論矩陣等式在線性代數(shù)中的重要性

楊威 高淑萍 李兵斌

[摘 要]在線性代數(shù)課程中，矩陣等式可以定義基本概念，也可以描述各種問題。一個矩陣等式可能蘊含著多種線性代數(shù)含義。用矩陣等式來揭示線性代數(shù)概念的本質(zhì)與規(guī)律，是學(xué)好線性代數(shù)的關(guān)鍵，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力。本文通過實際問題討論了矩陣等式與線性代數(shù)概念的對應(yīng)關(guān)系，最后針對幾個考研試題，進(jìn)一步分析了矩陣等式在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性。

[關(guān)鍵詞]矩陣等式;線性代數(shù);抽象思維能力

[中圖分類號] O151.2 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）03-0116-04

一、問題引入

線性代數(shù)是所有高校工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，同時它也是工程數(shù)學(xué)中最重要的組成部分，它還是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的前提和工具。然而由于線性代數(shù)高度抽象、邏輯嚴(yán)密、符號獨特，很多學(xué)生在初學(xué)線性代數(shù)時都會反映線性代數(shù)比微積分更難[1]，常常出現(xiàn)“感覺上課聽懂了，但課后作業(yè)還是不會”的現(xiàn)象。分析其本質(zhì)原因有兩個：第一就是學(xué)生并沒有真正理解線性代數(shù)的問題本質(zhì)，或理解的深度不夠;第二個原因就是學(xué)生缺乏抽象思維能力，不能把題目中的有效信息抽象成矩陣等式，或不能理解題目中矩陣等式所蘊含的線性代數(shù)本質(zhì)含義。

抽象思維是以概括為起點進(jìn)行的思維，它是舍去事物的具體形象，運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀現(xiàn)實進(jìn)行間接的、概括的反映過程。對于大學(xué)教育來講，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的生活經(jīng)驗，掌握了一定的數(shù)學(xué)工具，具有一定的分析問題能力，因此，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和提高學(xué)生解決實際問題的能力是高等教學(xué)改革中的一個重要課題[2]。本文由淺入深地討論了如何用矩陣等式來抽象線性代數(shù)問題，如何挖掘矩陣等式所蘊含的線性代數(shù)含義。培養(yǎng)學(xué)生擁有一個“用矩陣等式來說話”的思維模式，為學(xué)生將來用數(shù)學(xué)建模解決復(fù)雜問題打下基礎(chǔ)。

二、用矩陣等式定義基本概念

線性代數(shù)的很多概念一方面是用語言來描述和解釋，另一方面是用矩陣等式來定義，教師一定要培養(yǎng)學(xué)生用矩陣等式來描述線性代數(shù)概念的思維方式。下面給出了幾個用矩陣等式來定義線性代數(shù)概念的例子[3]。

（一）用矩陣等式定義正交矩陣

很多初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生對以上定義產(chǎn)生疑惑，把等式[ATA=E]與“正交”的概念不能聯(lián)系起來。這是因為學(xué)生對矩陣轉(zhuǎn)置、矩陣乘法、單位向量、向量正交等概念理解不深刻，或者說他們不能用相應(yīng)的矩陣等式來描述這些概念。下面給出了對稱矩陣、單位向量和向量正交的矩陣等式定義。

當(dāng)學(xué)生能充分理解以上矩陣等式與基本概念定義之間的對應(yīng)關(guān)系時，正交矩陣概念的理解就變得很簡單了。[ATA]其實就是矩陣[A]的列向量之間的內(nèi)積運算，而[ATA=E]說明[A]的每一列向量與自己的內(nèi)積都為1，[A]的任意兩個不同列向量的內(nèi)積都為0，即[A]的每一列都是單位向量，且[A]的列向量兩兩正交。

（二）用矩陣等式定義矩陣之間三種等價關(guān)系

等價矩陣、相似矩陣及合同矩陣這三個概念非常重要，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)。這三個概念出自不同章節(jié)，但它們的定義極為相似，它們之間也存在著相互關(guān)系，教師應(yīng)該把它們聯(lián)系起來分析討論，使學(xué)生容易理解和記憶。以下用矩陣等式分別對矩陣三種關(guān)系進(jìn)行定義。

從以上矩陣等式關(guān)系可以明顯得出：兩個矩陣相似則一定等價;兩個矩陣合同也一定等價;合同不一定相似，相似也不一定合同。另外，可以證明：實對稱陣相似則一定合同。

三、用矩陣等式抽象線性代數(shù)問題

培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法是素質(zhì)教育不可或缺的重要環(huán)節(jié)。抽象思維最顯著的特點是抽象性與概括性的統(tǒng)一，學(xué)生的抽象思維能力直接影響著他們對知識理解的深度和廣度。沒有抽象就無法進(jìn)行邏輯推理，沒有概括就無法進(jìn)行知識遷移[2]。線性代數(shù)很多問題的描述都可以用矩陣等式抽象表示，用矩陣等式表達(dá)線性代數(shù)問題可以鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，教師應(yīng)該在教學(xué)中強調(diào)矩陣等式在線性代數(shù)中的作用。以下由淺入深地討論五個具體問題。

本題的難度系數(shù)并不高，但當(dāng)年卻難住了很多考生，其原因是考生不能靈活運用分塊矩陣的知識，沒有發(fā)現(xiàn)已知條件中矩陣等式所蘊含的線性代數(shù)信息。

六、結(jié)語

“用矩陣等式來說話”的思維模式是學(xué)好線性代數(shù)的關(guān)鍵。一方面是用矩陣等式來抽象線性代數(shù)的問題，即把線性代數(shù)語言翻譯為矩陣等式;另一方面是發(fā)現(xiàn)矩陣等式所蘊含的線性代數(shù)本質(zhì)，即把矩陣等式翻譯成線性代數(shù)語言。這不僅提高了學(xué)生抽象思維能力，同時也提高了學(xué)生解決實際問題的能力。

從考研的五道例題可以看出，當(dāng)考生熟練掌握了矩陣等式與線性代數(shù)本質(zhì)問題之間的對應(yīng)關(guān)系時，考題就變得非常簡單了。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 韓加坤，黃鍵.線性代數(shù)課程設(shè)置構(gòu)想[J].大學(xué)教育，2016（2）：143-144+147.

[2] 王秀澤，孫佳徐，楊斌.大學(xué)教育中的形象思維與抽象思維[J].大學(xué)教育，2013（16）：31-32+35.

[3] 陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[4] 楊威.線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.

[5] 楊威.線性代數(shù)名師筆記[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2014.

[6] 天明考研研究組.考研數(shù)學(xué)歷年真題詳解[M].沈陽：遼寧大學(xué)出版社，2019.

[責(zé)任編輯：林志恒]