含焊接殘余應力薄圓板結構自由振動近似解

2021-03-17 01:24:06陳爐云

振動與沖擊 2021年5期

陳爐云，易宏

(上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，海洋智能裝備與系統教育部重點實驗室，上海 200240)

圓板結構作為結構基礎部件，廣泛應用于航空航天、船舶工程等工程，其振動問題一直受到人們關注。Wu等[1-2]推導徑向變厚度圓板結構自由振動方程，并結合特定邊界條件進行求解。Yalcin等[3]采用微分變換法推導圓板結構運動方程，對比邊界條件對固有頻率影響。Bauer等[4]探討組合邊界(固支、簡支和自由邊界的組合)對薄圓板結構固有頻率影響。侯朝勝等[5]基于達芬方程對比阻尼、外激振力、內外半徑比及邊界條件對薄圓板結構振動的影響。郝君宇等[6]計算空氣和水對薄圓板結構固有頻率影響。在結構動力響應分析中，解析法具有理論清晰、直觀的特點，但求解復雜結構的解析解有一定難度，而變分法求解具有一定優勢。鮑四元等[7]基于Rayleigh-Ritz法獲得多種邊界條件下薄板的頻率與振型方程。齊紅元等[8]采用Rayleigh-Ritz法建立含集中質量載荷薄板振動能量方程及模態方程。石先杰等[9]將板結構的橫向位移展開為三角級數，采用Rayleigh-Ritz法解決振動特征值問題。李秋紅等[10-11]基于Rayleigh-Ritz法建立圓板振動方程，分析圓板結構頻率和振型特性。

結構在承受外載荷前常存在著預應力。Chen等[12]在結構應變方程加入預應力項，建立非線性方程組并獲得解析解，分析預應力對結構動力響應的影響。Yang等[13]基于應變-應力協調方程推導含預應力薄板結構運動方程，對比預應力幅值及分布區域對結構固有頻率和模態的影響。陳爐云等[14]基于變分原理討論局部分布預應力對圓柱殼結構聲輻射功率及聲指向性的影響。在焊接結構中，焊縫周圍存在采用常規方法難以完全消除的焊接殘余應力，是典型的非均勻分布預應力。羌凱等[15]對比焊接殘余應力幅值、焊縫類型及應力方向對圓柱殼結構固有頻率的影響。高永毅等[16]分析焊接殘余應力對矩形薄板固有頻率的影響。陳章蘭等[17]推導焊接殘余應力影響剛度矩陣，表明焊接殘余應力將改變結構固有頻率。對于含焊接殘余應力的圓板結構動力響應問題，目前研究成果較少。

文中針對含焊接殘余應力薄圓板結構自由振動問題，建立含預應力薄圓板結構振動微分方程。基于Rayleigh-Ritz法構造薄圓板結構能量泛函，實現對傅里葉級數中未知系數的求解。

1 薄圓板預應力模型

1.1 預應力概述

等厚度薄圓板半徑為R、厚度為h，并滿足h/R?1。以薄圓板結構中性面中心為原點建立極坐標系Orθz，如圖1所示。

圖1 薄圓板坐標系Fig.1 Schematic of the system for thin circular plate

圖1中，r和θ分別為極坐標系下徑向方向和周向方向，z方向為板厚方向。D1和D2為預應力分布區。在結構振動過程中，結構應力σ包含動應力和預應力兩部分，并假設滿足線性疊加

σ=σ0+σf

(1)

式中:σ=[σr,σθ,σz,τrθ,τrz,τθz]T為結構應力;σf=[σf,r,σf,θ,σf,z,τf,rθ,τf,rz,τf,θz]T為動載荷應力;σ0=[σ0,r,σ0,θ,σ0,z,τ0,rθ,τ0,rz,τ0,θz]T為預應力。基于Kicrhhoff薄板理論，忽略剪切預應力，預應力寫成σ0=[σ0,r,σ0,θ,0,0,0,0]T，σ0,r和σ0,θ分別為徑向預應力和周向預應力。

1.2 預應力分布模型

設徑向預應力σ0,r和周向預應力σ0,θ是薄圓板矢徑r的函數。根據薄圓板結構位移函數，將徑向預應力和環向預應力用三角函數級數展開

(2)

式中:σr,g(g=1,2,…,G)和σθ,j(j=1,2,…,J)分別為徑向預應力幅值和環向預應力幅值;G和J分別為對應的擬合級數截斷項數。

2 含預應力薄圓板結構運動方程

2.1 微元體受力分析

在薄圓板結構中截取大小為dr和rdθ的微元體，微元體上剪力和彎矩如圖2所示。

圖2 振動引起的截面力和彎矩Fig.2 Section force and moment caused by vibration

微元體上力和力矩由兩部分組成：振動位移引起的力和力矩；振動位移與預應力之間的耦合力。大小可寫成

(3)

2.2 截面力分析

如結構在彈性范圍內作小振幅振動，則認為預應力的大小和方向在振動過程中保持不變。預應力σ0沿微元體的r、θ方向形成單位長度截面力N0,r和N0,θ。當薄圓板處于平衡位置時，截面力N0,r和N0,θ平行于r軸和θ軸，且在其它方向無分量

(4)

2.3 耦合力分析

圖3 微元體轉角Fig.3 Element angle

由于微元體存在轉角，截面力N0,r和N0,θ在z方向存在分量ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z

(5)

式中，ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z是預應力與振動位移的耦合力。預應力始終與微元體截面保持垂直，在r和θ方向均無耦合力，不產生新的耦合彎矩和扭矩。

2.4 平衡方程

微元體在r和θ方向上滿足力平衡條件。在z方向，除剪力Qr和Qθ外，存在預應力與振動位移間的耦合力ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z，如圖4所示。

圖4 微元體耦合力Fig.4 Element body coupling force

基于薄板小撓度彎曲理論，忽略r和θ方向上體積力，在r和θ方向力矩平衡方程為

(6)

在z方向，力平衡方程可寫成

(7)

式中:ρ為板材料密度;h為板厚。

聯立式(4)和式(5)，得如下方程

2.5 運動方程

將式(5)、式(6)代入式(8)，可得含預應力薄圓板結構振動微分方程

(9)

(10)

3 基于Rayleigh-Ritz的振動近似解

建立薄圓板結構能量方程，通過對未知級數系數求極值，獲得結構固有頻率和模態振型。

3.1 位移試函數

對于各向同性材料薄圓板結構，設預應力和振動位移為軸對稱，幅值僅沿r方向變化且沿θ方向不變。薄圓板結構位移方程w(r,θ,t)滿足

(11)

式中:wn(r,θ,t)為結構振動位移試函數;Cn為傅里葉級數系數;η為截斷項數。

(12)

式中:ω為圓頻率;α=π/R，R為薄圓板半徑。

3.2 含預應力薄圓板結構動能和變形能

基于Lagrange理論，含預應力圓板結構能量泛函

L=U-T

(13)

式中:U為結構應變能;T為結構動能。其中U=U1+U2，U1為結動力撓度所產生的應變能，U2為預應力引起的附加應變能。

軸對稱彎曲薄圓板結構動能和變形能分別為

(14)

(15)

(16)

式中，w(r,θ,t)為薄圓板結構位移試函數。

將式(12)代入式(14)、(15)和(16)中，得到含預應力薄圓板結構能量泛函方程

L=U-T=

(17)

式中，截斷項數G由式(2)確定。

3.3 Lagrange 泛函方程

對傅里葉級數求極值，可得

(18)

式(18)將自由振動問題轉化成求特征值問題，N為截斷項數。對于由系數Cn組成的線性方程組，其矩陣表達式為

(K-ω2M)C=0

(19)

式中：K為剛度矩陣，M為質量矩陣，C為傅里葉級數系數向量。求解式(19)可得薄圓板固有頻率和模態振型。

4 數值計算

4.1 模型概述

以周邊簡支薄圓板結構為例，對比焊接殘余應力分布形式對振動特性的影響，如圖5所示。

薄圓板結構參數如下：圓板半徑R=250 mm、板厚h=6 mm。在圓板R=200 mm處存在一條環向焊縫，焊接應力區寬度約為40 mm。焊接殘余應力具有自平衡性：垂直焊縫的徑向焊接殘余應力σ0,r和沿焊縫的環向焊接殘余應力σ0,θ。

結構材料為鋼，力學特性如下：彈性模量E=2.1×1011N/m3、密度ρ=7 850 kg/m3、泊松比μ=0.3。

圖5 焊接殘余應力分布Fig.5 Distribution of welding residual stress

4.2 焊接殘余應力分布模型

對于焊接殘余應力，除實驗測試外，可用熱彈塑性有限元軟件Marc對焊接過程進行模擬計算。對焊接殘余應力分布作如下假設：忽略焊接殘余應力在板厚方向的變化；在同一半徑處焊接殘余應力沿環向方向保持不變。

對比3種不同焊接工藝下的焊接殘余應力，環向焊接殘余應力最大值約為 150 MPa、徑向焊接殘余應力最大值約為 250 MPa。圖6所示為三種工況下的環向焊接殘余應力和徑向焊接殘余應力的擬合圖，擬合函數為三角函數。圖中，正值為拉應力，負值為壓應力。

(a) 環向焊接殘余應力(b) 徑向焊接殘余應力圖6 薄圓板焊接殘余應力Fig.6 Welding residual stress of circular plate

4.3 固有頻率對比

將擬合后焊接殘余應力代入式(17)中，應用MATLAB R2013進行結構固有頻率計算。定義截斷項數N取值為20，當N大于20時薄圓板結構固有頻率趨于穩定，認為已達到收斂。

結構前十階的固有頻率如表1所示。

表1 焊接殘余應力對固有頻率影響

由表1可知，焊接殘余應力使薄圓板結構固有頻率值發生改變：① 總體來看，焊接殘余應力使結構固有頻率降低；② 從固有頻率變化趨勢來看，第1階影響最明顯，隨著階次增加焊接殘余應力的影響相對變小；③ 在同一階次，隨著焊接殘余應力的增加，對固有頻率的影響增加。由于焊接殘余應力存在，在徑向方向形成壓力，使該區域剛度變小，使結構總體剛度降低。

4.4 模態計算

分析不同分布形式的焊接殘余應力對薄圓板結構模態的影響，并對典型階次進行對比。圖7所示分別為第1～6階的結構振型對比。從左到右各圖依次為無焊接殘余應力、工況1、工況2和工況3下的結構振型。

對比圖7可知，焊接殘余應力使薄圓板結構振型改變:① 在第1階振型中，焊接殘余應力使振型不再具有軸對稱性；② 在第1階和第6階振型中，從中心往外的振型不再連續，在焊接殘余應力分布區出現振型突變；③ 在第2階到第5階振型中，盡管薄圓板中心距離焊縫線比較遠，但該處出現振型突變；④ 在第4階和第5階振型中，在焊縫區域的振型突起出現周期性的交替；⑤ 隨著焊接殘余應力幅值的增加，對結構局部模態的影響增加，振型變化更為明顯。振型改變的原因是焊接殘余應力改變了結構局部剛度，使薄圓板結構振型和頻率發生變化。