載體加速度對靜電驅動微機械陀螺響應的影響分析

張利娟，張華彪，李欣業，王雅雪，于 濤

(1.河北工業大學 機械工程學院，天津 300134;2.天津職業技術師范大學 汽車與交通學院，天津 300222;3.天津商業大學 機械工程學院，天津 300134)

微機械陀螺由于其體積小、重量輕、制造成本低、易于批量生產、響應穩定等優點，廣泛應用于航空航天、汽車、電子等領域[1-2]。微機械陀螺中非線性因素，如支承梁的非線性剛度、驅動/檢測靜電力等廣泛存在，因此微機械陀螺的非線性動力學問題成為了近年來的研究熱點。

Asokanthan等[3]研究了單軸振動微陀螺儀在輸入角速度周期性波動下的非線性不穩定性。在角速度輸入小幅周期波動的情況下，采用了一種基于平均法的漸近方法，得到了由參數共振引起的幅頻特性曲線。Braghin等[4]考慮一個MEMS線振動陀螺，發現支撐梁的非線性硬化特性使得結構的共振峰向更高的頻率彎曲。Martynenko等[5]研究了一種具有彈性桿的MEMS音叉陀螺儀，推導了敏感結構在運動基礎上彎曲振動的非線性微分方程，采用漸近雙尺度法研究了陀螺在運動基礎上的非線性動力學問題。Mojahedi等[6]研究了微納陀螺在直流電壓和基礎運動作用下的靜態和動態的非線性響應。李欣業等[7-8]分別對簡諧激勵和參數激勵的三次非線性剛度的微機械陀螺的動力學及時滯反饋控制進行研究，分析了系統參數和反饋增益及時滯對振幅和分岔特性的影響。尚慧琳等[9]研究了參數激勵和立方非線性的切向梳齒驅動微陀螺，給出了Hopf分岔條件，揭示了系統參數對驅動和檢測模態振幅和分岔行為的影響機制。文永蓬等[10]探討了驅動微彈性梁和檢測微彈性梁的非線性剛度對微陀螺輸出的影響規律。郝淑英等[11-12]分析了驅動和檢測剛度非線性對雙檢測微陀螺的幅頻曲線、共振頻率偏移的影響規律。Hamed等[13]研究了具有線性和非線性參數激勵的微陀螺儀的動力學、能量傳遞和振動控制。Awrejcewicz等[14]研究了帶扭轉關節的微機械陀螺，考慮了剛度和關節非線性的影響，多尺度法分析了系統在主共振和內共振的情況的穩態響應。Tsai等[15]考慮了彎曲剛度非線性和靜電力非線性，研究了的微陀螺儀在不同的驅動頻率和固有頻率下的不穩定區域，求解了系統的穩態周期響應。

在實際工作中，微機械陀螺的載體，如導彈、無人機等，在工作工程中往往需要進行復雜的機動動作，過載可達30倍～50倍重力加速度。載體的運動會導致微機械陀螺系統的響應發生變化，導致測量出現誤差，甚至發生系統故障。Thakur等[16]利用簡化耦合諧振器分析了載體加速度對含剛度誤差的MEMS音叉陀螺輸出的影響，并提出了減小加速度影響的建議。Ali[17]研究了時變的載體加速度和溫度引起的微機械陀螺誤差的補償問題。Bancroft等[18]研究了人走路和跑步引起的微機械陀螺響應誤差的補償。已有研究主要針對載體運動影響的補償和消除，并未涉及機理分析，非線性因素也未得到充分考慮。本文針對載體加速度對微機械陀螺系統的動力學響應的影響進行分析，考慮載體在微陀螺驅動和檢測兩方向的運動建立系統的動力學方程，重點關注載體加速度對微機械陀螺系統響應的影響。

1 考慮載體運動的微機械陀螺系統的動力學方程

考慮圖1所示的微機械陀螺，圖2是其等效彈簧質量模型，其中m為微陀螺的敏感質量，xa-oa-ya為絕對坐標系，微機械陀螺與載體固聯，載體在絕對坐標系的水平和豎直方向分別有位移xb,yb，同時有繞鉛垂軸的角位移θ；x-o-y為載體坐標系，x為微陀螺的驅動方向，y為檢測方向，敏感質量沿驅動和檢測方向的位移分別為x,y，則微機械陀螺敏感質量在絕對坐標系中的位移可表示為

1-敏感質量;2-檢測電極;3-驅動電極;4-錨點圖1 微機械陀螺結構示意Fig.1 The schematic representation of MEMS gyroscope

圖2 微機械陀螺的等效彈簧質量模型Fig.2 Model of MEMS gyroscope as spring-mass system

xa=xcosθ-ysinθ+xb

ya=xsinθ+ycosθ+yb

(1)

其中θ=ωzt。對式(1)求導，可得敏感質量在絕對坐標系中的速度為

(2)

則敏感質量的動能為

(3)

考慮微機械陀螺的支承結構的三次非線性剛度，則其彈性勢能為

(4)

考慮系統為真空封裝，忽略氣體阻尼，只考慮結構阻尼，則系統的瑞利耗散函數為

(5)

根據拉格朗日方程可求得微機械陀螺系統的動力學方程如下

(6)

其中,Fx,Fy分別為驅動和檢測方向的靜電力，其表達式如下[19]

Fx=Excosωt

(7)

其中

(8)

(9)

(10)

Y″+GX′+Y+βYY3+ξYY′+As-EYFY=0

其中G為無量綱陀螺力，βX,ξX和βY,ξY分別是驅動和檢測方向的無量綱的非線性剛度系數和阻尼系數，Ad,As分別是載體在驅動和檢測方向的無量綱加速度，EX,EY分別為驅動和檢測電壓相關的無量綱參數，上述無量綱參數表達式如下：

2 周期響應分析

本節利用諧波平衡法求解系統的周期響應。為初步了解系統周期響應的特征，首先對式(10)進行數值仿真，圖3給出了Runge-Kutta法的計算結果，在載體有加速度時系統的振動響應偏離了平衡位置，因此設方程的解為

X=A0+A1cosΩτ+A2sinΩτ

Y=B0+B1cosΩτ+B2sinΩτ

(11)

注意到FY為分式項要將其展開為如下傅里葉級數形式方能進行計算。

FY=C0+C1cosΩτ+C2sinΩτ

(12)

其中

(13a)

(13b)

(13c)

這里采用留數定理[20]求解各展開項的系數，從而避免將FY展開為泰勒級數，引起不必要的誤差。定義z=exp(iθ)，其中θ=Ωτ，則

(14)

將式(14)代入到式(13a)中，根據留數定理有

(15)

其中

zk為包含在單位圓內f(z)的孤立奇點。被積函數只有2個二級極點在單位圓內，分別是

(16)

于是有

k=1,2,m=2

(17)

將式(17)代入式(15)，可得

(18)

同理可求得

(19)

將式(11)和(12)代入式(10)，比較同次諧波系數有

(20)

(a) EX=EY=0.04,Ad=0.4,As=0

(b) EX=EY=0.04,Ad=0,As=0.4HB-諧波平衡法;RK-Runge-Kutta法圖3 諧波平衡解與Runge-Kutta法數值解的對比Fig.3 Comparison of harmonic balance solution with numerical solution by Runge-Kutta method

3 載體加速度對系統響應特性的影響分析

幅頻特性對于微機械陀螺至關重要，因此我們針對驅動和檢測電壓對系統幅頻特性的影響進行了研究，圖4和圖5分別給出了驅動和檢測電壓對系統幅頻特性的影響，可以看到檢測電壓的變化對幅頻特性曲線的分岔形式影響很?。浑S著驅動電壓的變化，系統在檢測方向的幅頻曲線出現了三種不同的分岔形式：① 沒有靜態分岔點的情況，如EX=0.01,EY=0.04時；② 幅頻曲線峰值的右側出現靜態分岔點的情況，如EX=0.02,EY=0.04時；③ 幅頻曲線峰值兩側都出現靜態分岔點的情況，如EX=0.04,EY=0.04時。因此本文將考慮EX=0.01，EX=0.02，EX=0.04三種驅動電壓情況(EY=0.04)，分別討論載體加速度對系統響應特性的影響。

圖6是驅動方向加速度對系統幅頻特性的影響，可以看到在驅動方向的振幅隨加速度增大而增大，檢測方向的振幅隨加速度的增大反而在減小。同時注意到在EX=0.01和EX=0.02時，幅頻特性的分岔形式隨加速度的變化沒有發生改變，而在EX=0.04,Ad=0.4時，幅頻特性峰值左側的兩個靜態分岔點消失。為了說明驅動方向加速度對微陀螺性能的影響，圖7給出了驅動方向加速度為不同值時，無量綱陀螺力對微陀螺檢測振幅的影響，在載體沒有加速度時，EX越大，影響曲線的斜率越大，即系統的靈敏度越大。隨驅動方向加速度的增大，系統的靈敏度變小，且曲線的線性程度也發生了變化。

(a) EY=0.02

(b) EY=0.04SP-靜態分岔點圖4 驅動電壓對微陀螺幅頻特性的影響Fig.4 Effect of driving voltage on the amplitude-frequency characteristic of MEMS gyroscope

(a) EX=0.02

(b) EX=0.04圖5 檢測電壓對微陀螺幅頻特性的影響Fig.5 Effect of detecting voltage on the amplitude-frequency characteristic of MEMS gyroscope

為了精確分析載體加速度對系統響應零偏、靈敏度和非線性程度的影響。采用最小二乘法對上述曲線進行線性擬合，定義擬合方程為

AYp=SG+AB

(21)

其中S為靈敏度，AB為零偏，有

AB=AY(G=0)

(22)

同時將擬合后的曲線與原始曲線進行比較，定義非線性度為

(23)

顯然圖7中驅動方向的加速度沒有引起零偏，圖8是載體驅動方向加速度對系統靈敏度和非線性度的影響曲線，可以看到隨驅動方向加速度的增大，系統的靈敏度逐漸降低。當EX=0.01和0.04時非線性度隨加速度的增大整體趨勢為減小，EX=0.02時非線性度隨加速度的增大變化平緩。因此對于主要承受驅動方向加速度的微機械陀螺的設計，應主要考慮加速度對靈敏度的影響。

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖6 驅動方向加速度對系統幅頻特性的影響EY=0.04Fig.6 Influence of driving acceleration on the amplitude-frequency characteristic

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖7 無量綱陀螺力對微陀螺檢測振幅的影響Ω=0.975Fig.7 Effect of non-dimensional gyroscope force on detecting amplitude of MEMS gyroscope

圖8 驅動方向加速度對靈敏度和非線性度的影響Fig.8 Effect of acceleration in detection direction on sensitivity and nonlinearity

圖9給出了檢測方向加速度對系統幅頻特性的影響，可以看到在EX=0.01時，驅動方向的峰值振幅隨加速度增大而增大，而在EX=0.02和0.04時，檢測方向加速度對驅動方向幅頻特性的影響很小，其影響更多的體現在峰值左側靜態分岔點位置的變化。檢測方向非共振區域的振幅隨載體檢測方向加速度的增大而增大，峰值振幅的變化則較為復雜。為了說明檢測方向加速度對微陀螺性能的影響，圖10給出了載體檢測方向加速度為不同值時，無量綱陀螺力對微陀螺檢測振幅的影響，在載體具有檢測方向加速度的情況下，無量綱陀螺力為零時，系統的響應振幅也不為零，即系統出現了零偏；同時曲線的靈敏度和線性程度也隨檢測方向加速度的變化發生了改變。圖11是檢測方向加速度對系統零偏、靈敏度和非線性度的影響曲線，其中零偏隨檢測方向加速度線性增大，而且比例系數不受驅動電壓變化的影響。EX=0.04時，系統靈敏度隨檢測加速度增大而減小，非線性度先增大后減小，而EX=0.01和0.02時，靈敏度在檢測方向加速度較小時，隨加速度變化平緩，非線性度的變化也較小；在檢測方向加速度較大時，靈敏度急速降低，非線性度也發生了劇烈的變化。因此在載體承受的檢測方向加速度較小時，可選取較小的驅動電壓，并重點考慮零偏的補償；而在載體承受的檢測方向加速度較大時，需要同時考慮加速度對系統零偏、靈敏度和非線性度的影響。

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖9 檢測方向加速度對系統幅頻特性的影響Fig.9 Effect of detecting acceleration on the amplitude-frequency characteristic

(a) EX=0.01(b) EX=0.02(c) EX=0.04圖10 無量綱陀螺力對微陀螺檢測振幅的影響Fig.10 Effect of non-dimensional gyroscope force on detecting amplitude of MEMS gyroscope

圖11 檢測方向加速度對零偏、靈敏度和非線性度的影響Fig.11 Effect of acceleration in detection direction on zero bias,sensitivity and nonlinearity

4 結 論

本文考慮非線性支承剛度、非線性的檢測靜電力，利用拉格朗日方程建立了微機械陀螺系統的動力學方程，針對載體加速度對微陀螺響應特性的影響開展研究。通過對系統的動力學方程進行數值仿真，發現載體的加速度會導致系統的振動響應偏離原始的平衡位置。利用諧波平衡法結合留數定理直接求解含分式項的動力學方程，得到了系統的周期響應，分析了驅動/檢測載體加速度對系統幅頻特性和性能參數的影響。研究發現驅動方向的加速度不會導致零偏，但會引起系統的靈敏度降低；檢測方向的加速度會導致零偏的出現，零偏和檢測方向加速度的大小成正比，但比例系數與驅動電壓大小無關。系統驅動電壓較小時，較小的檢測方向加速度對系統的靈敏度和非線性度影響很小；而在驅動電壓或者載體檢測方向加速度較大時，系統的靈敏度急劇減小，且非線性度也發生了劇烈變化。