巧用弦切角速解帶電粒子在有界磁場中的運動時間

蔣金厚

一、一個實用的推論

如圖1所示. 假設有垂直于紙面的勻強磁場，相同的帶點粒子沿同一方向由a點垂直磁場方向進入勻強磁場. 若ab直線為磁場的邊界，粒子由p點離開磁場，ap為弦，速度矢量為切線，弦切角為α，粒子的出射方向與入射方向的夾角θ為偏轉角. 由幾何知識可知偏轉角θ=2α，圓心角等于偏轉角θ. 以速度矢量為切線，a為公切點畫半徑逐漸增大或減小的縮放圓，各圓圓心在與入射速度垂直的ac 線上. 在ab直線邊界上，不管各圓半徑如何，粒子離開磁場的速度方向一致，粒子的偏轉角相等，圓心角相等. 由帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動的周期公式T=■，可知相同的帶電粒子在同一勻強磁場中運動的周期相等，與速度和半徑無關，各粒子在磁場中的運動時間t=■·T=■·T也相等. 若ad直線為磁場的邊界線，各粒子運動到ad直線的時間也相同. 弦切角越大，粒子的偏轉角越大，圓心角越大，相比于運行到ab線，運行時間也越長.

推論：相同帶電粒子由同一點沿相同方向垂直射入勻強磁場中作勻速圓周運動，從磁場邊界上的某點射出磁場，粒子在磁場中的運行時間t=■·T，θ為圓心角，α為弦切角，α越大則運行時間越長，其中，0<α<π.

推論滿足條件：首先，磁場為勻強磁場;其次，帶電粒子入射速度方向相同，大小不同;再次，帶電粒子垂直磁場射入磁場.

二、推論在有界磁場中的應用

1. 磁場邊界為直線邊界.

【例1】如圖2所示，直角三角形平面內有垂直三角形平面向外的勻強磁場，磁感強度大小為B，∠A=60°，現有大量的相同的帶負電粒子由A點沿AB方向射入磁場中，不考慮粒子之間的相互作用，不考慮重力. 則（）

A. AC邊上都有粒子射出磁場

B. BC邊上都有粒子射出磁場

C. 從AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間皆為■

D. 從BC邊射出的粒子在磁場中運動的時間皆為■

解析：如圖3，過A作縮放圓，速度矢量為各縮放圓的共同切線，A為共同切線的切點，總可以找到一個與CB邊相切的圓，從斜邊AC的C點下方射出磁場，到達不了C點，A錯誤;CB邊的D點上方無粒子射出，B錯誤. 從AC邊射出的粒子，弦切角為α=■，所以，這些粒子在磁場中的運行時間皆為t=■·T=■，C正確;從A運行到D點的粒子，弦切角α=■，粒子在磁場中運行時間為t=■·T=■;從BD段射出的粒子，弦切角小于■，粒子在磁場中運行時間小于■，D錯誤;故選C.

2. 磁場邊界為圓邊界.

【例2】如圖4所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內，O為圓心，AB為大圓的水平直徑. 小圓內Ⅰ區有垂直圓面向外的勻強磁場，兩圓之間的環形區域Ⅱ區存在垂直圓面向里的勻強磁場，磁感應強度均為B. 現有大量的質量為m，電量為+q的粒子從A處沿圓周切線垂直磁場方向射入磁場.不考慮粒子之間的相互作用，不計粒子的重力. 求：

（1）若粒子運動軌跡不離開磁場Ⅱ區，求粒子入射速度的大小范圍;

（2）粒子第一次到達磁場Ⅰ區邊界的最短時間;

（3）能通過Ⅰ區和Ⅱ區的粒子的最小周期.

解析：（1）如圖5所示，粒子運動軌跡不離開磁場Ⅱ區，軌跡圓O1與磁場圓Ⅰ區邊界外切時，圓O1半徑為■，由■=■，得v=■，粒子入射速度0

（2）粒子由A進入磁場Ⅱ區，欲使其在最短時間內到達磁場Ⅰ區邊界，即粒子作圓周運動的圓心角最小，即弦切角最小. 如圖6所示，從A點畫一條與Ⅰ區圓相切的直線段AP，AP為粒子軌跡圓周上的弦，弦切角最小，連接OP、OA，三角形APO中的∠OAP=■，弦切角α=■，所以運動最小時間t=■·T=■ .

（3）如圖6所示，從P點進入Ⅰ區的粒子，軌跡具有對稱性才能回到A點完成一個周期.要使粒子在Ⅱ區中運動時間最短，只有在Ⅰ區中軌跡對稱圖形最少，在Ⅰ區中運動時間才會最短. 由幾何知識可知，粒子在Ⅰ區中運動的圓心角？茲1=■，運動時間t1=2·■·T=■，粒子在Ⅱ區中運動的圓心角？茲2=■，運動時間t2=2·■·T=■. 所以粒子通過Ⅰ區和Ⅱ區后回到A點的最短周期T′=2T=■.

3. 磁場邊界為混合邊界.

【例3】一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖7中虛線所示，■為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑. 一束質量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率. 不計粒子之間的相互作用. 在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（??? ）

A. ■???? B. ■???? C. ■???? D. ■

解析：如圖8所示，粒子垂直ac進入磁場，圓心在ac直線上. 過c作磁場半圓的切線cp，cp為弦，弦切角最大，粒子運動時間最長. 連接op、oc，由幾何關系可知∠ocp=■，則弦切角α=■+■=■. 帶電粒子在磁場中運動最長時間：t=■·T=■，C正確，ABD錯誤;故選C.

責任編輯 李平安