基于小波分解的水中電爆炸沖擊波波形重建方法研究

謝宇超，周海濱，陶 妍，王晨旭

(中國船舶工業系統工程研究院，北京 100094)

水中沖擊波技術在國防、工業、醫學、地質勘探等領域均有廣泛應用，其測量對研究沖擊波的產生機理、沖擊波自身的特性(峰值壓力、脈沖寬度、沖量、能流密度等)以及沖擊波的破壞效應等具有重要意義。目前沖擊波的測量方法可分為直接方法和間接方法[1]。以壓力為測量信號的測量方法可稱為直接方法，以其他物理量為檢測變量的測量方法可統稱為間接方法。

間接方法主要有到達時刻法[2](time of arrival，TOA)、條紋陰影法[3]、干涉法[4]，光纖方法[5]等。到達時刻法、條紋陰影法和干涉法理論上能夠準確測量沖擊波峰值壓力，量程非常大，且可以測量距離波源非常近處的沖擊波，但上述方法無法測量沖擊波壓力的時間特性，導致無法對沖擊波的沖量、能流密度等進行計算。采用光纖方法，可得到不同壓力狀態下水的折射率，進而推算壓力值，該方法靈敏度較低(如FOPH 2000型光纖壓力傳感器，靈敏度僅為2 mV/MPa)，對于較弱的沖擊波實測效果不佳，僅適合超高壓力的測量。

直接的沖擊波測量方法多基于探頭式壓力傳感器，測量方式主要包括壓電式、壓阻式、電容式等[6]。直接方法安裝方便，適合現場應用。然而，采用探頭式的沖擊波傳感器測量水中金屬絲電爆炸產生沖擊波存在諸多缺陷。首先，探頭的機械強度和防水性能需要滿足；其次，傳感器聲阻抗要與水匹配；最重要的是，由于沖擊波信號前沿快和脈沖窄的特點，頻率范圍很寬，需要傳感器有較高的頻響特性和很寬的頻帶；另外，傳感器的敏感元件尺寸、電纜長度等也會影響到信號的質量。

目前水中自由場沖擊波測量應用最多的是PCB138系列壓力傳感器[7]，但其在水中金屬絲電爆炸產生沖擊波的測量中，仍存在帶寬不足的限制，高頻響應差，導致測得信號存在一定畸變。Müller-plate Needle Hydrophone傳感器(Müller-plate傳感器)在匯聚沖擊波的研究中也得到了較多應用，具有極高的頻帶寬度(0.3～11 MHz)和極小的敏感元件尺寸(直徑<0.5 mm)，但其下限截止頻率高達0.3 MHz，沖擊波中的低頻分量無法準確測量，因此無法采用該傳感器進行沖擊波能量的計算；此外，其測得波形的波尾易出現無法預測的振蕩，測量一致性也無法保證。由于目前尚無合適的傳感器能夠對水中金屬絲電爆炸產生的沖擊波進行準確測量，基于現有的穩定可靠傳感器，對測得波形進行重建，使之更加真實的反應信號應有的特征，是非常有意義的。基于PCB138系列壓力傳感器較高的測量一致性和良好的低頻穩定性，本文將對該傳感器測得信號進行重建；基于Müller-plate傳感器的良好高頻性能，本文采用該傳感器對重建的波形進行初步的比對和校準。

1 沖擊波的形成

1.1 波前的形成

水中脈沖放電產生沖擊波的過程可用“活塞模型”進行描述[8-11]。沖擊波陡峭波前的形成過程如圖1所示。假設活塞從速度為0開始，以加速度a做勻加速運動，此時，靠近活塞的位置將形成初始壓縮波，向未擾動的介質傳播。活塞運動初期，速度很小，形成的壓縮波強度很弱，可將此時的壓縮波看作彈性聲波[12]，波速約等于水中聲速c0(約為1 480 m/s)。假定該過程為絕熱過程，介質的絕熱系數為γ(約為7.15)。由于活塞是加速運動，則流體質點位置會出現差異，當質點速度增大到不再滿足小擾動條件時，即會出現間斷，從而產生沖擊波。采用特征線分析的方法，可以得到產生間斷的時刻和位置，如式(1)所示[13]。當t>tv時，沖擊波波前將以相對未擾動介質超聲速的速度傳播。

(1)

由于沖擊波波后的擾動相對沖擊波波前的傳播速度D是超聲速的，因此波后的任何擾動，包括沖擊波和稀疏波，都將趕上并疊加到前方的沖擊波波前上，形成陡峭的沖擊波波前。

圖1 沖擊波波前的形成過程Fig.1 Formation process of shock wave front

1.2 波尾的形成

沖擊波波陣面形成以后，前沿壓力大，以超聲速傳播，沖擊波尾部壓力接近介質靜壓，其傳播速度接近聲速，因此沖擊波不斷被拉寬，由于被擾動的介質質量逐漸增大，因此單位質量介質的能量逐漸減小，沖擊波壓力逐漸減弱。

假設活塞初始速度為vp，做勻速直線運動，在t=tR時刻，活塞停止運動，此時活塞運動距離為xp=vptR，沖擊波波尾的形成過程如式(2)所示。根據文獻[14]的研究結果，波前的位移xS可由式(2)表示，其中γ為介質絕熱系數，tl為稀疏波追該上波前的時間。

(2)

當時間t足夠大時，xS滿足下式

xS=xp+c0{(t-tR)+4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(3)

稀疏波的波尾的位移xT可用下式表示

xT=xp+c0(t-tR)

(4)

則沖擊波的脈沖寬度w(t)可表示為

w(t)=xS-xT=c0{4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(5)

可見隨著傳播距離時間增長，沖擊波波尾的持續時間是逐漸變大的，沖擊波波尾逐漸展寬，當時間足t夠大時，沖擊波脈沖寬度將于(t-tR)1/2成正比。

沖擊波壓力在某點上隨時間的衰減特性可由式(6)表示，p0為未擾動水的靜壓。

(6)

式(6)給出了做勻速直線運動的活塞突然靜止后沖擊波波尾壓力隨時間的變化規律，實際這樣的條件是無法實現的。對于本文研究的水中脈沖放電產生沖擊波的物理過程而言，如圖2(c)中所示，放電通道的運動為先加速后減速，最終也沒有完全靜止，因此，采用式(6)反映實際中沖擊波波尾的壓力衰減誤差可能存在較大誤差。

(a) t=tR(c) t=tl

(b) tR

2 沖擊波波形重建方法

2.1 沖擊波衰減模型

對于水下爆炸過程，很多學者根據實測波形的特征，給出了沖擊波壓力隨時間衰減的經驗公式[15]，p(t)為沖擊波壓力；pm為沖擊波峰值壓力；tp為正壓作用時間；τ為衰減系數。

(7)

2.2 波形重建方法

壓電式的沖擊波壓力傳感器在低頻段一般都具備平坦的頻率響應曲線，在高頻段線性度變差。PCB138傳感器的諧振頻率為>1 MHz，保守估計，該傳感器頻率小于100 kHz的頻段具有平坦的頻響特性[16]。若傳感器在低頻段頻率響應曲線平坦，則在該頻段，傳感器輸出信號是對真實信號的線性反映。若頻響曲線未知或不平坦，則傳感器輸出信號會失真，基于失真波形重建的曲線也難言準確。

帕塞瓦爾(Parseval)理論在數學上描述為：函數平方和等于其傅里葉式的平方和，物理上描述為：信號所含有的能量恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量之和，即信號在時域中的能量和在頻域中的能量是一致的。

基于此，利用快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)和多尺度小波分解等頻域分析手段，可對波形進行恢復。波形重建標準如下：

(1) 在頻響曲線平坦的頻段內，對于某特定頻率f0，重建波形在此處的頻率響應幅值應與傳感器實測信號的頻率響應幅值相等；

(2) 在某頻段內，重建信號的頻域能量應與傳感器實測信號的頻域能量相等。

以上重建標準可用式(8)表示。

(8)

理論上，根據式(8)，Prec應當嚴格等于Pm，Erec應嚴格等于Em，但實際計算中存在多種誤差，導致該關系式并非嚴格成立。例如，記錄信號時采樣長度是有限的，因此在在傅里葉變換時會出現頻譜泄露問題；沖擊波傳感器測量的信號也并非完全精確，因此若采用式(8)進行波形重建可能無法得到理想的波形。因此，本文提出了基于相對誤差控制的波形重建標準，分別計算了頻域下的幅值相對誤差和能量相對誤差，當二者均小于設定的誤差上限時，所得波形即為目標重建波形，新的重建標準如下：

(9)

波形重建標準的相關參數如表1所示，表1中幅值誤差上限和能量誤差上限的確定主要依據大量的試驗結果分析。采用本文提出的重建方法，若誤差上限值設置過大，會得到多組相近的重建結果，在承認測量誤差和重建誤差的前提下，可認為所有重建波形均是正確的。本文基于大量實驗數據和重建波形分析，提出的誤差上限值，盡可能的提高了重建精度。

表1 波形重建標準選取的參數

2.3 波形重建過程

沖擊波壓力波形重建流程如圖3所示，具體過程如下：

(1) 根據水中脈沖放電產生沖擊波的特點，給出峰值壓力Ppeak和衰減時間常數τ矩陣，以上兩參數的范圍應遠大于實測信號；

(2) 將峰值壓力Ppeak和衰減時間常數τ兩參數進行組合，得出不同的沖擊波波形，并對其進行傅里葉變換和多尺度小波分解，根據式(9)，分別計算幅值誤差ErrorP和能量誤差ErrorE；

(3) 根據預設的幅值和能量誤差上限閾值，提取重建的沖擊波波形的參數，進而得到重建的沖擊波波形。

圖3 波形重建過程Fig.3 Waveform reconstruction process

3 重建方法驗證

3.1 沖擊波源

基于水中金屬絲電爆炸的沖擊波產生與測量系統如圖4所示。脈沖電容器C通過同軸場畸變觸發開關S，經高壓電纜向負載放電。Rc和Lc分別為回路電阻和回路電感。放電電流和負載電壓分別由羅氏線圈和電容分壓器測量；水中沖擊波采用PCB138A11壓力傳感器和Müller-plate傳感器測量，測點位置距離金屬絲距離為300 mm，入水深度超過300 mm，消除了水面反射波的影響。

圖4 沖擊波產生與測量系統Fig.4 Shock wave generation and measurement system

電容器充電電壓為-19.8 kV，金屬絲為直徑280 μm、長50 mm銅絲時，典型放電電流和負載阻性電壓如圖5所示。

3.2 典型重建結果

在之前的研究中，提出了基于快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)的頻域能量計算方法，但由于該方法頻率分辨率恒定為采樣長度的倒數，低頻段的頻率分辨率很低，導致波形重建結果容易出現誤差。因此，本文提出了基于多尺度小波分解的頻域能量計算方法，使得計算誤差大大減小，波形重建的穩定性大大提高，且對所分析信號截取長度不敏感，能夠使該方法真正應用于實際分析當中。

圖5 典型回路電流與負載阻性電壓波形Fig.5 Typical waveforms of current and resistive voltage

圖6給出了典型的沖擊波波形重建結果，通過對比PCB138A11傳感器和Müller-plate傳感器測得信號可知，PCB138A11傳感器所得信號脈沖寬度受帶寬的限制，波形出現了明顯畸變，脈沖寬度被展寬了，前沿上升時間顯著偏大，峰值壓力值也小于Müller-plate傳感器測得的結果，經過重建后的沖擊波波形更加貼近真實信號。基于FFT算法，在滿足誤差要求時，得到了多組重建波形，且相互之間差異明顯，表明該算法穩定性較差；基于多尺度小波分解算法得到的重建波形，滿足誤差要求時，只有唯一解，且波形的峰值壓力、脈沖寬度與Müller-plate傳感器測得信號吻合度很高，波形恢復效果更好。

圖6 典型沖擊波波形重建結果Fig.6 Typical reconstruction waveforms of shock wave signal

3.3 重建結果的誤差分析

對不同放電參數下水中金屬絲電爆炸產生的多組沖擊波壓力波形進行截取，并進行波形重建，對實測與重建波形的峰值壓力和能量進行統計，根據式(10)和(11)計算沖擊波能量和峰值壓力的相對偏差，所得結果如圖7所示。

ErrorEsw=(Erec-ESW)/ESW×100%

(10)

ErrorPpeak=(prec-pSW)/pSW×100%

(11)

式中:ErrorPpeak為重建波形峰值壓力的相對偏差，ErrorEsw重建波形能量的相對偏差；Erec為重建信號的能量，Esw為實測信號的能量，能量的計算方法參考式(8)；prec為重建信號的峰值壓力，psw為實測信號的峰值壓力。

分析圖7(a)，重建信號的峰值壓力較實測信號總體偏大，相對誤差的平均偏差為2.35%，標準差為1.6%，重建信號具有較好的線性度。由于受到有限帶寬的限制，PCB138A11傳感器測得沖擊波的峰值壓力一定程度上被削弱了。圖7(b)所示為實測信號與重建信號的能量，與峰值壓力的規律有所不同，重建信號的能量總體較實測信號偏小，且相對偏差比較大，平均值可達17.2%，標準差為4.5%。根據圖6出的典型實測波形和重建波形，實測波形在波尾上疊加了一定的振蕩信號，由于產生沖擊波的金屬絲周圍存在金屬柱體或其他結構，導致沖擊波發生了未知的反射，產生了額外的壓力波疊加。根據式(8)和(9)給出的重建標準，僅能保證在[fl,fh]頻段內實測信號與重建信號能量的相等，在此頻段之外的能量并不納入計算范圍，由此導致了實測信號的能量大于重建信號。重建信號能夠更加準確的反應沖擊波的特征，后文關于沖擊波能量和峰值壓力的分析均基于重建信號。

(a) 沖擊波壓力誤差分析

(b) 沖擊波能量誤差分析圖7 重建信號的偏差分析Fig.7 Deviation analysis of reconstruction signal

4 結 論

針對水中金屬絲電爆炸產生的沖擊波前沿陡、脈寬窄、峰值壓力高，采用探頭式壓力傳感器對其進行精確測量困難的問題，給出了一種沖擊波壓力波形重建方法。分析了沖擊波波頭、波尾的形成過程和波形特征；依據帕塞瓦爾時頻域能量守恒定律，采用多尺度小波分解方法，以相對誤差控制為重建結果的標準，對PCB138A11實測沖擊波信號進行了重構，并與Müller-plate傳感器測得信號進行了比對。結果表明，經過重建后的沖擊波波形更加貼近真實信號。基于多尺度小波分解的波形重建算法，較基于FFT的重建算法，穩定性和可靠性更好。該方法也為其他類型信號的重建方法提供了思路。

提出了基于帕塞瓦爾時頻域能量守恒定律的沖擊波重建方法，利用傅里葉變換和小波分解的方法，以峰值壓力和能量誤差為控制手段，實現了畸變的實測沖擊波波形的重建，給出了典型的波形重建結果，以及不同沖擊波波形重建后的峰值壓力和能量誤差。結果表明，重建后沖擊波峰值壓力偏差的平均值為2.35%，標準差為1.6%；沖擊波能量偏差的平均值約為17.2%，標準差為4.5%。重建波形的能量顯著小于實測波形，這是由于實測波形發生了畸變，波尾振蕩嚴重，使計算能量偏大。重建信號能夠更加準確的反應沖擊波的特征。