基于EDFT的非均勻欠采樣葉尖定時信號分析

張繼旺，丁克勤

(中國特種設備檢測研究院，北京 100029)

高速旋轉葉片是煙氣輪機、壓縮機、航空發動機等大型透平機械的核心部件，由于長期在極端載荷環境下運行，很容易產生疲勞失效[1-4]，進而發展為斷裂事故，造成災難性的后果。因此，對旋轉葉片的運行狀態進行在線監測，在葉片失效前及時采取有效措施，對保障設備安全運行具有重要意義。但由于旋轉葉片結構和運行工況的特殊性給其狀態監測帶來很大挑戰。截止目前，在眾多潛在的葉尖定時監測技術中，葉尖定時技術因其非接觸、非侵入性及只需少量傳感器就可同時監測所有葉片的振動信息的優勢，成為最具潛力的旋轉葉片監測技術，得到領域內相關學者和工程人員大量關注和研究[5-8]。該方法是通過安裝在旋轉葉片外圍機殼上的定時傳感器來記錄葉片到達的時刻，再與無振動時進行對比，從而間接測取旋轉葉片振動幅值信息。然而，由于該技術單傳感器的采樣頻率一般遠低于葉片振動頻率，使得所測得的信號屬于嚴重的欠采樣信號，多個傳感器時又受限于設備的結構特點無法均勻布置，使得多傳感器的采樣頻率為非均勻采樣。導致以采樣定理為基礎的經典傅里葉變換無法對所采集到的葉尖定時信號進行有效處理，也就難以從葉尖定時信號中得到葉片振動的譜信息。

針對這一問題，國內外相關學者開展了大量研究，如李孟麟等[9]研究了基于旋轉不變子空間法的欠采樣葉尖定時信號頻率估計，對理想無噪聲干擾條件下的采樣信號結果具有較好的辨識效果。賀長波等[10]在此基礎上繼續探究了基于總體最小二乘準則(TLS)的旋轉不變子空間法(Esprit)對存在噪聲干擾的欠采樣信號進行頻率估計，并以估計結果作為先驗知識對欠采樣信號進行重構。Hu等[11]提出了一種基于三角函數插值的欠采樣信號重構方法，僅利用兩個葉尖定時傳感器實現了葉片振動信號的重構，但該方法需要一定的先驗知識作為支撐，在實際應用中較為困難。郭浩天等[12]針對傳統單參數法無法實現葉片共振倍頻數辨識的問題，研究了一種基于多傳感器的葉片共振倍頻數測量方法，實現了葉片共振倍頻數辨識。Lin等[13]針對葉片多模態振動下所采集的葉尖定時信號，構造了欠采樣信號稀疏表征模型，并通過壓縮感知的方法求解了葉片的振動頻率，該方法在滿足定時傳感器數量要求下對仿真信號及試驗數據均取得了較好的效果。張效溥等[14]研究了葉片振動特性，并提出了傳感器任意排布下基于壓縮感知的葉尖定時信號重構方法。Bouchain等[15]針對葉尖定時信號的欠采樣問題提出了一種基于l0-正則化的OMP處理方法，解決了一定條件下的葉尖定時信號的欠采樣處理問題。上述研究對葉尖定時信號分析有很大推動，在一定程度上能解決了葉尖定時非均勻采樣或欠采樣譜分析的問題，但可以看出這些方法有的只解決了二者中的一個問題，或者是在分析中需要較多的先驗信息支撐，再者就是只能解決特定約束條件下的問題，故在實際應用中有一定的限制。為了更好的解決葉尖定時信號非均勻采樣和欠采樣性導致的譜分析難題，本文提出了基于擴展離散傅里葉變換的非均勻欠采樣葉尖定時信號分析方法，從而實現葉片振動參數的辨識。

1 葉尖定時測振原理簡介

葉尖定時測振基本原理如圖1所示，通過在旋轉葉片外圍機殼上安裝若干個定時傳感器(如圖中探頭1、2、3)，來記錄葉片在旋轉過程中到達這些傳感器的時間，在轉軸處安裝鍵相傳感器S用于轉速計算。當葉片旋轉過程中產生振動，葉尖到達定時傳感器的時間會提前或滯后于理論時間，從而產生一個時間差，再據該時刻對應的轉速信息可計算出葉片振動位移[16]，計算方程如式(1)所示。通過連續采集即可得到葉片振動位移序列，再利用不同的分析算法對該振動位移序列進行處理，即可得到葉片的振動信息。

圖1 葉尖定時測振原理Fig.1 Blade tip timing vibration measurement principley=Δt·V

(1)

式中:y表示葉片振動位移;Δt表示因振動產生的時間差;V表示葉尖通過定時傳感器時的周向線速度。由葉尖定時測振原理可以看出單個定時傳感器的采樣頻率為轉頻，而葉片振動頻率一般又遠高于轉頻，所以所測得的葉尖定時信號屬于嚴重的欠采樣信號。為了提高采樣頻率，一般會安裝多個葉尖定時傳感器，即葉片旋轉一周會測得多個葉片振動數據，將這些不同傳感器所測得的數據進行插值整合，來提高葉尖定時信號的采樣率，但由于設備結構限制，一般可安裝的傳感器數量也有限，且這些傳感器無法均勻分布在機匣上，這就導致最終所獲取的信號不僅欠采樣，而且還屬于非均勻采樣。這時這種嚴重的非均勻欠采樣的信號就不再滿足奈奎斯特采樣定理，使得基于傳統傅里葉變換的譜分析方法不再適用，給葉片振動參數辨識帶來挑戰。

2 擴展傅里葉變換方法

2.1 理論基礎

采用經典的傅里葉變換進行信號的譜分析時，需嚴格滿足奈奎斯特采樣定理要求，即采樣頻率大于2倍的分析頻率，且為均勻采樣，而葉尖定時信號即非均勻采樣，更是嚴重的欠采樣，這就使得傳統的傅里葉變換難以有效的對葉尖定時信號進行譜分析。

為了解決嚴重的非均勻欠采樣信號分析處理的問題，提出了一種擴展傅里葉變換處理算法，不同于傳統的傅里葉變換，擴展傅里葉變換的基本思想是以傅里葉積分變換為目標，對有限帶寬信號在擴展的頻率范圍內構造一個變換基，將原始數據通過迭代擬合使其在歐幾里德范數上接近傅里葉變換結果[17]，具體推導過程如下：

對有限頻帶范圍(-Θ/2

(2)

用所構造的優化變換基α(ω,t)代替傳統傅里葉變換的基e-jωt，則擴展傅里葉變換的基本表達式如式(3)所示

(3)

對于非均勻離散采樣信號，將采樣幅值序列表示為x(tk)，采樣時間序列表示為tk，k=0,1,2,…,K-1，K是采樣長度，則對于非均勻采樣信號的EDFT計算式如式(4)所示

(4)

為了使F(ω)與Fα(ω)接近，需構造函數

(5)

然而，對于帶限信號F(ω)直接求取是困難的，為使式(5)成立必須找一個表達式來替代，考慮在無限的時間間隔里用圓頻率ω0和幅值譜S(ω0)來表示x(t)，δ為狄拉克函數，則FFT變換可以表示如式(6)所示

(6)

對于有限帶寬信號的頻帶范圍[-Ω,Ω]內的幅值譜S(ω0)已知的信號，其最小二乘誤差估計的積分可以表示為式(7a)，對于非均勻離散采樣信號則可以表示為式(7b)(后續僅對離散采樣信號進行討論)。

對式(7b)進行求解即可構造一個EDFT分析的基函數，其中，為了確定S(ω0)與時間序列x(tk)對應的幅值譜Sα(ω)，當Δ=0，ω=ω0時，定義Sα(ω)如式(8)所示

(8)

(9)

(10)

(11)

再將式(11)代入式(3)和式(8)中，即可得到EDFT的解如式(12)和式(13)所示

(12)

(13)

式中:矩陣E為K×N的指數矩陣，各元素為Ek,n=e-j2πfntk；矩陣R為向量x(tk)的自相關矩陣，是一個K×K的Hermit矩陣，R中各元素計算式如式(14)所示

(14)

由此，實現了擴展傅里葉變換的求解，由上述求解過程可以看出，EDFT相對于傳統的FFT分析，不再受奈奎斯特采樣定理的限制，擴大了分析頻率范圍，分析譜線數同樣不再受限于采樣點數，提高了頻率分辨率。EDFT能夠解決非均勻采樣和欠采樣信號譜分析的難題，為葉尖定時信號的分析和參數辨識提供了可行的方法。

2.2 算法實現

對于一個有限帶寬[-Ω，Ω]內的信號，其離散的頻率值為-Ω≤ωn<Ω，n=0,1,2,…,N-1；對應的時域采樣數據為x(tk)，k=0,1,2,…,K-1，且N≥K。則擴展傅里葉變換具體計算過程：

Step1：功率譜向量初始值設為W0=[1,1,…,1]1×N；

Step2：根據W0的初始值來確定自相關矩陣R1；

Step3：計算傅里葉變換F(1)、離散幅值譜S(1)、功率譜W(1)，為下一次迭代做準備。

Step4：進行F(i)、S(i)、W(i)循環迭代，當迭代最大次數I達到或功率譜變化率小于所給定的閾值時迭代將會終止。

Step5：輸出，得到擴展傅里葉變換譜信號。

其中自相關矩陣R(i)計算式如式(15)所示

(15)

EDFT算法的輸出如式(16)所示

F(i)=x(R(i))-1EW(i)

(16)

幅值譜計算式如(17)所示

(17)

功率譜向量計算式如式(18)所示

(18)

迭代閾值計算式如式(19)所示

(19)

其中，i為迭代次數，i=1,2,…,I。

由EDFT算法可知，該算法輸入參數僅有：

t：信號采樣時間序列；

x：信號采樣數據；

I：迭代次數；

f：分析頻率序列，f需滿足length(f)>length(x)，且具有關于0對稱的正負頻率。

3 方法驗證

3.1 仿真信號驗證

由文獻[18-20]可知，旋轉葉片的低階振動可認為是簡諧振動，故構造葉片振動信號y(t)表達方程如式(20)所示

y(t)=A·sin(2π·ft)

(20)

式中:A為葉尖振動幅值;f為振動頻率。以實驗室所搭建試驗臺(見3.2節)葉片測試數據為基準，設A=0.02 mm，f=137 Hz。

由于單個定時傳感器的采樣頻率為轉頻Fr，則n個傳感器采樣頻率則為nFr(同步采樣可能性較低，這里暫不討論)。假設葉輪轉速為3 000 r/min，則單傳感器采樣頻率為50 Hz，遠小于137 Hz，屬于嚴重的欠采樣，若想滿足采樣定理，則至少需要6個均勻分布的定時傳感器。考慮實際設備中均勻分布是不可能的，因此假定葉輪半個周向區域內安裝有6個定時傳感器，傳感器兩兩相隔36°，由于不是均勻分布，所以這些傳感器的采樣信號是非均勻采樣，且當選擇小于6個傳感器的采樣數據時，即得到的信號接近于實際采樣的非均勻欠采樣的信號。為了便于計算，規定葉片第一次到達1號傳感器時為0時刻，這樣6個傳感器就可以得到6組單獨的采樣數據，每組數據的采樣時間間隔Δt=1/Fr=0.02 s，選取單個傳感器采樣點為K=100，那么對于第j個傳感器來說，其理想狀態下采樣時間序列如式(21)所示。考慮到實際系統測量中存在定時誤差和系統測量誤差[21]，定時誤差主要由于傳感器和系統的響應速度有關，長周期采樣結果應符合隨機誤差特性，故在采樣時間序列中加入均值為0，信噪比強度為d的隨機誤差，則定時誤差的采樣時間序列如式(22)所示；而系統測量誤差則是由系統測量精度決定，其同樣應該滿足隨機誤差特性，本文在理想采樣基礎上加入均值為0，一定幅值的隨機誤差來表示。

uj=[0+0.002(j-1),0.02+0.002(j-1),

0.04+0.002(j-1),…,1.98+0.002(j-1)]T

(21)

uj′=awgn(uj′,d)

(22)

其中，j=1,2,3,4,5,6，表示傳感器的編號，則理想狀態、含有定時誤差和含有測量誤差下的每個傳感器采樣得到的葉片振動位移序列如式(23a)、式(23b)和式(23c)所示

yj=0.02sin(2π·137uj)

(23a)

yj′=0.02sin(2π·137uj′)

(23b)

yj″=yj+h·rand(length(y),1)

(23c)

式(23a)表示理想狀態下的采樣信號，式(23b)表示僅含有定時誤差下的采樣信號，式(23b)表示含有系統測量誤差的采樣信號，也更接近于實際工況下含有定時測量誤差的采樣信號，其中h表示誤差幅值大小。

對不同傳感器組合的數據進行分析時只需對所選傳感器的振動數據按照編號進行插值處理即可，當傳感器數量大于1時，所得數據均為非均勻采樣信號。

首先對理想采樣狀態下不同數量傳感器仿真數據進行傳統傅里葉變換(FFT)，得到不同傳感器數量下對應的時域(time-domain，T-D)信號和傳統FFT變換后的頻域(frequency-domain，F-D)信號分別如圖2和圖3所示。

圖2 不同數量傳感器所采集的時域信號Fig.2 T-D signal collected by different number sensors

由圖3可以看出，僅對1個傳感器的采樣數據進行FFT分析，只在13 Hz處出現峰值，這與實際振動頻率137 Hz相差較大；當傳感器數量逐漸增多時，頻域圖中出現多組成分，且當傳感器數量達到6個時，基于FFT分析的頻譜圖中出現葉片振動頻率成分，幅值為0.55 mm，遠小于其它成分幅值，且不等于葉片實際振動幅值，這主要是由于采用6個傳感器進行采樣雖然達到了FFT分析中采樣頻率的要求，但該信號并不滿足均勻采樣的要求，造成FFT分析時發生頻率偏移和混疊。綜上所述，傳統的FFT變換難以對非均勻欠采樣的葉尖定時信號進行有效的分析處理。

圖3 不同數量傳感器采樣信號的頻域圖(傳統FFT)Fig.3 F-D diagram of different number of sensors (traditional FFT)

對理想采樣狀態下不同數量傳感器的仿真數據進行擴展離散傅里葉變換(EDFT)處理，分析頻率序列為f=-140∶0.2∶139.8，迭代次數I取15，得到不同傳感器數量下對應的頻域信號如圖4所示(取正半軸數據)。

圖4 不同數量傳感器采樣信號的頻域圖(傳統EDFT)Fig.4 F-D diagram of different number of sensors (EDFT)

由圖4可以看出，僅對1個傳感器的數據進行EDFT分析，就出現了葉片振動頻率成分，只是頻譜圖中出現多組諧波成分；當傳感器數量為2時，頻率主要成分為葉片振動頻率，幅值為0.019 mm，已基本等于真值；當傳感器數量大于等于3時，頻率中干擾成分基本消失，幅值等于真值0.02 mm；表明當采樣率達到一定要求后，基于所提方法能夠準確分析得到非均勻欠采樣信號的頻域成分，實現理想采樣狀態下葉片振動參數的有效辨識。

考慮實際采樣中存在的定時誤差情況，對3個傳感器狀態下的定時時間信號中分別加入信噪比為10、20、30和40 dB的噪聲信號，得到僅含有定時誤差的采樣信號，基于EDFT變換分析結果如圖5所示。

圖5 不同定時誤差下基于EDFT的頻域圖Fig.5 F-D diagram based on EDFT under different timing errors

由圖5可以看出，對于僅有含定時誤差的非均勻欠采樣葉尖定時信號，通過EDFT分析得到的頻率成分為137 Hz，幅值為0.02 mm，即為葉片的真實振動參數，且未產生其它干擾成分，表明采用EDFT方法可以對僅含定時誤差的葉尖定時信號進行有效分析，且具有非常良好的抗干擾性。

然后考慮實際采樣中存在系統測量誤差情況，對3個傳感器狀態下含系統測量誤差的采樣數據進行分析，通過在理想采樣信號中分別加入最大幅值為0.25 A、0.50 A、0.75 A和1.00 A的隨機噪聲來構造系統不同的測量誤差下的采用信號，對其進行EDFT分析，結果如圖6所示。

圖6 不同系統測量誤差下基于EDFT的頻域圖Fig.6 F-D diagram based on EDFT under different measuring errors

由圖6可以看出，對于含不同強度隨機測量誤差的葉尖定時信號，采用EDFT分析得到的主要頻率成分均為葉片真實振動頻率137 Hz，對應的幅值范圍在0.019 3～0.019 9 mm，基本等于真值，分析結果中在0 Hz處出現幅值較大的一組成分，這是由于隨機噪聲所引起的，并不影響對葉片振動參數的分析。表明EDFT方法對含有隨機測量誤差的葉尖定時信號分析具有良好的可靠性和抗干擾性。

由上述仿真信號分析結果可以看出，采用EDFT方法可以對非均勻欠采樣葉尖定時信號進行有效分析，能夠實現葉片振動參數的準確辨識，且具有良好的魯棒性。

3.2 試驗驗證

為進一步驗證所提方法的有效性，搭建如圖7所示的測試試驗臺，測試葉片如圖8所示，對實測葉尖定時信號進行分析。該試驗臺由底座，電機，葉輪，葉片(外徑300 mm)、護罩等部件組成，葉尖定時傳感器選用光纖傳感器，原始脈沖信號的采樣頻率為100 MHz，4個傳感器以相鄰25°的角度安裝在葉輪護罩上。為了驗證分析結果的準確性，采用有限元模擬，得到該葉片一階振動頻率為137.2 Hz，振動幅值為0.014 mm。

圖7 測試試驗臺示意圖Fig.7 Schematic diagram of test bench

圖8 試驗葉片Fig.8 Experimental blade

對所測得的葉尖定時信號進行FFT分析和EDFT分析，其中進行EDFT分析時，迭代次數設為15，分析頻率序列范圍為(-140，139.8)，頻率分辨率同樣取0.2 Hz，所得到的頻域信號分別如圖9所示。

圖9 實測葉尖定時信號FFT和EDFT分析對比Fig.9 Comparison of FFT and EDFT analysis for BTT signals

由圖9可以看出，對實測葉尖定時信號進行FFT分析，其頻率主要成分為39 Hz，幅值為2.1 mm，二者均不能反映葉片真實的振動參數；而基于EDFT分析，其頻率主要成分為137.0 Hz，幅值為0.013 mm，與葉片實際振動參數基本相同。表明基于所提出的EDFT分析方法能夠對實測的非均勻欠采樣葉尖定時信號進行準確分析，實現葉片振動參數的有效辨識，具有良好的實用性。

4 結 論

論文針對葉尖定時信號因嚴重的非均勻采樣和欠采樣導致的譜分析難題進行了相關研究，所得主要結論如下：

(1) 提出了基于擴展傅里葉變換的非均勻欠采樣葉尖定時信號分析方法，突破了傳統FFT分析中需嚴格滿足采樣定理的限制，擴大了分析頻率范圍，提高了頻率分辨率。

(2) 建立了非均勻欠采樣葉尖定時系統采樣過程的數學模型，推導了多傳感器狀態下的葉尖定時信號采樣方程，為葉尖定時系統數值仿真提供了新思路。

(3) 最后，采用仿真信號和試驗測試信號對所提出的EDFT分析方法進行了可行性和有效性驗證，結果表明EDFT方法可以有效解決非均勻欠采樣葉尖定時信號的譜分析難題，且該方法具有良好的抗干擾性和實用性。