核心問題導引下的數(shù)學高階思維培養(yǎng)
——以“二分法求方程的近似解”為例

葉建聰

（廈門市五顯中學，福建 同安 361100）

一、問題提出

數(shù)學教學中思維含量的多少是課堂是否有質(zhì)量的標志，數(shù)學教師的任務(wù)就是要能夠把自己對所教授知識的深入研究和深刻的理解融入課堂教學中.簡單記憶與模仿是遠遠不夠的，需要感悟與思維同行.只看到了知識的傳授，看不到數(shù)學對人的高階思維的影響，那就沒有看到數(shù)學教育最根本的東西.學生從數(shù)學課上學到的邏輯推理能力和思考能力，將伴隨著他們今后的學習和工作.那么，怎樣訓練學生的數(shù)學思維呢？教師要創(chuàng)設(shè)適切情境，根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提出問題，引導學生逐漸進行思考，通過提高數(shù)學能力，發(fā)展數(shù)學實踐能力及創(chuàng)新意識，培育科學精神，促使學生學會學習.［1］本文將以“二分法求方程的近似解”為例，著力探索核心問題導引下的數(shù)學高階思維培養(yǎng).

二、課堂教學實錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

創(chuàng)設(shè)復雜性情境，是學生高階思維發(fā)展策略的第一步，也是關(guān)鍵一步.傳統(tǒng)的問題情境，學生思維受限，存在可預(yù)見性、確定性的邏輯，而有一定思維難度的復雜情境更能激發(fā)學生解決問題的思維，有利于培養(yǎng)學生的高階思維.

基于核心素養(yǎng)的教學，要特別注重設(shè)置合理的問題情境和提出精準的問題，而絕不是簡單的堆砌和聯(lián)結(jié)，同時不能脫離學生實際，設(shè)置過高難度，抱著“學生不會我再講”的心理預(yù)設(shè)，經(jīng)常這樣會挫傷學生探究積極性，而應(yīng)讓復雜情境落地于學生“最近發(fā)展期”.

［教學片斷1］

問題1：有一根裝有一顆珍珠的不透明的膠管、一根牙簽和一把剪刀，你能把珍珠找出來嗎？

問題2：中央電視臺“幸運52”錄制現(xiàn)場——商品“猜價格”游戲.參加游戲的人如果在有限的時間內(nèi)說出商品價格，便可競得該商品.在競猜的過程中主持人只能提示“高了”或“低了”.

從現(xiàn)實生活問題入手，啟發(fā)學生尋找解決問題的辦法，為后面“二分法”的學習埋下堅實的伏筆.激發(fā)學習興趣，提高學生歸納演繹能力，并進行簡單的數(shù)學建模，對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決實際問題.

（二）聚焦核心，思考交流

高階思維訓練的重中之重在于明確訓練的核心.通過核心問題的提煉與思考，促使教師研究課標，吃透教材；通過核心問題的思考研究和解答，促使學生能夠很好地達成提升能力發(fā)展素養(yǎng)的目標.也就是逐漸改變教師滿堂灌，學生被動聽，課下瘋狂練的陳舊低階課堂模式.有些核心問題可以讓學生獨立思考交流研討完成，有些需要教師啟發(fā)引導，學生半獨立完成，而有些可能還是要依靠教師的示范講解.那么，在本課堂中，情境核心問題是什么？如何由情境提煉出連續(xù)函數(shù)和它的應(yīng)用——二分法.

學生在訓練過程中，會感到“猜價格”與“二分法”之間，現(xiàn)實情景與數(shù)學內(nèi)容是兩張皮.在“猜價格”情景里，學生見不到“連續(xù)函數(shù)”，見不到“區(qū)間端點的函數(shù)值異號”，見不到“函數(shù)零點”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等.如何由“猜價格游戲”提煉出連續(xù)函數(shù)和它的應(yīng)用——二分法？就是一個核心問題.

筆者這樣處理：假設(shè)商品價格為c 元，介于a 元與b 元，我們猜的價格是元，得到連續(xù)函數(shù)，定義域為(a，b)；并且“人猜對的價格”對應(yīng)著方程的根.學生在這個問題情境中，掌握了二分法，清楚連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用.因此教師要懂得善用“核心問題”激活課堂，重視學生高階思維的培養(yǎng).

（三）發(fā)現(xiàn)問題，師生互動

［教學片斷2］

師：大家試試求解幾個方程（1）-x2+3x+4=0（2）x3+2x-5=0（3）lnx+2x-6=0

生：可以用十字相乘法求方程-x2+3x+4=0的解

師：你還有什么方法求x3+2x-5=0 的根？

生：求根公式法、十字相乘法等解決不了.

師：方程x3+2x-5=0 是否存在根呢？若存在根的一個區(qū)間在哪里？

生：可以將方程變形為y=x3y=-2x+5，由圖象可知方程有個根落在（1，2）

師：變形唯一嗎？為什么要這樣處理？

生：不唯一，為了作圖方便.

生：f(1)<0，f(2)>0，說明在（1，2）上存在零點.

師：能否判斷幾個零點？如何解決？

生：y=x3與y=-2x+5 的圖象交點只有一個，方程的根也唯一.

生：y=x3+2x-5 在R 上單調(diào)遞增，且f(1)f(2)<0，可以判定原函數(shù)只有一個零點，通過不斷的追問，反問、正問，促進學生思維上積極思考.

（四）問題引領(lǐng)，辨析本質(zhì)

［教學片斷3］

師：怎樣進行有效縮小根所在的區(qū)間呢？

學生互相討論，選取幾個學生回答問題.

學生1 在（1，2）內(nèi)隨意選了幾個數(shù)值代入試探，沒得到什么結(jié)果.生2 試著y=x3，y=-2x+5 由圖象觀察交點的大致位置來縮小區(qū)間，但是始終得不到預(yù)期效果.方法處理起來粗糙.生3 可能受了生1 的啟發(fā)，計算了f(1.5)>0

生3：f(1)f(1.5)<0，利用存在性定理判斷有零點.

生：二等分，也就是取中點.

師：能否描述二分法？

生：對于在區(qū)間［a，b］上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0 的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點(或?qū)?yīng)方程的根)近似解的方法叫作二分法.

師：二分法實質(zhì)是什么？

生：用二分法求方程的近似解，實質(zhì)上就是通過“取中點”的方法，運用“逼近思想”逐步縮小零點所在的區(qū)間.

師：如何估計出零點的大概范圍？

師：求函數(shù)f(x)的零點近似值第一步應(yīng)做什么？

生：確定區(qū)間［a，b］，使f(a)f(b)<0

師：為了縮小零點所在區(qū)間的范圍，接下來應(yīng)做什么？

生：求區(qū)間的中點c，并計算f(c)的值.

師：若f(c)=0 說明什么？

生：c 就是零點.

師：若f(a)·f(c)<0 或f(c)·f(b)<0？

生：……

師：怎樣停止這個可能無限的縮小過程？

生：精確度.

師：若給定精確度ε，如何選取近似值？

生：當|m—n|<ε 時，區(qū)間［m，n］內(nèi)的任意一個值都是函數(shù)零點的近似值.

有深度的數(shù)學思維是指那種質(zhì)疑性、批判性、反思性的思維.通過學生的合作學習，師生間的思維批判、相互質(zhì)疑，教師的答疑解惑等，讓學生模糊的認識得以清晰.學生弄清了疑惑之點，掌握了核心知識，理解了學習過程，把握了學科的本質(zhì)，認知得到了升華和提高，高階思維也得到了有效發(fā)展.學生體驗到用二分法來求近似解的完整過程，進一步理解掌握二分法的重要方法.

（五）遷移應(yīng)用，反思踐行

引導學生通過觀察與發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動與體驗、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用，由此塑造高階思維的雛形.它有利于培養(yǎng)學生觀察發(fā)現(xiàn)、直觀想象、分類討論、抽象概括、推理論證等能力，在具體情境中，借助幾何直觀和空間想象，利用圖形理解解決數(shù)學問題，提升直觀想象、推理論證等核心素養(yǎng).

問題3：方程x3+2x-5=0 的根落在區(qū)間（1，2），若精確度為0.001，最多需要運算幾次才能得到方程的近似解？

問題4：方程lnx+2x-6=0 的解存在嗎？會落在什么區(qū)間？

優(yōu)化學法讓學生會學，善學，要教給學生思考數(shù)學問題的方法，提煉研究問題的一般方法，滲透學科的觀點，思想應(yīng)用數(shù)學知識.解決實際問題本身就是一個解決數(shù)學問題的過程；在數(shù)學知識的應(yīng)用過程中還可以提出有意義的數(shù)學問題，而一個好的數(shù)學應(yīng)用問題本身又構(gòu)成一個好的數(shù)學情境.［2］

（六）回顧反思，提煉升華

問題5：二分法只能求函數(shù)零點的近似解嗎？

問題6：二分法解題的步驟有哪些？

問題7：是否所有得到零點都可以用二分法來求其近似解？

引導學生回答，他經(jīng)歷了什么，學習到了什么，還有什么疑惑……小結(jié)時切忌：不聚焦課題、不聯(lián)系實際、不指向具體、不揭示聯(lián)系.忌用套話取代事實，用標簽取代具體，用結(jié)論取代過程.小結(jié)得不好不如沒有.事實上，數(shù)學思維的滲透、體悟和理解是通過生動活潑的思維活動來實現(xiàn)的.

（七）課后探究、深化理解

要讓課堂訓練形成高階思維雛形定型，并有效轉(zhuǎn)化為自身的核心素養(yǎng)，反哺思維活動，這就需要輔之以研究性學習活動.開展研究性學習，發(fā)揮生態(tài)課堂的育人價值，開展研究性學習能夠促進生態(tài)課堂的良性發(fā)展.這里的研究性學習就是數(shù)學探究.這種探究意識不僅表現(xiàn)在教學行為上，而且銘刻到教師的思想里，驅(qū)使其組織學生一起去經(jīng)歷探索.通過探究層層展開，將學生帶進了探索知識、方法、思想的樂園.數(shù)學探究活動是綜合提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)的載體，也是提升高階思維的有效手段.

本節(jié)課為了更好地了解二分法的來龍去脈，開展研究性學習活動，把班級分組進行，學生通過了解“中外數(shù)學史上的方程求解”或“高次代數(shù)方程的解”，寫寫小文章，談?wù)勼w會.學生在探究過程中感受數(shù)學家奮斗的歷史，追尋數(shù)學家歷史足跡，無形中滲透了數(shù)學文化.

三、幾點反思

教什么，如何教？是當前擺在教師面前的一大難題.數(shù)學核心素養(yǎng)的培育，不能簡單地看數(shù)學課堂講解.培養(yǎng)學生高階思維，需要學生深度參與思考、探索，必須依賴感悟與思維.

一是抓住教學本質(zhì).史寧中教授說：在數(shù)學教育中應(yīng)當遵循兩個原則：1.把握數(shù)學知識的本質(zhì)；2.設(shè)計并且實施合理的教學活動.教師要緊扣課題的重難點，對其一一擊破，重在發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學高階思維.二是創(chuàng)設(shè)適切情境.要想使學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣，有學習的積極性，最有效的辦法就是創(chuàng)設(shè)適切情境，設(shè)計問題情景時要緊扣課題，兩條“有利于”標準要參照：有利于激發(fā)學生思維的積極性，叩開學生的思維大門；有利于即將要研究的課題的解決，要與教學目標緊密結(jié)合.［3］三是堅持問題引領(lǐng).“問題是數(shù)學的心臟”，“學問學問，有學有問”，一方面教師要巧妙把教學過程設(shè)計成“不斷提出問題，不斷解決問題”的創(chuàng)新性思維模式，另一方面經(jīng)常以自己的問題給學生以熏陶和引導.［4］問題具備層層遞進式、開放式、廣延性，能夠促進學生高階思維的發(fā)展.四是引導自主學習.教師要因勢利導，啟發(fā)學生發(fā)展高階思維.從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這也是培養(yǎng)學生自主學習能力的重要一步.從“學會”到“會學”，多分組談?wù)摚瑤熒ハ噘|(zhì)疑答題，從對方或他人的思維中受啟發(fā)，模糊的認識得到了澄清，正確的認識得到了深化.五是敏銳洞察課堂.葉瀾教授在《重建課堂教學過程觀》中說：“學生在活動中的狀態(tài)，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發(fā)表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤地回答等，都是教學過程中的生成性資源.”在課堂教學中要有敏銳洞察力和教學智慧.時刻注意學生間、師生間不經(jīng)意的思維碰撞，抓住稍縱即逝的啟發(fā)良機，把發(fā)現(xiàn)問題的機會留給學生，讓學生經(jīng)歷從失敗走向成功的過程.教師“笨”一點，“懶”一點，學生“悟”一點，知識多掌握一點.