基于數學“構造”的高階思維培養研究

廖金祥 陳曉靜

（1.廈門第二中學，福建 廈門 361009；2.廈門五緣實驗學校，福建 廈門 361009）

傳統教學重視知識傳授、題型歸納、方法總結，注重記憶和理解，忽視分析和評價，更談不上創造，這不利于數學高階思維的培養.數學核心素養的落地需要培養良好的數學思維，重點是培養學生優秀的思維能力，包括基于記憶、理解、應用的低階思維和基于分析、評價和創造的高階思維.

構造法本質上就是一種創造，需要較強的想象能力，需要創新.2017 版普通高中數學課程標準多處提到“創新”：［1］（見表1）

表1

習近平總書記強調，抓創新就是抓發展，謀創新就是謀未來.要創新就要有高階思維，數學構造法教學可以有效培養學生的高階思維能力.

一、構造法是高階思維的重要表現

一些數學問題用常規思路很難解決，這時需要打破常規，另辟蹊徑，即要有創新思路.數學構造法是用新的視角探究隱藏在條件和結論之間內在聯系，構造滿足要求的數學對象，使需要解決的問題以新的方式呈現，借助新的數學對象解決舊的數學問題，如構造函數、不等式、圖形、向量等，也可以構造輔助命題，構造數學模型等.［2］

構造法是一種涉及多種思維成分的復雜的創造性思維過程，歷經觀察、想象、抽象、概括等過程，勾股定理、祖堩原理的證明，無不閃爍著構造智慧的光芒.在教學中要為學生創設有效的探究環境，鼓勵學生多維度探究思考，在反復地嘗試、反思和修正中構造合理的模型，有效解決問題，提高創新意識.學生基礎越扎實，知識面越廣博，則聯想就越豐富，高階思維能力就越強.［3］

構造過程由近而遠，由淺而深，由表及里，展現數學的神奇與魅力.構造法提高了學生的解題效率，擴展了學生的思維空間，增強視力，優化視角，開闊視野，有利于培養學生靈活的解題能力，促進學生思維能力和創新意識的發展，從而使培養學生的數學核心素養目標落地生根.

二、有價值的數學問題是培養高階思維的載體

思維大師杜威認為：高階思維不是自然發生的，它是由“一些困惑、混淆或懷疑”引發的，因此，問題是思維起點，也是終點.好的教學以問題為主體，思維為主線，用問題來激發高階思維.課標、教材、高考題有很多值得深度研究的數學問題，它是激發學生高階思維 的 好 問 題.如 教 材 證 明 公 式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，由左邊聯想夾角，構造向量，由右邊聯想坐標(cosα，sinα)，(cosβ，sinβ)，構造單位圓，這就是一個充滿想象和創造，極有價值的數學問題.

有價值含義深刻的數學問題，會讓學生浮想聯翩，“無”中生“有”，“有”中生“新”，“新”中生“奇”，例如 我 們 熟 知 的 問 題：已 知a，b，m∈R+，且a

三、構造法培養數學高階思維的主要路徑

（一）基于“函數”的構造

基于“函數”的構造，需要從數量與數量關系中發現一般規律和結構，并用數學語言予以表征，構造出能解決問題的數學對象.函數是數學最基礎的概念，它描述了客觀世界中變量關系和規律，既具體又抽象，通過對條件結構特征的分析、思考、聯想，結合函數概念和性質（奇偶性、單調性、周期性等），構造符合要求的基本初等函數，可以解決復雜、抽象的數學問題，從而培養學生的數學高階思維能力，如公式=2n的證明就是通過構造函數f(x)=(1+x)n，再結合二項式定理+…+

令x=1，即獲證.

在數學高考試題中，常常出現已知條件是用數學符號語言表達的抽象函數的性質的試題，例如，2008年高考數學陜西卷理科第11 題：

定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)=f（y）+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(-3)等于（ ）

A.2 B.3 C.6 D.9

這種試題如能透過現象看本質，構造背景函數——滿足要求的一個具體函數表達式（如f(x)=x2+x），就可以化抽象為具體，從而快速、準確地獲取正確結果.這就要求學生對學過的常用基本初等函數（如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數）的基本性質深入地了解，理解函數的本質特征，才能創造適合解決問題的函數.

常見函數f(x)滿足的性質及與之對應的特殊函數（背景函數），如表2 所示：

表2

由于抽象函數問題具有抽象性、綜合性，既能考查函數的概念和性質等基礎知識，又能考查學生的分析和創新等高階思維能力，因而它是歷年高考的難點和熱點.抽象函數具有高度的抽象性，學生在解題過程中往往感到不知從何處入手，構造背景函數的方法在選擇填空題中尤其實用，應用合理，則事半功倍.［4］

例1（2020 全國卷I 理科12）若2a+log2a=4b+2 log4b，則

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：在記憶指數函數、對數函數概念，理解它們的性質基礎上，分析條件和選項的結構特征，構造函數f(x)=2x=log2x，則f(x)為增函數，由2a+log2a=4b+2 log4b=22b+log2b，得f(a) -f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=-1<0，所以f(a)

f(a) -f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，當b=1 時，f(a) -f(b2)=2 >0，此 時f(a) >f(b2)，有a>b2.

當b=2 時，f(a) -f(b2)=-1<0，此 時f(a)

例2（2009 高考陜西理12）定義在R 上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)(f(x2) -f(x1)) >0.則當n∈N*時，有

A.f(-n)

B.f(n-1)

C.f(n+1)

D.f(n+1)

分析：因為(x2-x)(f(x2)-f(x1)) >0，函數在-(∞，0]上為增函數，

又因為f(x) 為偶函數，選擇背景函數為f(x)=-x2.

∴f(-n)=n2，f(n-1)=(n-1)2，f(n+1)=(n+1)2

∴當n∈N*時，B 選項正確.

例3（2015 全國卷Ⅱ理科12）設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R) 的導函數，f(-1)=0，當x>0 時，xf′(x) -f(x) <0，則使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是

A.(-∞，-1) ?(0，1) B.(-1，0) ?(1，+∞)

C.(-∞，-1) ?(-1，0) D.(0，1) ?(1，+∞)

分析：由已知抽象關系xf′(x) -f(x) <0，聯想導數除法法則，構造函數g(x)=，則g′(x)=，因為當x>0 時，xf′(x) -f(x) <0，故當x>0 時，g′(x) <0，所以g(x)在（0，+∞）單調遞減；又因為函數f(x)(x∈R)是奇函數，故函數g(x)是偶函數，所以g(x)在(-∞，0)單調遞減，且g(-1)=g(1)=0.當0 0，則f(x) >0；當x<-1 時，g(x) <0，則f(x) >0，綜上所述，使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是(-∞，-1)?(0，1)，故選A.

（二）基于“圖形”的構造

數有了形則直觀，形有了數則深刻，很多代數結構具有形的影子，如a2對應正方形面積，對代數關系進行聯想遷移，構造合理的幾何圖形，再通過分析、思考、計算等系列思維活動，形成有創造性的思路和方法，這就完成從低階思維到高階思維的跨越.

我國古代數學家善于構造圖形驗證或證明代數等式、不等式，如趙爽構造正方形ABCD，以及四個全等的直角三角形（弦圖），以此驗證代數不等式a2+b2>2ab（當且僅當a=b時，等號成立）.

教材中的例題具有示范性和典型性，因此，例題教學應讓學生從不同角度，應用新舊知識去聯想、去思考，克服學生思維定式，提高學生的高階思維能力，培養創新意識.

人教社A 版選修4-5 有一道非常經典的例題：已知a，b，m∈R+，且a

該例題證明方法眾多，有低階的作差證明，高階的三角形構造，特別有創新的方法是構造函數f(x)=，它在(0，+∞)內是減函數，曲邊梯形ABCD 的面積大于曲邊梯形EFGH 的面積，所以因此,，從而不等式獲證.（見圖1）

課堂教學中，注意挖掘教材中具有某種創新價值的素材，引導學生積極思考，促進學生創新意識的發展.[5]選擇有價值的數學問題，引導學生積極思考，思考過程就是思維水平從低階逐步邁向高階的過程.

人教社A 版必修2 習題3.3B組第8 題：

圖1

要證的不等式有隱含的幾何元素——兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間距離，及四個定點O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)組成正方形，由此得到構造“形”來證明“數”的方法.（見圖2）

在平面直角坐標系中，畫點A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)三點.

設P(x，y)是正方形OABC內一點，則有0

圖2

高考試題也有豐富的基于“圖形”的構造素材用以考查學生的高階思維能力，如2011 年全國高考新課標卷理科16 題：

本題欲解決三角問題，通過構造方程到構造橢圓，完成華麗轉身，可見構造法需要學生既要有厚實的數學知識，又要善于聯想和靈活應用.構造法非常有利于培養學生的創新意識，提升高階思維能力.

（三）基于“法則”的構造

數學法則是計算、推理的依據，數學法則的表層應用是低階思維，如計算并不需要創造性，只需記憶、理解對數基本知識，應用對數四則運算法則log2MN=logaM+logaN(a>o，a≠1，M>0，N>0)就可以求解.法則構造首先要記憶理解有關法則，其次熟練應用法則，這些都還是低階思維，在此基礎上深度思考，將法則應用于新領域，進行推理、計算、綜合和創造，發現或證明新的命題，這就需要高階思維.

二項式定理的證明就是典型的基于數學法則的構造性證明，其根據是多項式相乘的運算法則.

因為(a+b)n是n個(a+b)相乘，根據多項式相乘的規律，展開式中的每一項都是一個n次項，具有形式an-kbk，其中k=0，1，2，…，n.

因為k個b來自不同的k個二項式(a+b)，n-k個a來自剩余的n-k個二項式(a+b)，所以an-kbk同類項的個數是組合數.

即(a+b)n=

二項式定理的證明方法具有創新性，通過二項式定理的構造性證明，有利于深刻體會運算法則的作用，同時感知基于多項式乘法運算（低階思維），是發現和提出命題、探索和嚴格論證（高階思維）的基礎，在構造性證明過程中提高學生高階思維能力.