基于非凸范數最小化圖像去噪算法*

徐 可，王洪雁

（1.周口師范學院網絡工程學院，河南 周口 466000；2.大連大學信息工程學院，遼寧 大連 116622）

0 引言

采集、傳輸以及處理過程中，數字圖像無可避免被噪聲所干擾，導致部分細節丟失，從而使得圖像質量顯著下降［1-2］。為提升噪聲污染圖像質量，可精確恢復原始圖像并盡可能保留邊緣及紋理信息的圖像去噪相關算法被提出。然而，由于圖像去噪模型的欠定性，所得優化問題的求解較為困難，因此，基于圖像相關先驗信息獲得去噪優化問題的有效求解進而實現高效去噪已成為圖像去噪領域的研究熱點［3-4］。

根據圖像先驗信息的空域分布，圖像降噪算法可分為如下兩類：局部先驗信息方法以及非局域自相似（NSS）先驗信息方法。局部先驗信息方法主要包括基于小波收縮方法（WS）［5］，全變分方法（TV）［6］和基于退火算法的改進圖像去噪方法（PID）［7］。上述算法僅利用圖像局部先驗信息，忽略非局域圖像空域之間相似性，從而使得去噪算法性能有限。非局域圖像空域相似性是指：基于給定圖像非局域相似塊之間線性相關的物理事實，搜索相似于給定區域的圖像塊，實踐表明NSS 已成為圖像恢復任務中非常有效的先驗信息［8］。由此，基于加權平均相似圖像塊以提升去噪性能的非局域均值去噪（NLM）方法被提出，然而當圖像信噪比較低時，由于相似區域噪聲成分較多，從而使得所得去噪圖像模糊［9］。基于此，三維塊匹配（BM3D）算法被提出，其將多個相似二維圖像塊重構為三維數據以實現聯合去噪從而提升去噪性能，然而因其相似圖像塊查找及三維數據聯合去噪計算復雜度較高，因而限制了此算法的實際應用［10］。針對此問題，組稀疏的非局域集中稀疏表示（NCSR）方法被提出，然而此算法所得去噪圖像具有較強偽影及關鍵紋理細節模糊等問題［11-12］。針對上述問題，相關研究表明：矢量化非局域相似圖像塊并聚合為矩陣，則此矩陣由于列矢量之間相關性而呈現低秩特性［13］，因此，可基于其低秩空域先驗知識改善去噪性能。由此，基于核范數逼近秩函數以構造低秩去噪模型的核范數最小化（NNM）方法被提出，然而由于此算法平等對待各奇異值，而忽略各奇異值表征先驗信息重要性的不同，因而去噪性能改善有限［14］。基于此，加權核范數逼近秩函數以體現各奇異值不同重要性的加權核范數最小化（WNNM）方法被提出，然而，基于核范數逼近秩函數將過懲罰較大奇異值，從而使得所得去噪優化問題無法獲取最優解［15］。

針對上述圖像去噪性能改善有限的問題，基于可無偏逼近秩函數的伽馬范數［16］，基于伽馬范數最小化的圖像去噪方法被提出。所提方法基于結構相似性指數（SSIM）搜尋相似區域以提升相似塊搜索精確性，而后基于伽馬范數無偏逼近秩函數的特性構建低秩去噪模型，最后基于凸優化理論求解低秩去噪優化問題。與PID，NLM，BM3D 和NNM 等主流去噪算法相比，實驗結果表明，所提方法可有效濾除高斯噪聲，并盡可能保持原始圖像細節。

1 低秩去噪概述

將上述操作作用于各重疊塊，并重組各圖像塊即可重構原始圖像。然而，需要注意的是，作為有偏估計子的核范數，其逼近秩函數可過懲罰較大奇異值，從而導致上述最優化問題僅可獲得次優解，進而使得去噪性能提升有限［20］。基于此，本文利用伽馬范數替換核范數以無偏逼近秩函數，進而提升低秩去噪模型性能。

2 基于伽馬范數最小化的圖像去噪算法

基于歐氏距離的傳統非局域相似塊搜尋方法忽略空域間相似性，從而使得非局域相似塊搜尋性能較差［21］。為提升相似塊搜尋性能，本文提出基于SSIM 的自適應相似圖像塊搜索方法。SSIM 是一種綜合的圖像相似性評價指標［22］，其考慮圖像間亮度，對比度和結構3 個不同特性，可較好評價兩幅圖像的相似程度。給定兩幅圖像x 和y，SSIM 定義如式（5）所示：

自適應相似塊搜尋思想可表述如下：給定圖像塊yi及圖像數據集，計算yi與圖像數據集中分割所得圖像塊的SSIM，其值越大表明二者相似度越高，基于此，搜尋相似度最高的m 個圖像塊，相似塊數需基于噪聲特征自適應確定。而后矢量化相似塊并基于相似度降序自左至右排列以構建相似塊矩陣Yi。

基于以上所述，所提相似塊搜尋方法可有效利用非局域自相似先驗知識以改善相似塊搜尋精度。基于所得矩陣Yi，所提伽馬范數最小化的低秩去噪模型可表述如下。

表1 所提算法去噪流程

3 仿真結果及分析

為驗證所提算法去噪性能，實驗選取標準圖像庫中6 幅圖像進行測試，分別為256×256 Monarch、720×576 Boats、512×512 Lena、512×512 Pepper、256×256 House 和720×576 Barbara，如圖1 所示。采用PID［7］，NLM［9］，BM3D［10］和NNM［14］作為對比算法。仿真軟硬件環境為：Intel Core i7-7700，處理器主頻3.60 GHz，內存8 GB，64 位Windows 10，Matlab R2014a。

本節基于文獻［26］所提峰值信噪比（PSNR）定量評價去噪效果。給定圖像x 和y，PSNR 定義如式（17）所示：

其中，MSE 表示均方誤差，M×N 為兩幅圖像尺寸。

圖1 六幅測試圖像

對6 幅測試圖像分別添加零均值高斯白噪聲以生成噪聲圖像。由于篇幅限制，本文只顯示3 個噪聲等級去噪結果。其中，對于噪聲方差σn=10，σn=50 和σn=100，不同算法去噪結果如下頁表2 所示，最高PSNR 用粗體表示。由表2 可知，NLM 去噪性能不明顯，而所提算法幾乎每種情況皆可獲得較高的PSNR。相比PID，NLM，BM3D 和NNM 算法，所提算法PSNR 分別平均提高0.32 dB，2.76 dB，0.35 dB及1.99 dB，隨著信噪比降低，PSNR 提升較為明顯。此可歸因為所提方法基于SSIM 塊匹配以改善相似塊搜尋精確度，且基于伽馬范數改善秩函數近似度。基于以上所述，相較于對比算法，不同噪聲特征條件下所提算法均可獲得優良的去噪效果。

對于噪聲方差σn=50 的House 圖像，不同算法去噪結果分別如圖2 所示。由圖2 可知，基于NLM算法所得去噪圖像模糊較大，此可歸因于NLM 搜尋相似塊具有大量噪聲，且僅加權平均相似塊以實現去噪；而NNM 算法基于低秩先驗知識以消除模糊，然其平等對待各奇異值導致去噪結果關鍵紋理細節模糊；PID 算法基于空頻聯合處理以應對紋理細節丟失，細節模糊仍存在；BM3D 算法基于聯合濾波以提升去噪性能，但去噪圖像存在較強偽影。所提算法則采用基于SSIM 的相似圖像塊搜索方法，并利用伽馬范數無偏逼近秩函數以應對上述問題。由圖2（f）易知，本文方法所得去噪圖像偽影較弱，且邊緣及紋理等關鍵特征保持較好。綜上所述，相較于對比算法，所提方法去噪性能提升明顯，其不僅有效避免模糊及偽影，且可有效保持原始關鍵細節。

4 結論

針對傳統去噪算法降噪性能較差的問題，本文提出基于無偏逼近秩函數的伽馬范數最小化的去噪方法。首先將噪聲圖像重疊分塊并采用基于SSIM的塊匹配算法構造相似塊矩陣，以應對傳統方法相似塊搜尋精度較低的問題；而后基于伽馬范數構造低秩去噪模型，以避免傳統秩逼近方法估計性能較差的缺點；最后基于凸優化理論求解所得優化問題并重組去噪塊以獲得最終去噪圖像。相較于主流去噪算法，實驗結果表明，所提方法可有效濾除高斯噪聲，且盡可能保持原始圖像細節。

表2 不同去噪算法PSNR 對比

圖2 不同算法對House 圖像去噪結果（σn=50）