立足數學實驗 積累活動經驗 發展理性思維
——以“三角形內角和定理（第1 課時）”為例

林運來

（廈門大學附屬實驗中學，福建 漳州 363123）

一、內容及解析

（一）內容

本節課選自北師大版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第七章第5 節“三角形內角和定理”（第1 課時），主要內容為探索并證明三角形內角和定理，以及應用該定理解決簡單的問題.

（二）內容解析

三角形是初中數學研究的重要幾何圖形之一，也是學生深入、系統研究的第一個幾何圖形.三角形作為最簡單的封閉圖形，是研究幾何的重要基礎［1］，本節課作為“三角形內角和定理”的第一節課，具有承前啟后的作用.教學中，通過引導學生回顧探究與驗證“三角形內角和等于”的實驗過程，立足學生已有的數學活動經驗，獲取證明思路，鼓勵學生尋求多樣的證明方法，并在多樣的證明方法中感受其共性.通過本節課的學習，將深化學生對三角形的認識，讓學生認識到說話辦事要有根有據，體會到證明活動是探索活動的自然延續和必要發展，對于觀察、實驗、歸納得到的結論一定要給予證明，從而提升思維能力，發展核心素養.

本節課的教學重點：對三角形內角和定理證明的必要性的認識和理解；證明三角形的內角和定理，并進行簡單的應用.

教學難點：三角形內角和定理的證明方法.

二、目標和目標解析

（1）經歷三角形內角和定理的探索與證明過程，進一步發展推理能力.

（2）證明三角形內角和定理，并會應用該定理解決簡單的問題.

（3）在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經驗，提升數學思維能力.

（4）初步掌握證明的規范性，逐步養成步步有據的習慣，形成嚴謹的科學態度.

三、教學問題診斷分析

學生在生活中廣泛接觸過三角形及其應用，具備一定的生活經驗.在小學階段學生已經學習過“三角形的內角和等于180°”，七年級學生又通過活動再次驗證了這一結論，具備一定的知識基礎.上述學習過程，讓學生掌握了一定的方法基礎.但學生對于證明意義的理解和證明過程中格式的規范性尚未掌握，對“理性思維”的認識有待提升.

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：“學生是數學學習的主體，在積極參與學習活動的過程中不斷得到發展.”［2］在教學中，教師引導學生把握每個環節的探索任務，利用數學工具動手操作、動腦思考，積極參與到數學活動中，積累數學基本活動經驗，從感性到理性掌握數學命題，不斷提升實踐能力.

四、教學媒體設計

通過黑板板書知識框架和研究思路，“使學生更好地把握教學內容的脈絡”；通過PPT 展示課件內容；通過屏幕展示學生的學生成果；利用三角形紙片、三角板、量角器等教具展示有關結論的探索、發現過程.

五、教學過程

（一）溫故知新，樹立證明意識

教師活動：（PPT 展示）費馬的失誤

形如22n+1（n為自然數）的數稱為費馬數，簡記為Fn.1640 年，法國數學家費馬根據F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537 都是質數做出猜想：對于所有的自然n，Fn均為質數.

直到1732 年，瑞士數學家歐拉指出F5=641×6700417 不是質數，從而否定了費馬的猜想.

問題1：從中你能得到什么啟示？

生：通過觀察、實驗、歸納得到的結論可能正確，也可能不正確.

師：是的，歸納推理和演繹推理都是數學研究的有效工具.但是，基于簡單操作生成的結論未必可靠，需要嚴格推理論證后方可推廣使用.［3］

［設計意圖］引領學生回顧舊知，為本節課的學習做好鋪墊，喚醒學生對證明必要性的感受和證明意識的建立，幫助學生形成反思質疑等良好的學習習慣.

（二）數學實驗，探索幾何結論

教師活動：在黑板上作出△ABC.

問題2：大家說一說學過的三角形的相關知識.

生1：△ABC有三個頂點A，B，C，三條邊AB，BC，CA，三個內角∠A，∠B，∠C.

生2：AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+CA>BA.

生3：三角形的內角和等于180°，也就是∠A+∠B+∠C=180°.

師（追問）：事實上，我們在小學就已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°.你還記得我們是怎么發現這個結論的？

生3：通過度量或剪拼的方法得出這一結論的.

［設計意圖］通過追問，引出“度量或剪拼”的探索方法，喚醒學生相關數學基本活動經驗.

實驗1：我們手上有一副三角板（如下圖），用量角器測量每個三角板的三個角的大小，并計算它們的和.

學生活動：按要求用量角器測量三角形的三個角的角度，然后把三個角度加起來.

實驗2：在準備好的三角形紙片頂點處標上字母A，B，C，將三角形紙片的∠B和∠C剪下來，分別與∠A拼合在一起（頂點重合，三個角不重疊）.

學生活動：按要求進行剪拼，并將剪拼結果貼到黑板上，如圖1、圖2 所示.

師（追問）：你有什么發現？

生4：在圖1、圖2 中，可以發現三個角合起來形成一個平角.

師：另取一張三角形紙片，與實驗2 一樣進行標注，剪下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起，你有什么發現？

學生按要求活動，教師不急于做出判斷，而是引導學生探索不同的拼合方法，并從中找出能用前面所學知識證明“三角形的內角和等于180°”的拼圖，將其貼在黑板上，如圖3 所示.

［設計意圖］借助工具讓學生動手操作、動腦思考，自主探索數學知識，從而經歷知識的形成過程，“讓思維可見”.同時通過引導學生經歷從不同角度尋求分析問題、解決問題的過程，體驗解決問題方法的多樣性［2］.

（三）內化知識，創設推理情境

師：上面我們經過測量和剪拼實驗后，大家得出了共同的結論：三角形的內角和等于180°.但是，形狀不同的三角形有無窮多種，我們才測量了幾個三角形，才剪拼了幾種三角形，而僅僅通過測量和剪拼了全體三角形中的極小極小的一部分，何況“測量常常有誤差”“剪拼后觀察不一定細致”，這就會導致得出的結論不一定正確，不能完全讓人信服.因此，要確定對所有的三角形而言，它的內角和一定是180°，我們怎么辦呢？

生5：需要證明這個結論.

師：很好！在幾何學里，只有從公理和定義出發，經過演繹推理而證明了的命題，才被認為是真理.歸納推理被趕出了幾何的花園.［4］

師（繼續）：雖然測量、實驗所產生的“結論”不一定正確，但它是我們發現數學公式、定理的重要途徑，有時也能為我們證明結論提供方法指引.

問題3：回顧上面的實驗2，說說實驗中剪拼角的目的是什么？從中能得到什么樣的啟發呢？

生6：圖1 中，剪拼的過程，相當于將∠B，∠C都移到∠A處，圖2 和圖3 也有同樣的效果.證明時，我們可以通過作平行線，實現這種平移效果.

問題4：大家觀察圖1、圖2 和圖3，在這三幅圖中，是否存在一條與△ABC的邊BC平行的直線？

師生活動：學生認真觀察并分析，教師引導學生對實驗的拼圖結果進行抽象，得到圖4、圖5 和圖6.

［設計意圖］引導學生回顧探索與驗證過程，歸納實驗成果，從中獲取證明的思路，為證明結論做好鋪墊.通過引導學生對實驗成果進行抽象，創設推理情境，“讓思維可見”，有助于把握數學問題的本質，達到優化解題的目的，培養數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養.

（四）教師示范，注重答題規范

例1 已知：如圖7，△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

教師活動：與學生交流圖4 中輔助線的作法，并結合圖形向學生“示范”推理過程.

證明：如圖4，過點A作直線l，使l∥BC，則∠B=∠1（兩直線平行，內錯角相等），∠C=∠2（兩直線平行，內錯角相等）.

因為∠1+∠2+∠3=180°（平角的定義），

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

［設計意圖］教師條理清晰地板書推理論證過程，以便學生“臨摹”與“借鑒”，這樣學生在遇到陌生的問題和領域時，就有章可循，有法可依.

問題5：你還能根據圖5 或圖6，用其他方法證明三角形內角和定理嗎？

教師活動：利用投影展示學生的推理過程.

生7：如圖5，延長BA，過點A作直線l∥BC，則

∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）.

因為∠1+∠2+∠3=180°（平角的定義），

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

生8：如圖6，過點A作直線l∥BC，則

∠1=∠C（兩直線平行，內錯角相等），

∠1+∠2+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）.

師：上面我們用幾種不同的方法證明了“三角形的內角和等于180°”，這就是三角形內角和定理.

［設計意圖］鼓勵學生尋求多樣的證明方法，有助于激活學生的數學思維，達到舉一反三的效果.在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經驗，提升解決問題的能力.［5］在學生思考的基礎上，教師要求學生寫出嚴格的證明過程，最后進行展示、交流、評析，矯正學生的典型錯誤.

問題6：上面的幾種證明方法可謂“殊途同歸”，都圓滿地證明了三角形內角和定理，你能說說這幾種證明方法有什么共同的特點嗎？

生9：通過作平行線，利用平行線的性質，將部分角移到適當的位置，使分散的三個角相對集中，從而解決問題.

［設計意圖］引導學生比較不同的解法，同時在多樣的證明方法中感受共性：利用輔助線，實施平移變換，將分散的要素集中起來.

（五）運用新知，解決簡單問題

例2 如圖8，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.

解：在△ANC中，

∠B+∠C+∠ABC=180°（三角形內角和定理）.

因 為∠B=38°，∠C=62°（已知），

所 以∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性質）.

因為AD平分∠BAC（已知），所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=40（°角平分線的定義）.

在△ADB中，

∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三 角 形 內 角 和 定理）.

所 以∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-38°-40°=102°（等式的性質）.

師生活動：教師講解例1，學生獨立完成例2 以及教材179 頁“隨堂練習”1、2、3 題，教師提問學生并及時評價.

（六）反思小結，提升學科素養

問題7：請同學們想一想：

（1）本節課我們學習了哪些知識內容？

（2）你認為證明“三角形的內角和等于180°”有什么意義？

（3）在應用“三角形的內角和等于180°”這一結論解決問題時應注意些什么？

師生活動：學生短暫梳理，小組代表發言，教師總結.

［設計意圖］該環節既有學生的分享交流，又有教師的總結提煉，引導學生從知識和方法兩個層面關注本節課的收獲，為后繼學習做鋪墊.

（七）設計板書，突出研究思路

本節課的板書如圖9 所示.

圖9

六、教學目標檢測

（一）檢測形式：課后作業.

（二）檢測內容：

1.△ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B______.

2.在一個三角形中最多有幾個鈍角？為什么？

3.△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°.求△ABC的各內角的度數.

4.如 圖10，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，求∠F的度數.

七、教學反思

（一）創設合適的問題情境，激發學生數學思考

合適的問題情境有助于引發學生思考與交流，形成和發展數學核心素養，也為學生數學核心素養提供了真實的表現機會.［6］本節課的多個環節，教師非常重視學生的主體地位，精心創設問題情境，如引導學生從“費馬的失誤”的故事中認識到數學需要證明，對數學學習和生活中的其他事物，也應養成追究其緣由、問個為什么的習慣；再如，引導學生由剪拼實驗創設推理情境，引導學生把握數學內容的本質等.通過在數學對象發生發展的關節點上創設合適的教學情境，不僅能啟發學生思考，更關鍵的是能夠引導學生開展數學探究活動，真正讓學生成為學習活動的主角.

（二）重視證明的規范性，發展學生推理能力

“教育就是培養良好的學習習慣”，學生推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中.本節課的教學中，教師首先引導學生回顧探索“三角形內角和等于”的數學實驗，感悟合情推理是數學研究的有效工具；其次，引導學生立足數學實驗、借助圖形直觀地探索證明思路，體驗發現結論到驗證結論的過程；再次，借助規范的板書進行示范，做到步步有據，在這個過程中引導學生學會數學思考、感悟理性精神；最后，引導學生探索證明結論的不同思路和方法，解決問題，獲得成就感，增強自信心，發展思維的廣闊性和靈活性.這樣的數學學習，使學生親歷數學知識的建構過程，既掌握了基礎知識和基本技能，又獲得了基本思想和基本活動經驗.

密立根說過：“科學靠兩條腿走路，一是理論，一是實驗，有時一條腿走在前面，有時另一條腿走在前面，但只有使用兩條腿，才能前進.”在數學實驗教學中，立足基礎，突出實驗操作，可以提升學生的學習力，引導學生發現問題并探尋解決之道.要放手讓學生去探究，變結果性知識為過程性知識，培養學生的信息獲取能力、分析論證能力和問題解決能力，樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，引領學生從“學會”走向“會學”，最終促進學生的數學核心素養的發展.