動(dòng)水壓下減震連續(xù)梁橋隨機(jī)優(yōu)化及減震性能研究

馬安財(cái),譚 平,王社良,周福霖,

(1.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055； 2.廣州大學(xué) 工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510405)

近年來，我國跨海橋梁的建設(shè)呈現(xiàn)出空前的增長趨勢。跨海橋梁所處的荷載環(huán)境極為復(fù)雜，要同時(shí)承受地震、波浪、強(qiáng)風(fēng)等多種荷載作用，為了提高跨海橋梁地震和波浪耦合作用下的安全性能，發(fā)展減震技術(shù)具有十分重要的工程意義[1]。

跨海橋梁地震響應(yīng)分析中需要考慮流體-結(jié)構(gòu)相互作用，對于直徑較小的橋墩，國內(nèi)外研究者主要采用簡化或改進(jìn)的Morison方程來描述水體對橋梁的動(dòng)水壓力[2-3]，以此來反映流固耦合相互作用。Yamada等[4]采用修正的Morison方程計(jì)算了動(dòng)水壓力，對地震和海浪激勵(lì)下近海樁柱結(jié)構(gòu)上的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析；高學(xué)奎等[5]在簡化Morison方程的基礎(chǔ)上采用附加水質(zhì)量考慮水的影響；趙秋紅等[6]對比了各國規(guī)范中動(dòng)水壓力計(jì)算方法，研究了Morison方程的適用范圍。對于直徑較大的橋墩，為避免Morison方程簡化帶來的誤差，則主要通過輻射波浪理論計(jì)算動(dòng)水壓力，在這方面，Li等[7]和Jiang等[8]提出了圓柱形橋墩動(dòng)水壓力的簡化計(jì)算公式；Wang等[9-12]系統(tǒng)地研究了工程中常用的橢圓形、圓端形、矩形及橢圓形空心橋墩的動(dòng)水壓力簡化計(jì)算，并提出了相應(yīng)的動(dòng)水附加質(zhì)量簡化計(jì)算公式；Zhang等[13]結(jié)合流固耦合方法對任意形狀截面橋墩的動(dòng)水壓力進(jìn)行了研究。

在橋梁減震方面，黏滯阻尼器作為一種穩(wěn)定性高、適用性強(qiáng)的減震裝置，可有效減小橋梁的地震反應(yīng)。在阻尼器設(shè)計(jì)過程中，阻尼器參數(shù)優(yōu)化是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)方法主要是通過既定地震波作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)對阻尼器參數(shù)的敏感性分析來進(jìn)行優(yōu)化[14-15]。而實(shí)際的地震動(dòng)具有不確定性，采用確定性分析并不能準(zhǔn)確反應(yīng)其隨機(jī)特性。對此，趙國輝等人采用頻域法，對連續(xù)梁橋和懸索橋的黏滯阻尼器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[16]。但由于黏滯阻尼器的非線性特性，該方法僅適用于自由度較少的結(jié)構(gòu)。針對上述問題，Symans等[17]提出了基于耗能相等的阻尼器線性化方法，Paola等[18]基于均方差最小提出了隨機(jī)等價(jià)線性化方法，但由于涉及迭代求解，在實(shí)際應(yīng)用過程中隨機(jī)等價(jià)線性化方法應(yīng)用較少[19]。

本文建立了考慮動(dòng)水壓力作用的2自由度簡化分析模型，提出了橋梁黏滯阻尼器參數(shù)隨機(jī)優(yōu)化的Lyapunov方法。通過Morison方程計(jì)算了簡化模型的動(dòng)水壓力，根據(jù)耗能等效準(zhǔn)則對橋中非線性黏滯阻尼器進(jìn)行了等效線性化，以墩頂位移方差最小為目標(biāo)，采用提出的隨機(jī)優(yōu)化方法進(jìn)行了橋梁阻尼器參數(shù)優(yōu)化，并研究了動(dòng)水壓力對減震橋梁地震反應(yīng)的影響和阻尼器的減震性能，對實(shí)際跨海橋梁的減震設(shè)計(jì)具有參考意義。

1 橋梁動(dòng)水壓力計(jì)算

對于橋墩直徑/波浪波長<0.2的小直徑橋墩，結(jié)構(gòu)物的存在對波浪運(yùn)動(dòng)無顯著影響，可采用Morison方程計(jì)算動(dòng)水壓力。對于橫向尺寸較小的圓柱體結(jié)構(gòu)，單位長度上動(dòng)水壓力的計(jì)算公式為

(1)

(2)

地震動(dòng)作用下橋梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(3)

動(dòng)水阻力與慣性力相比較小，可忽略不計(jì)，式(3)可進(jìn)一步寫為

(4)

2 橋梁分析模型

對于規(guī)則連續(xù)梁橋，可簡化成如圖1所示的兩自由度模型，該模型可很好把握其在地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)特性[21]。其中，處于完全彈性狀態(tài)的橋墩，當(dāng)同時(shí)考慮剪切和彎曲變形時(shí)，其組合剛度為

(5)

式中:kb為彎曲剛度;kv為剪切剛度;H為橋墩高度;Iz為橋墩截面慣性矩;Av為橋墩剪切面積;E為彈性模量;G為剪切模量。

(a)(b)圖1 減震橋梁模型簡化Fig.1 A simplified bridge model with viscous damper

假定橋墩變形形函數(shù)為

(6)

形成橋墩的附加質(zhì)量

(7)

動(dòng)水壓力是以分布荷載的形式作用于橋墩上的，先將橋墩單元上的分布動(dòng)水壓力轉(zhuǎn)化為墩頂?shù)牡刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載，為方便使用簡化的Morison方程，再將墩頂?shù)刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)化為墩頂附加動(dòng)水質(zhì)量。

3 減震橋梁運(yùn)動(dòng)方程

3.1 阻尼力模型

非線性黏滯阻尼器的阻尼力為

(8)

以黏滯阻尼往復(fù)一周所耗散的能量與等效阻尼往復(fù)一周所耗散能量相等作為線性化的準(zhǔn)則，可以得到黏滯阻尼器的等效阻尼系數(shù)為

(9)

式中:ce為等效阻尼系數(shù)；ω為對應(yīng)簡諧激勵(lì)的圓頻率；v0為阻尼器加載的最大位移；λ為

λ=22+αΓ2(1+α/2)/Γ(2+α)

(10)

式中，Γ(·)為gamma函數(shù)。

3.2 運(yùn)動(dòng)方程

安裝黏滯阻尼器后橋梁在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

式中，Ce為設(shè)置了黏滯阻尼器的附加阻尼矩陣。

式(11)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式

(12)

式中：

對本文簡化模型

(13)

式中:m1=m*為橋墩墩頂附加質(zhì)量，m2為橋梁上部結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量，mw為轉(zhuǎn)化到墩頂?shù)母郊觿?dòng)水質(zhì)量；c1、c2分別為橋墩和支座的阻尼系數(shù)；k1、k2分別為橋墩和支座的等效剛度。

4 隨機(jī)地震響應(yīng)分析

Clough-Penzien模型為常用隨機(jī)地震激勵(lì)模型

(14)

可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程

(15)

式中：

由結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程(12)和激勵(lì)狀態(tài)方程(15)可得擴(kuò)展的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(16)

式中：

令響應(yīng)的方差矩陣為EY=E(YYT)，Eg=2πBS0BT為輸入的協(xié)方差矩陣，當(dāng)輸入為穩(wěn)態(tài)時(shí)，可得到描述響應(yīng)方差的Lyapunov方程

AEY+EYAT+Eg=0

(17)

求解上式即可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差。

5 阻尼器參數(shù)優(yōu)化

由阻尼力計(jì)算式(8)可知，黏滯阻尼器速度指數(shù)α、阻尼系數(shù)cα取不同值時(shí)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響也不同。在減震設(shè)計(jì)中需對設(shè)置黏滯阻尼器的橋梁進(jìn)行阻尼器參數(shù)α、cα優(yōu)化，研究參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響規(guī)律，為阻尼器設(shè)計(jì)參數(shù)的確定提供依據(jù)。

從提高結(jié)構(gòu)安全性能的角度考慮，以墩頂位移方差最小化為優(yōu)化目標(biāo)，即：

(18)

(19)

約束條件為：s.t.:cα min≤cα≤cα max

αmin≤α≤αmax

式中:Sxx(ω)為墩頂位移響應(yīng)的自譜密度;cα min、cα max分別為阻尼系數(shù)的下限和上限;αmin、αmax分別為阻尼指數(shù)的下限和上限。

某一跨海連續(xù)梁橋，橋墩為圓柱實(shí)體墩，直徑3.0 m，墩高28.2 m，水深20 m，上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量取橋墩相鄰兩個(gè)半跨的質(zhì)量m2=5×105kg，以集中質(zhì)量的形式作用在支座上，橋墩彈性模量為3.0×104MPa，等效剛度為1.587×107N/m，墩身等效到墩頂?shù)募匈|(zhì)量為186 880 kg，支座等效剛度為7.69×106N/m，結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.05，支座阻尼比取為0.10。橋墩直徑和水深之比為0.15，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的研究可采用Morison方程計(jì)算動(dòng)水壓力。橋梁抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度為0.2g，場地類別為II類。在隨機(jī)反應(yīng)分析時(shí)Clough-Penzien譜參數(shù)采用文獻(xiàn)[23]的方法進(jìn)行計(jì)算。基巖的單邊譜密度為S0=13.336 cm2/(rad·s3)，ωg=15.7 rad /s，ξg=0.72，取ξf=ξg，ωf=0.15ωgrad /s。

首先建立了對應(yīng)本文簡化分析模型的梁單元有限元模型，采用峰值為0.1g的El Centro波作為地震動(dòng)輸入，通過對有限元模型動(dòng)力特性和時(shí)程分析的比較來驗(yàn)證本文簡化模型的合理性。經(jīng)計(jì)算，本文模型前兩階周期分別為2.01 s、0.61 s，有限元模型前2階周期為2.03 s、0.66 s，前兩階自振周期接近程度較高。圖2給出了兩種模型橋面縱向位移反應(yīng)時(shí)程曲線的比較，從中可看出，本文模型和有限元模型橋面位移反應(yīng)時(shí)程曲線吻合程度較好，最大值分別為52 mm和55 mm，誤差基本滿足5%的要求，說明本文簡化分析模型合理有效。

在墩頂與梁體之間設(shè)置2套黏滯阻尼器，應(yīng)用本文提出的方法進(jìn)行黏滯阻尼器減震優(yōu)化。圖3和圖4給出了墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα和速度指數(shù)α的變化關(guān)系。由圖3可看出，墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα的增大先減小后逐漸增大，對于不同α值的曲線，在cα=1.5×105附近普遍接近最小值。由圖4可看出，墩頂位移方差隨著速度指數(shù)α的增大整體上是減小的，只有cα=1.5×105的曲線在速度指數(shù)α=0.45附近取得了最小值。通過綜合比較，選擇α=0.45、cα=1.5×105為該橋的最優(yōu)阻尼器參數(shù)。

圖2 橋面縱向位移時(shí)程曲線Fig.2 Longitudinal displacement time history curve

圖3 墩頂位移方差隨阻尼系數(shù)cα的變化Fig.3 Pier top displacement variance versus damping coefficient

圖4 墩頂位移方差隨速度指數(shù)α的變化Fig.4 Pier top displacement variance versus velocity index

表1列出了α取0.45時(shí)cα分別取1.0×105和2.0×105，cα取1.0×105時(shí)α分別取0.40和0.50的四組組合和本文優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的墩頂位移方差。從中可以看出，本文優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的方差在鄰近范圍最小，說明本文方法對黏滯阻尼器的優(yōu)化結(jié)果是合理的，也說明了本文方法的有效性。

表1 阻尼器參數(shù)對應(yīng)的墩頂位移方差

6 減震橋梁性能研究

首先進(jìn)行模態(tài)分析，再利用El Centro波和Kobe波進(jìn)行時(shí)程反應(yīng)分析，分析中結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)按照文獻(xiàn)[24]規(guī)定取1.7。表2列出了分別考慮動(dòng)水壓力作用(有水)和不考慮動(dòng)水壓力作用(無水)結(jié)構(gòu)的第一、二階頻率及其變化率。可看出：考慮動(dòng)水壓力作用后，一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，表明水體的存在改變了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

表2 橋梁自振頻率

為分析動(dòng)水壓力對橋梁地震響應(yīng)的影響，對不設(shè)阻尼器時(shí)的抗震橋梁，計(jì)算了考慮動(dòng)水壓力作用(有水)和不考慮動(dòng)水壓力作用(無水)兩種情況下橋梁的地震反應(yīng)。表3列出了墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和墩底剪力的地震反應(yīng)峰值及變化率。圖5給出了El Centro波和Kobe波作用下墩頂位移時(shí)程曲線。從中可看出：考慮動(dòng)水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩地震反應(yīng)受動(dòng)水壓力的影響整體上較為明顯，動(dòng)水壓力的存在放大了橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。因此，對于跨海橋梁，在減震設(shè)計(jì)中考慮動(dòng)水壓力是必要的。

表3 有/無動(dòng)水壓力作用下橋梁地震反應(yīng)峰值

(a) El Centro波

(b) Kobe波圖5 有/無動(dòng)水壓力作用下橋梁墩頂位移時(shí)程曲線Fig.5 Time history curves of bridge pier top displacementwith/without hydrodynamic pressure

為了衡量控制效果引入了減震率的概念，定義如下

(20)

式中:Ri為第i個(gè)自由度的減震率;di,u(t)和di,c(t)分別為抗震和減震情況下結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度的地震反應(yīng)。

表4列出了El Centro波和Kobe波作用下考慮動(dòng)水壓力影響的減震和非減震橋梁的墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和剪力的峰值及其變化率，圖6給出了El Centro波作用下相應(yīng)的時(shí)程曲線。從中可以看出：對于考慮了動(dòng)水壓力的黏滯阻尼器減震橋梁，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%，支座位移的減震率為29.5%。本文設(shè)計(jì)的黏滯阻尼器對橋墩的減震效果比較明顯，對支座位移的減震效果尤為明顯。采用黏滯阻尼器對跨海橋梁進(jìn)行減震控制可有效減小結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，改善橋梁的抗震安全性。

表4 控制效果比較

(a) 墩頂位移(b) 支座變形(c) 墩底彎矩(d) 墩底剪力圖6 橋梁地震反應(yīng)時(shí)程曲線Fig.6 Seismic response time history curves of bridge

圖7給出了El Centro波作用下阻尼器的滯回曲線，可看出在地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規(guī)則、耗能效果明顯，考慮動(dòng)水壓力作用的橋梁由于地震反應(yīng)更大其黏滯阻尼器的耗能效果也更明顯。

圖7 有/無動(dòng)水壓力作用下橋梁黏滯阻尼器滯回曲線Fig.7 Hysteresis curve of viscous damper of bridgewith/without hydrodynamic pressure

7 結(jié) 論

本文提出了考慮動(dòng)水壓力作用的橋梁簡化分析模型，在此基礎(chǔ)上采用隨機(jī)振動(dòng)分析的Lyapunov方程進(jìn)行了黏滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化，并研究了動(dòng)水壓力對減震橋梁地震反應(yīng)的影響和阻尼器的減震性能，得出如下結(jié)論：

(1) 本文提出了考慮動(dòng)水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器參數(shù)隨機(jī)優(yōu)化的Lyapunov方程方法，并通過簡化的橋梁分析模型驗(yàn)證了方法的有效性。

(2) 本文算例表明考慮動(dòng)水壓力作用后，橋梁的一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，水體的存在改變了橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

(3) 考慮動(dòng)水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩其地震反應(yīng)受動(dòng)水壓力的影響整體上較為明顯，動(dòng)水壓力的存在放大了橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。對于跨海橋梁，在減震設(shè)計(jì)中考慮動(dòng)水壓力是必要的。

El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。

(4) El Centro波作用下橋梁墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規(guī)則、耗能效果明顯。考慮動(dòng)水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器的耗能效果更加明顯。阻尼器的設(shè)置可有效降低橋梁的地震反應(yīng)，對支座位移的減震效果尤為明顯。

本文的兩自由度簡化模型對于以剪切變形為主的中、低墩橋梁，結(jié)果較為準(zhǔn)確，對以彎曲為主的高墩橋梁，由于質(zhì)量參與和高階振型的影響，誤差較大；由于Lyapunov直接求解方差法僅限于平穩(wěn)隨機(jī)模型或等效平穩(wěn)模型，因此本文方法不能進(jìn)行完全非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下的黏滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化。