進行運算，但與數的運算有區別也有聯系，同時，向量又作為幾何的對象，刻畫了幾何圖形的基本要素.認識引入向量豐富了研究問題的視角與方法，如從“方向”角度看，有平行向量共線向量相反向量、垂直向量，拓展了研究平行、相交、垂直等問題的視角；從“量化”角度看，有模相等的向量、向量的夾角等，拓展了研究有關夾角、幾何體的高等問題視角.領會運用向量解決簡單的數學和物理問題的基本思路和手段，在解決問題過程中體會向量是實現幾何問題與代數問題相互轉化的強有力工具，逐步提升了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

圖3-1

圖3-2

（二）復數

復數單元的學習內容（如圖4-1），從方程x2+1=0 有解的角度，理解引入復數與數學符號i的必要性，領會數系擴充過程中理性思維的意義.領會復數的不同方式表示法、運算法則及其幾何意義，感悟復數系與實數系之間仍然保持運算律不變的聯系，把握實數系擴充到復數系的過程中運算“規則”的普適性和局限性；通過復數a+bi（a,b∈R）對應平面直角坐標系中的唯一一點Z（a,b）,連接OZ，確定了唯一向量，這向量的坐標為（a,b）（如圖4-2），體會復數a+bi（a,b∈R）與一對有序實數（a,b）的一一對應關系，感受復數、代數、平面向量、三角函數之間的聯系，理解復數作為一類重要的運算對象，為解決實際問題提供了研究的新工具，體現了復數的廣泛應用價值，助力于提升直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

圖4-1

圖4-2

（三）立體幾何初步

立體幾何初步單元學習內容（如圖5-1），先從基本立體圖形的整體觀察入手，認識空間圖形；通過研究現實世界物體的形狀、大小與位置關系，結合現代信息技術手段，直觀的認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法，學會從不同的角度觀察、思考構成空間圖形的基本元素（如圖5-2）.會以長方體為空間圖形的基本研究載體，運用幾何直觀、空間想象，從實物中抽象出幾何圖形位置關系（如線線、線面、面面平行與垂直等）、運動規律、形態變化，認識和探索空間圖形的性質.會用圖形與集合語言正確表達空間點、直線、平面之間的位置關系，通過推理論證、度量計算等方式幫助學生建立空間觀念.

圖5-1

圖5-2

（四）空間向量與立體幾何

本單元的學習內容（如圖6）是在學生學習了平面直角坐標系和平面向量的基礎上，進一步學習空間直角坐標系和空間向量.以長方體為基本模型，通過具體問題解決過程中感受建立空間直角坐標系與引入空間向量的必要性.以基本圖形為基礎，學會從“基本圖形”研究，到“變形圖形”研究，再到“綜合圖形”的研究；從經歷平面向量推廣到空間向量的過程中，體會平面向量和空間向量的概念、運算規則、基本定理以及應用等方面的共性和差異，理解向量基本定理的本質，感悟“基”的思想，學會運用空間向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，掌握運用空間向量方法解決立體幾何中的數學問題，充分認識空間向量、空間直角坐標系是研究空間幾何問題的有效工具，體會空間直角坐標系與向量方法在研究立體幾何問題中的重要作用.

圖6

（五）平面解析幾何

本單元的學習內容（如圖7），借助平面直角坐標系，先從已認識的直線、圓的幾何圖形開始，學習直線與圓的代數表達方式——方程，如：直線方程的一般式Ax+By+C=0（A、B不同時為0）、點斜式y-y1=k（xx1）、斜截式y=kx+b、圓有標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2等，從中領會方程中的“數”和幾何中的“形”之間的內在聯系，進一步研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，從學習橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，如等，感悟在研究幾何圖形時所蘊含解析幾何的數學思想方法，理解平面解析幾何的形成和發展，掌握用代數方法研究基礎圓錐曲線的性質以及它們的位置關系的通性通法.

圖7

二、幾何與代數主線的教學視角

幾何與代數主線課程的研究內容：將平面向量及其應用、復數、立體幾何初步、空間向量與立體幾何、平面解析幾何這五部分單元內容，以圖形與分類、基本圖形、圖形的基本性質、研究圖形的基本思想方法、圖形的作用五個方面為整體研究基本路徑，借助幾何研究圖形，直觀形象易懂，代數研究數的運算，遵循法則規律，自然、有機將“形”和“數”通過“幾何圖形”與“數學運算”融合，促進系統學習幾何與代數主線中核心的數學概念、圖形.

（一）從平面與空間兩個視角

一是借助平面直角坐標系和平面向量從平面圖形角度研究有關直線、多邊形、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的圖象和性質.如在平面直角坐標系中，點可用一對有序實數（a,b）來表示，直線可以用二元一次方程ax+by+c=0（a·b≠0）表示，圓可以用二元二次方程（xa）2+（y-b）2=r2來 表示，橢圓可以用方程1(a＞b＞0)表示等；二是借助空間直角坐標系和空間向量從空間圖形角度研究直線、平面、多面體（如四面體、長方體等）、旋轉體（球、柱、錐、臺等）.研究幾何圖形的分類，以及圖形與圖形間的相互位置關系、度量關系等性質，從而掌握研究幾何圖形基本問題的基本思想方法（如：形數結合思想方法），掌握“形”與“數”相結合的規律與學習方法，促進學生形成科學探索和用代數運算方法研究幾何圖形結構的良好習慣，培養學生正確的學習方法、研究問題的基本思維方法，加強對學生深層次潛能的開發與挖掘.如利用長方體為研究載體，以長方體的頂點、棱、面認識空間的點、線、面，借助長方體學習線線平行、線線相交、線線垂直、異面直線、線面平行、線面垂直、線面相交、面與面平行、面面相交、面面垂直等概念及其性質與判定，利用長方體直觀理解空間的點、線、面間的位置關系及其性質和判定定理；如長方體ABCD-A1B1C1D（如圖8-1），AB∥CD，AB∥面A1C1，面AC∥面A1C1，AB⊥AD，AD⊥面DC1，面AC⊥面DC1，點A在直線AB上，點A在面AC內，直線AB與直線A1C1b異面直線.會用數學符號語言和圖形語言來表達空間的點、線、面之間位置關系的概念、性質與判定，掌握并對這些結論進行推理論證，如空間兩條直線的位置關系,如圖8-2，若b?α,c?α,b∩c=?,則b∥c;如圖8-3，若b?α,a?α,b∩a=A,則直線b與a相交于A；如圖8-4，若b?α,m?α,b∩m=?,α∩m=A,則直線b與直線m為異面直線；以長方體和空間直角坐標系為具體載體，幫助學生發現立體幾何問題的解決思路.

圖8-1

圖8-2

圖8-3

圖8-4

（二）由“形”化“數”的視角

一是幾何角度研究，借助幾何直觀的“看”，分析具體問題、尋找解決問題的思路，能從幾何的角度用“形”的方式描述空間點、直線、平面間的位置關系，掌握在解決圖形基本問題時，按照一定的規律和步驟合理地將“綜合圖形”分解轉化為“基本圖形”進行研究基本常規法.

例1 一個長方體密封盒（如圖9），其中AB=5,BC=3.CC1=2,在A處螞蟻欲爬到C1處，選擇的最短路徑.

從對已知長方體展開的平面對圖形觀察分析，提出合理猜想并進行探究，從體驗中思考，結合實踐操作，領會研究立體圖形表面路徑問題與兩點間距離的聯系，以及解決立體圖形表面路徑最值問題的基本思想方法，以達到提升數學應用能力水平；二是解析幾何角度，明白解析幾何的特點就是把幾何圖形合理地建立在直角坐標系中，借助“形”的坐標表達轉化為“數”的運算，目標是用代數運算解決空間圖形之間的位置關系（平行、相交、垂直）和度量關系（距離、角度、面積、體積）等,如點P（x0，y0）到直線l:Ax+By+C=0（A≠0,B≠0）的距離向量角度，向量的特點是把幾何圖形問題轉化為代數運算問題，通過代數運算達到解決問題目的.如，給定一個點和一個非零向量，可以唯一確定過此點與非零向量平行的直線，即也可利用向量坐標法解決兩條直線平行或垂直有關的問題等，如在直角坐標系中，向量的坐標等于終點Q坐標(x2,y2)減去起點P 坐標；向 量(x2,y2),若，則x1y2-x2y1=0；若，則x1x22+y1y2=0.無論從哪個角度研究圖形基本問題，代數主線的重點是從整體認識一批基本幾何圖形及其性質，通過對具體圖形進行局部研究，掌握利用代數運算來研究幾何圖形位置關系、度量關系的數學思想方法.基本幾何圖形分空間圖形、平面圖形兩部分，平面圖形主要研究直線、三角形、四邊形、圓、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）等基本圖形，空間圖形主要研究柱（長方體、圓柱）、錐（圓錐、棱錐）、臺（圓臺、棱臺）、球等基本圖形，圖形的基本性質以對圖形的描述與刻畫、位置關系、度量關系為主要研究內容，對幾何圖形的位置關系研究重點是平行與垂直，對度量關系的研究主要在于長度、角度、面積、體積，掌握研究圖形的基本思想方法，如綜合法、解析幾何法、向量法、分析法，從研究過程中感悟借“數”研究“形”數學思想方法的重要性，學會有邏輯地思考問題，促進學生數學學科核心素養的發展.

圖9

三、幾何與代數主線的育人視角

高中數學課程幾何與代數主線的單元學習是以發展學生數學學科核心素養為導向，重視培育學生：

首先，從核心知識的視角梳理圍繞幾何與代數主線的核心概念、法則、定理等，其中一方面促進理解運算對象、背景、概念的形成過程、應用形式等，認識到運算對象實數、復數、替代數的字母、向量等是提升運算能力的基礎，理解向量與直角坐標系是直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，也是研究數學領域其他問題的基礎，明確運算對象是體現數學運算素養的載體；另一方面，幫助學生更好地掌握運算規則，針對不同運算對象的不同運算形式的運算律、運算順序，會用運算探索圖形的位置關系和度量關系，明確運算法則是運算的依據，是推理的基礎，也保障運算結果具有唯一的保障.如代數運算的基本關系（結合律、交換律等）、等式性質、不等式性質，理解向量的符號語言、不同方式表示法、運算法則，明確運算律在向量運算中的核心作用.從而領會了探究運算思路是在對運算對象深入分析、結合運算對象靈活使用運算法則的基礎上產生的，是解決數學問題的關鍵，體現數學運算素養的精華.目標是培育學生學會用數學眼光審視知識的發展.

其次，從數學思想方法的視角尋求幾何與代數問題解決的通性通法，會有邏輯地思考以“形”轉“數”和以“數”化“形”來解決幾何與代數主線相關問題基本策略，側重在掌握針對不同的數學和實際問題，合理選擇運算方法，設計運算程序，形成運算在實際問題分類解決中的通性通法（如待定系數、換元、消元、配方等），以及應用向量、直角坐標系來解決現實生活、數學和物理問題的通法，感悟這些數學運算的通法在解決問題中所發揮的重要作用，掌握運用數學運算把相關問題分類解決的通性通法，理解借助“形”方法處理解析幾何中的代數問題可使復雜問題形象化、簡單化，目標是培育學生會用數學語言清晰、準確地表述問題解決的思維過程.

然后，從向量的視角分析立體幾何的相關問題，利用向量解釋空間圖形的運動變換與位置關系，如借助物理學中力的合成與分解、力所做的功等為向量運算法則的學習情境，學會用向量作為工具對數學和實際問題進行分析、研究，探索運算思路，體會作為工具在解決物理學及其他科學領域中實際問題中所發揮的重要作用與廣泛的應用.

例2 余弦定理的證明，如圖10，已知ΔABC的兩邊CB=a,CA=b,以及兩邊夾角∠C,求邊長AB.

最后，從素養角度圍繞現實綜合問題拓展創新解決意識，引導學生用數學的思維方式對現實綜合問題進行多方位、多領域、多角度深入思考，提出符合現實環境的要求、理性的、規范化、最佳解決方案，提升學生綜合素養.

圖10

數學教育在新時代社會高質量發展中承載著立德樹人的責任與擔當，堅持育人為本，明確高中數學教育是提高國民素質面向大眾的基礎教育.高中數學的核心知識是進一步學習數學、物理、化學、信息技術等學科必備的基礎性知識，數學核心素養成為統領數學課程目標定位、內容選擇、結構的一根主線.在幾何與代數主線的教學中整體把握落實核心素養的總要求.重視將核心素養不同水平具體要求與必修、選擇性必修、選修三類課程內容結合起來，關注核心素養與具體教學內容的關聯，學會從基本圖形與圖形、圖形與方程的關系中抽象出數學概念及相互之間的聯系，形成以“數”化“形”與以“形”轉“數”相結合的思維習慣，掌握多角度研究幾何基本圖形、基本性質的數學思維方式，提升綜合運用幾何直觀、空間想象、代數運算有邏輯地思考問題和解決問題的能力，培養規范化思考與用數學語言準確表達的思維品質和理性精神，以及一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，體會數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.