線性代數問題教學法教學設計研究
——以逆矩陣的定義教學為例

陳國東

（陸軍步兵學院 江西·南昌 330103）

1 問題教學法的特征

問題教學法是教師根據同學們的學習規律，從已知到未知，在課程導入中有意地創設問題情境，引導學生探索思考，提出問題，帶著疑問去學習新知識，找到求解問題的方法，最后回歸到問題情境中，處理實際問題。然而，在現在的數學教學中，老師往往是以自己事先知道內容概念，然后再將概念灌輸給學生，這樣會導致學生只會死記硬背，不會去理解為什么概念是這樣的？但是，問題教學法卻與之不同，它要求老師具備“未先知”的理念，即老師在講解概念的時候不是傾盆而出的，而是要同學生一起通過解決問題來共同得出所學的內容，從而讓學生在解決問題的過程中來學會學習。

1.1 問題教學法的“問題”設計

有效挖掘內容背后的問題，合理提出和設計問題，引出教學內容是問題教學法的重點之一。總的來說，主要可從以下三個角度對問題進行設計：從數學課程本身為起點，從同學們的認識規律為開始，從教育教學的規律為關鍵，其中貫穿始終的是要老師具有“未先知”理念。

1.2 問題教學法的意義

在教學中，線性代數內容往往是以先知的形式給出，采取一種演繹式，講解式的方式呈現在教學過程中。然而，目前在我們講授中依然存在以演繹式的方法進行授課的現狀，這往往就輕視了探索問題、剖析問題，處理問題的進程，忽視了數學思想的鍛煉，從而很難教育出創新性的人才。而問題教學法就能很好的處理這一缺點，從問題的本源出發，剖析問題所在，建立數學相關概念，解決相應問題。針對問題教學法的特點，教師在運用問題教學法進行講授時，應該注意從數學學科本身出發，以學生的認識特點為基礎，根據教育教學的特點對授課內容進行合理的設計。下面我們通過線性代數課程中向量組的秩的定義為例，研究問題教學法的教學設計。

2 《向量組的秩的定義》教學設計

2.1 教學過程設計

線性代數知識在實際工作生活中被廣泛的運用，然而因為其內容比較抽象，概念性較強，可能會使學生降低學習興趣，因此很難實現預期的學習目標。對于這個問題，我們使用問題教學法設計了如下的教學過程：依據數學規律，認知規律將內容問題化。由于在上兩節討論中，向量組只局限于有限個向量，而這節課討論的向量組中是無限多個向量的情況，通過分析引例，將線性無關部分組相關知識遷移到含無限多個向量情形，從而引出最大無關組與向量組秩的概念，而后提示學生在學習向量組的秩的定義時應該注意的幾點內容，最后，用問題來推出最大無關組的等價定義。

2.2 教學進程

2.2.1 問題引入

首先通過問題：對于由無限多個向量構成的向量組，我們應該研究所有的向量還是部分向量組？如果是研究部分向量組，那么這個部分組又有什么共性呢？隨后帶著上述這個問題，同老師來看一道引例。

引例：（1）觀察引例：

例如：

分析：從題中我們可以發現，對于向量組A和B，由于它們都是二維向量組，因此由上節定理5的第2個結論知，向量組A和B的任意2個以上的向量是線性相關的；但是我們從線性無關部分組所含向量的數目來看它們之間就存在不同。比如，關于向量組B，因為B中任何兩個非零向量都是不成比例，從而，向量組B中最多有兩個向量的線性無關部分組，例如。但對于向量組A，其中的任何兩個向量都是線性相關的，即A中最多包含一個向量的線性無關部分組。我們再從線性表示方面來分析一下，因為向量組A中任意兩個向量構成的向量組是線性相關的，而其中任意一個非零向量是線性無關的。因此，由上節定理5第3個結論可知，向量組A中的任一向量能夠由這個含向量數最多的線性無關組來表示，我們暫時稱這個有最多向量個數的部分組為該向量的核心部分組，同理向量組B也可得到此結論。

（2）發現結論：向量組中的向量可由含向量個數最多的部分組（核心部分組）線性表示。

通過對引例的討論分析，逐步的對提出的問題進行求解，從而激發學生學習興趣，使學生自主的參加到求解問題的進程中去。

2.2.2 概念講授

在上一章學習中，我們引入了矩陣的最高階非零子式概念，并把它的最高階數定義為矩陣的秩，它在前兩節向量組線性表示和線性相關性的學習中起了非常重要的作用。現在，依照向量組與矩陣的對應關系，以及我們通過對引例進行分析知道：對于一個有無限多個向量的向量組可由核心部分組線性表示。那么我們是否可以把核心部分組與最高階的非零子式相對應，就可將秩的定義引進向量組內。

定義1：對于向量組A，假設在向量組A內可以取出r個向量 a1,a2,……,ar，滿足

（1）向量組 A0：a1,a2,……,ar線性無關；

（2）向量組A中任何r+1個向量（如果有r+1個向量的話）都線性相關。

則向量組A0就是向量組A的一個核心部分組或最大無關組，而最大無關組的向量個數r就是該向量組A的秩，記為RA。

引出了向量組秩的定義后，回到引例求出向量組A和B的秩。前面我們通過分析已經知道，在向量組A中任一非零向量都是該向量組的核心部分組，而向量組B中任意兩個不包含零向量構成的向量組就是核心部分組。從而，可從向量組秩的概念可知RA=1,RB=2。

對于學生在學習向量組秩的定義時可能會有疑難，因此可以設置以下問題：

問題1：對于向量組的最大無關組，它是唯一的嗎？

分析：從引例中向量組A和B的分析中可知，在向量組A中的任一非零向量都是其向量組的最大無關組，而向量組B中的任何兩個不含零向量的向量是該向量的最大無關組。因此，對于向量組來說，其最大無關組可能不唯一。

問題2：假設向量組A本身線性無關，則一定存在最大無關組嗎？

分析：通過最大無關組定義可知，當向量組A自身無關時，即向量組A滿足定義中第（2）個條件的特殊情形，此時A本身就是它的最大無關組，而其秩就是A內的向量個數。

例2：設全體n維向量組成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關組和Rn的秩。

分析：由于n維單位坐標向量組組成的向量組Rn是線性無關的，如果我們往里面任意添加一個n維向量，由定理可知，新向量組必然是線性相關的，故而n維單位坐標向量的一個最大無關組就是其本身，而且它的秩為n。

問題3：向量組A與A0存在什么關系？

分析：觀察引例可以發現，向量組A與A0等價。

節點安全連通度能夠反映網絡安全性能的高低,節點的安全連通度越大節點與更多的鄰居節點存在共享密鑰,網絡的安全性能越高。

猜測：向量組A和它的最大無關組A0等價。

證明：由于A0是A的部分組，故A0可由A線性表示。對A中任一向量 ，其組合1,2,…,r,相關，即A能夠由A0表示，所以向量組與其最大無關組等價。

結論：向量組A內任何一個向量均能夠通過最大無關組A0線性表示。

問題4：若將定義1中的第（2）個條件替換成：向量組A的任何向量都能夠通過A0線性表示。請問：A0依然可以是A的最大無關組嗎？

證明：只要證A內的任意r+1個向量相關。設

從而，A中的任何r+1個向量線性相關。故A0滿足最大無關組條件，即A0仍是A的一個最大無關組。

現在，我們已經對向量組秩的概念進行了學習，那么對于一般的向量組，我們應該如何去求出向量組的最大無關組和秩呢？通過問題引出下一節課要講授的內容，即如何去求最大無關組及秩？

2.2 .3內容小結

首先，協助學生理清本次課所學的主要知識點，并且強調在學習向量組的秩的定義時應該留意那些關鍵點；其次，由本節課最后提出問題為下一節課最大無關組及秩的求法引發學生思考；最后，要求學生課后認真復習本節課的內容和預習下一節課的內容，并查閱資料，了解向量組的秩在生產生活上具有哪些方面的應用。

3 結語

線性代數盡管是一門概念性較多的課程，但是它在生產生活中扮演著重要的角色。傳統的線性代數教學和現代多媒體教學往往采用“注入”式的方法，學生在課堂上很難掌握教學內容，這將直接降低線性代數的教與學的質效。將問題教學法引入到線性代數教學中，通過教師在問題提出、問題分析、問題解決、問題小結等各個環節下功夫，不但能充分激發學生的學習興趣，而且還能夠提高學生在教學過程中的參與度。一個合理的運用問題教學法的教學設計必將發揮線性代數課程的基礎性和服務型功能，最終能夠有效的提高教學效果。