動水壓下減震連續梁橋隨機優化及減震性能研究

馬安財,譚 平,王社良,周福霖,

(1.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055； 2.廣州大學 工程抗震減震與結構安全教育部重點實驗室，廣州 510405)

近年來，我國跨海橋梁的建設呈現出空前的增長趨勢。跨海橋梁所處的荷載環境極為復雜，要同時承受地震、波浪、強風等多種荷載作用，為了提高跨海橋梁地震和波浪耦合作用下的安全性能，發展減震技術具有十分重要的工程意義[1]。

跨海橋梁地震響應分析中需要考慮流體-結構相互作用，對于直徑較小的橋墩，國內外研究者主要采用簡化或改進的Morison方程來描述水體對橋梁的動水壓力[2-3]，以此來反映流固耦合相互作用。Yamada等[4]采用修正的Morison方程計算了動水壓力，對地震和海浪激勵下近海樁柱結構上的動力響應進行了分析；高學奎等[5]在簡化Morison方程的基礎上采用附加水質量考慮水的影響；趙秋紅等[6]對比了各國規范中動水壓力計算方法，研究了Morison方程的適用范圍。對于直徑較大的橋墩，為避免Morison方程簡化帶來的誤差，則主要通過輻射波浪理論計算動水壓力，在這方面，Li等[7]和Jiang等[8]提出了圓柱形橋墩動水壓力的簡化計算公式；Wang等[9-12]系統地研究了工程中常用的橢圓形、圓端形、矩形及橢圓形空心橋墩的動水壓力簡化計算，并提出了相應的動水附加質量簡化計算公式；Zhang等[13]結合流固耦合方法對任意形狀截面橋墩的動水壓力進行了研究。

在橋梁減震方面，黏滯阻尼器作為一種穩定性高、適用性強的減震裝置，可有效減小橋梁的地震反應。在阻尼器設計過程中，阻尼器參數優化是關鍵環節，傳統方法主要是通過既定地震波作用下結構響應對阻尼器參數的敏感性分析來進行優化[14-15]。而實際的地震動具有不確定性，采用確定性分析并不能準確反應其隨機特性。對此，趙國輝等人采用頻域法，對連續梁橋和懸索橋的黏滯阻尼器參數進行了優化[16]。但由于黏滯阻尼器的非線性特性，該方法僅適用于自由度較少的結構。針對上述問題，Symans等[17]提出了基于耗能相等的阻尼器線性化方法，Paola等[18]基于均方差最小提出了隨機等價線性化方法，但由于涉及迭代求解，在實際應用過程中隨機等價線性化方法應用較少[19]。

本文建立了考慮動水壓力作用的2自由度簡化分析模型，提出了橋梁黏滯阻尼器參數隨機優化的Lyapunov方法。通過Morison方程計算了簡化模型的動水壓力，根據耗能等效準則對橋中非線性黏滯阻尼器進行了等效線性化，以墩頂位移方差最小為目標，采用提出的隨機優化方法進行了橋梁阻尼器參數優化，并研究了動水壓力對減震橋梁地震反應的影響和阻尼器的減震性能，對實際跨海橋梁的減震設計具有參考意義。

1 橋梁動水壓力計算

對于橋墩直徑/波浪波長<0.2的小直徑橋墩，結構物的存在對波浪運動無顯著影響，可采用Morison方程計算動水壓力。對于橫向尺寸較小的圓柱體結構，單位長度上動水壓力的計算公式為

(1)

(2)

地震動作用下橋梁結構的運動方程可表示為

(3)

動水阻力與慣性力相比較小，可忽略不計，式(3)可進一步寫為

(4)

2 橋梁分析模型

對于規則連續梁橋，可簡化成如圖1所示的兩自由度模型，該模型可很好把握其在地震作用下的動力響應特性[21]。其中，處于完全彈性狀態的橋墩，當同時考慮剪切和彎曲變形時，其組合剛度為

(5)

式中:kb為彎曲剛度;kv為剪切剛度;H為橋墩高度;Iz為橋墩截面慣性矩;Av為橋墩剪切面積;E為彈性模量;G為剪切模量。

(a)(b)圖1 減震橋梁模型簡化Fig.1 A simplified bridge model with viscous damper

假定橋墩變形形函數為

(6)

形成橋墩的附加質量

(7)

動水壓力是以分布荷載的形式作用于橋墩上的，先將橋墩單元上的分布動水壓力轉化為墩頂的等效結點荷載，為方便使用簡化的Morison方程，再將墩頂等效結點荷載轉化為墩頂附加動水質量。

3 減震橋梁運動方程

3.1 阻尼力模型

非線性黏滯阻尼器的阻尼力為

(8)

以黏滯阻尼往復一周所耗散的能量與等效阻尼往復一周所耗散能量相等作為線性化的準則，可以得到黏滯阻尼器的等效阻尼系數為

(9)

式中:ce為等效阻尼系數；ω為對應簡諧激勵的圓頻率；v0為阻尼器加載的最大位移；λ為

λ=22+αΓ2(1+α/2)/Γ(2+α)

(10)

式中，Γ(·)為gamma函數。

3.2 運動方程

安裝黏滯阻尼器后橋梁在地震作用下的運動方程為

(11)

式中，Ce為設置了黏滯阻尼器的附加阻尼矩陣。

式(11)轉化為狀態空間形式

(12)

式中：

對本文簡化模型

(13)

式中:m1=m*為橋墩墩頂附加質量，m2為橋梁上部結構的集中質量，mw為轉化到墩頂的附加動水質量；c1、c2分別為橋墩和支座的阻尼系數；k1、k2分別為橋墩和支座的等效剛度。

4 隨機地震響應分析

Clough-Penzien模型為常用隨機地震激勵模型

(14)

可轉化為狀態方程

(15)

式中：

由結構運動狀態方程(12)和激勵狀態方程(15)可得擴展的系統狀態方程為

(16)

式中：

令響應的方差矩陣為EY=E(YYT)，Eg=2πBS0BT為輸入的協方差矩陣，當輸入為穩態時，可得到描述響應方差的Lyapunov方程

AEY+EYAT+Eg=0

(17)

求解上式即可得到結構響應方差。

5 阻尼器參數優化

由阻尼力計算式(8)可知，黏滯阻尼器速度指數α、阻尼系數cα取不同值時對結構響應的影響也不同。在減震設計中需對設置黏滯阻尼器的橋梁進行阻尼器參數α、cα優化，研究參數變化對結構響應的影響規律，為阻尼器設計參數的確定提供依據。

從提高結構安全性能的角度考慮，以墩頂位移方差最小化為優化目標，即：

(18)

(19)

約束條件為：s.t.:cα min≤cα≤cα max

αmin≤α≤αmax

式中:Sxx(ω)為墩頂位移響應的自譜密度;cα min、cα max分別為阻尼系數的下限和上限;αmin、αmax分別為阻尼指數的下限和上限。

某一跨海連續梁橋，橋墩為圓柱實體墩，直徑3.0 m，墩高28.2 m，水深20 m，上部結構質量取橋墩相鄰兩個半跨的質量m2=5×105kg，以集中質量的形式作用在支座上，橋墩彈性模量為3.0×104MPa，等效剛度為1.587×107N/m，墩身等效到墩頂的集中質量為186 880 kg，支座等效剛度為7.69×106N/m，結構阻尼比取為0.05，支座阻尼比取為0.10。橋墩直徑和水深之比為0.15，根據文獻[22]的研究可采用Morison方程計算動水壓力。橋梁抗震設防烈度為8度，設計基本地震動加速度為0.2g，場地類別為II類。在隨機反應分析時Clough-Penzien譜參數采用文獻[23]的方法進行計算。基巖的單邊譜密度為S0=13.336 cm2/(rad·s3)，ωg=15.7 rad /s，ξg=0.72，取ξf=ξg，ωf=0.15ωgrad /s。

首先建立了對應本文簡化分析模型的梁單元有限元模型，采用峰值為0.1g的El Centro波作為地震動輸入，通過對有限元模型動力特性和時程分析的比較來驗證本文簡化模型的合理性。經計算，本文模型前兩階周期分別為2.01 s、0.61 s，有限元模型前2階周期為2.03 s、0.66 s，前兩階自振周期接近程度較高。圖2給出了兩種模型橋面縱向位移反應時程曲線的比較，從中可看出，本文模型和有限元模型橋面位移反應時程曲線吻合程度較好，最大值分別為52 mm和55 mm，誤差基本滿足5%的要求，說明本文簡化分析模型合理有效。

在墩頂與梁體之間設置2套黏滯阻尼器，應用本文提出的方法進行黏滯阻尼器減震優化。圖3和圖4給出了墩頂位移方差隨阻尼系數cα和速度指數α的變化關系。由圖3可看出，墩頂位移方差隨阻尼系數cα的增大先減小后逐漸增大，對于不同α值的曲線，在cα=1.5×105附近普遍接近最小值。由圖4可看出，墩頂位移方差隨著速度指數α的增大整體上是減小的，只有cα=1.5×105的曲線在速度指數α=0.45附近取得了最小值。通過綜合比較，選擇α=0.45、cα=1.5×105為該橋的最優阻尼器參數。

圖2 橋面縱向位移時程曲線Fig.2 Longitudinal displacement time history curve

圖3 墩頂位移方差隨阻尼系數cα的變化Fig.3 Pier top displacement variance versus damping coefficient

圖4 墩頂位移方差隨速度指數α的變化Fig.4 Pier top displacement variance versus velocity index

表1列出了α取0.45時cα分別取1.0×105和2.0×105，cα取1.0×105時α分別取0.40和0.50的四組組合和本文優化結果對應的墩頂位移方差。從中可以看出，本文優化結果對應的方差在鄰近范圍最小，說明本文方法對黏滯阻尼器的優化結果是合理的，也說明了本文方法的有效性。

表1 阻尼器參數對應的墩頂位移方差

6 減震橋梁性能研究

首先進行模態分析，再利用El Centro波和Kobe波進行時程反應分析，分析中結構重要性系數按照文獻[24]規定取1.7。表2列出了分別考慮動水壓力作用(有水)和不考慮動水壓力作用(無水)結構的第一、二階頻率及其變化率。可看出：考慮動水壓力作用后，一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，表明水體的存在改變了結構的動力特性。

表2 橋梁自振頻率

為分析動水壓力對橋梁地震響應的影響，對不設阻尼器時的抗震橋梁，計算了考慮動水壓力作用(有水)和不考慮動水壓力作用(無水)兩種情況下橋梁的地震反應。表3列出了墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和墩底剪力的地震反應峰值及變化率。圖5給出了El Centro波和Kobe波作用下墩頂位移時程曲線。從中可看出：考慮動水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩地震反應受動水壓力的影響整體上較為明顯，動水壓力的存在放大了橋梁的動力響應。因此，對于跨海橋梁，在減震設計中考慮動水壓力是必要的。

表3 有/無動水壓力作用下橋梁地震反應峰值

(a) El Centro波

(b) Kobe波圖5 有/無動水壓力作用下橋梁墩頂位移時程曲線Fig.5 Time history curves of bridge pier top displacementwith/without hydrodynamic pressure

為了衡量控制效果引入了減震率的概念，定義如下

(20)

式中:Ri為第i個自由度的減震率;di,u(t)和di,c(t)分別為抗震和減震情況下結構第i個自由度的地震反應。

表4列出了El Centro波和Kobe波作用下考慮動水壓力影響的減震和非減震橋梁的墩頂水平位移、支座位移、墩底彎矩和剪力的峰值及其變化率，圖6給出了El Centro波作用下相應的時程曲線。從中可以看出：對于考慮了動水壓力的黏滯阻尼器減震橋梁，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%，支座位移的減震率為29.5%。本文設計的黏滯阻尼器對橋墩的減震效果比較明顯，對支座位移的減震效果尤為明顯。采用黏滯阻尼器對跨海橋梁進行減震控制可有效減小結構地震反應，改善橋梁的抗震安全性。

表4 控制效果比較

(a) 墩頂位移(b) 支座變形(c) 墩底彎矩(d) 墩底剪力圖6 橋梁地震反應時程曲線Fig.6 Seismic response time history curves of bridge

圖7給出了El Centro波作用下阻尼器的滯回曲線，可看出在地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規則、耗能效果明顯，考慮動水壓力作用的橋梁由于地震反應更大其黏滯阻尼器的耗能效果也更明顯。

圖7 有/無動水壓力作用下橋梁黏滯阻尼器滯回曲線Fig.7 Hysteresis curve of viscous damper of bridgewith/without hydrodynamic pressure

7 結 論

本文提出了考慮動水壓力作用的橋梁簡化分析模型，在此基礎上采用隨機振動分析的Lyapunov方程進行了黏滯阻尼器參數優化，并研究了動水壓力對減震橋梁地震反應的影響和阻尼器的減震性能，得出如下結論：

(1) 本文提出了考慮動水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器參數隨機優化的Lyapunov方程方法，并通過簡化的橋梁分析模型驗證了方法的有效性。

(2) 本文算例表明考慮動水壓力作用后，橋梁的一階頻率降低了0.6 %，二階頻率降低了9.9%，水體的存在改變了橋梁結構的動力特性。

(3) 考慮動水壓力作用后，El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了10.8%左右，支座位移增大了7.2%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力普遍增大了4.7%左右，支座位移增大了7.9%。地震作用下，處在水中的橋墩其地震反應受動水壓力的影響整體上較為明顯，動水壓力的存在放大了橋梁的動力響應。對于跨海橋梁，在減震設計中考慮動水壓力是必要的。

El Centro波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。

(4) El Centro波作用下橋梁墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在12.3%～14.3%之間，支座位移的減震率為26.7%；Kobe波作用下的墩頂位移、墩底彎矩、墩底剪力的減震率在8.9%～10.6%之間，支座位移的減震率為29.5%。地震作用下黏滯阻尼器滯回曲線飽滿、規則、耗能效果明顯。考慮動水壓力作用的橋梁黏滯阻尼器的耗能效果更加明顯。阻尼器的設置可有效降低橋梁的地震反應，對支座位移的減震效果尤為明顯。

本文的兩自由度簡化模型對于以剪切變形為主的中、低墩橋梁，結果較為準確，對以彎曲為主的高墩橋梁，由于質量參與和高階振型的影響，誤差較大；由于Lyapunov直接求解方差法僅限于平穩隨機模型或等效平穩模型，因此本文方法不能進行完全非平穩隨機地震激勵下的黏滯阻尼器參數優化。