基于T-S模糊故障樹的多態導航系統性能可靠性

劉勇，羅德林，石翠，吳華新

（1.工業和信息化部電子第五研究所，廣州510610；2.廈門大學 航空航天學院，廈門361102； 3.空軍預警學院，武漢430019）

組合導航系統（Integrated Navigation System）是將北斗衛星導航系統/全球導航衛星系統（Global Navigation Satellite System）和慣性定向定位導航系統（Inertial Navigation System，INS）等2種以上的設備以適當的方式有機組合來提高系統整體導航能力的綜合信息服務系統，其具有定位精度高、可靠性好、性能強、優勢明顯等特點。組合導航系統能為制導定位、武器校準和引導航行等提供實時可靠的高精度導航信息，對于艦艇的戰斗力和飛機的安全航行具有重要的影響［1］。傳統的故障樹分析方法，假設系統只是存在“非此即彼”的二元狀態，且認為故障精確可知，應用布爾代數和概率論的理論對系統進行可靠性分析［2］。將模糊理論和故障樹分析方法有機結合，可以解決不同領域、不同類別系統的可靠性和不確定性問題［3-5］。基于模糊邏輯的T-S模糊故障樹模型［6］，解決故障機理和故障概率不明確條件下系統失效概率的計算問題，并以多態導航系統為實例進行了分析。

傳統對于導航系統可靠性的研究，大都采用故障樹分析方法和模糊理論相結合，將多態替代二態故障樹引入到故障樹事件的分析研究，有效地解決了故障機理未知、故障狀態多樣的復雜系統可靠性計算分析的問題［7-9］。然而，現有的研究成果主要關注的是導航系統的功能故障，而對于導航系統處于正常、輕微故障和故障等多種狀態下完成功能的系統的性能水平卻鮮有研究。本文提出的T-S模糊故障樹導航系統性能分析方法，將T-S模糊故障樹建模思想與概率統計理論中數學期望的方法相結合，求解某一時間系統在多種故障狀態下事件所代表的期望性能，實現由導航系統故障建模與功能性能可靠性的轉化，解決了故障機理模糊、故障狀態多樣時導航系統性能可靠性的求解及評估問題。

1 T-S模糊故障樹

1.1 T-S模糊故障樹模型事件描述方法

T-S模糊故障樹模型是一種基于規則的模型，其基于線性變換規則，實現由模糊模型前件變量到后件結論變量的映射。模糊變換的規則如下［10］：

式中：f（x）為線性函數。令l=1，2，…，m，假設有輸入事件n個，給定模糊規則m條，對于單個輸出事件系統的T-S模糊推理模型如下：

實際過程中，精確的數值無法描述故障的程度，因而，假設模糊數0表示系統“無故障”、模糊數0.5表示系統“輕度故障”、模糊數1表示系統“嚴重故障”，以如圖1所示的梯形隸屬函數表示模糊數的隸屬函數。

圖1 模糊數的隸屬函數Fig.1 Membership functions for fuzzy numbers

隸屬函數表達式為

根據圖1可知，若取s=0時，模糊數轉換成常數，若取k=0時，梯形隸屬函數轉變成三角形隸屬函數。

1.2 T-S模糊故障樹基本算法

因此，上級事件的模糊可能性為

設x′=（x′1，x′2，…，x′n）為底事件x=（x1，x2，…，xn）的故障程度，則上級事件故障程度的模糊可能性估算如下［13］：

因此，根據T-S門規則，結合下級事件x的模糊可能性，應用式（5）進行逐級遞推，可求解上級事件y的各種模糊可能性。同理，根據T-S門規則，只要知道下級事件x的故障程度x′，應用式（6）進行逐級遞推，很容易估算上級事件故障程度的模糊可能性。

2 基于T-S模糊故障樹的多態導航系統的性能可靠性模型

通常以故障樹中的頂事件代表某一系統，應用概率統計的期望理論，引入系統最佳初始性能值方法，計算系統處于不同故障狀態下的模糊可能性，以及系統處于該狀態下的性能值，進而求取系統性能可靠性的估計值［14］。

2.1 系統性能可靠性

令頂事件T表示的系統性能參數為WX，為初始狀態下WX的最佳性能值，WXq表示系統處于故障狀態q某一時刻頂事件T的性能值。設系統處于故障狀態q時，頂事件T的性能值為WXq，則頂事件故障狀態Tq的概率為［15］

則系統的性能可靠性可以表示為

式中：E（WX）為多故障狀態下系統的期望性能；為初始狀態的下系統最佳性能。

2.2 不同層級事件故障時的系統性能可靠性

2.2.1 底事件故障時的系統性能可靠性

參考文獻［16］，若底事件xi的故障狀態為，在故障狀態為Tq條件下，頂事件T故障的條件概率為

可求得底事件xi的故障狀態為時系統的期望性能如下：

則已知底事件故障狀態，可求得系統故障時的性能可靠性為

當T-S模糊故障樹的底事件發生故障，卻未知其處于何種故障狀態時，此時可取任意一種故障狀態對底事件的故障情況進行表示，應用均值計算方法，取底事件處在某一故障狀態的概率為1/ki，求解系統的期望性能的公式如下：

式中：ki為底事件故障狀態總數。

系統底事件的故障狀態未知，其發生故障時系統的性能可靠性為

2.2.2 中間事件故障時的系統性能可靠性

若中間事件yj處于故障狀態時，系統的期望性能為

則中間事件其所處的故障狀態已知時，其性能可靠性為

若T-S模糊故障樹的中間事件yj發生故障，且其故障狀態未知時，此時可取任意一種故障狀態對中間事件的故障情況進行表示，采取均值計算方法，取中間事件處在某一故障狀態的概率為1/kj，求解系統的期望性能的公式如下：

在未知系統中間事件故障狀態條件下，其發生故障的性能可靠性為

3 案例分析

3.1 導航系統T-S模糊故障樹

組合導航是指采用網絡化手段，將2種以上的單一系統組合在一起，綜合多種導航設備的優勢，解決單一導航系統的局限和限制，形成多種信息源共享互補的多維度和高精度多功能系統。GPS/INS是組合導航系統中較為典型的一種，組合導航系統包括控制顯示器、組合傳感器、Kalman濾波器和電源4個組成部分［2］。組合導航系統主要由電子設備組成，其各個部件的固有可靠性水平不同，發生故障程度會有一定差異，系統發生故障具有不確定性。

組合導航系統T-S模糊故障樹如圖2所示。

圖2 組合導航系統T-S模糊故障樹Fig.2 T-S fuzzy fault tree of integrated navigation system

根據模糊故障樹規則，采用模糊數0、0.5、1描述事件“無故障”、“輕度故障”和“嚴重故障”3種故障狀態，參考文獻［5］，結合經驗和專家數據得到T-S門3和T-S門4規則如表1、表2所示。

限于篇幅，其他T-S門規則不在本文中描述。

表1 T-S門3規則Table 1 Rules for T-S gate 3

表2 T-S門4規則Table 2 Rules for T-S gate 4

3.2 T-S模糊故障樹轉化為貝葉斯網絡

根據T-S模糊故障樹轉換成BN的規則，參見文獻［11］的轉換方法，T-S模糊故障樹中的底事件可轉換成BN的根節點，T-S模糊故障樹中的中間事件轉換成BN的中間節點，T-S模糊故障樹中的頂事件轉換成BN的葉節點。

3.2.1 頂事件的期望性能

組合導航系統所涉及的性能問題主要是系統的姿態精度、速度精度和位置精度的問題，在此關注組合導航使用過程中的位置精度問題，由于系統處于不同的故障程度，導致其位置精度各不相同。假設組合導航系統位置精度性能變量為WX，WXq表示頂事件T即組合導航系統在第q個狀態下系統的性能值。對于頂事件T，分別用語言值0、0.5、1，對其3個故障狀態進行描述，結合圖3，以表3表示不同故障狀態下的定位精度。

組合導航系統屬于電子設備，通常假定底事件故障發生服從指數分布，其可靠度函數為

圖3 組合導航系統貝葉斯網絡Fig.3 Bayesian network diagram of integrated navigation system

令t=3 000 h，以底事件x1為例，當其處于故障狀態0時，其模糊可能性求解如下［8］：

則事件x1處于故障狀態0.5或1時的模糊可能性為

同理，可計算底事件x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，結果如表4所示。

由表1、表2可計算中間事件y1、y2的模糊可能性。

同理，可求得P（y1=0.5）、P（y1=1）、P（y2=0）、P（y2=0.5）、P（y2=1），結果如表5所示。

表3 不同故障狀態下的定位精度Table 3 Positioning accuracy for different fault conditions

表4 底事件的模糊可能性Table 4 Fuzzy possibility for base even t

根據模糊門規則推理，可求得頂事件的模糊可能性，計算結果如表6所示。

表5 中間事件的模糊可能性Table 5 Fuzzy possibility for intermediate event

表6 頂事件的模糊可能性Table 6 Fuzzy possibility for top event

由表3及表6可計算得到系統期望性能為

隨著時間的增加，系統故障發生概率上升，系統的性能下降，其定位精度降低，該指標與系統性能成正相關，系統的性能可靠性為

3.2.2 條件概率下頂事件的期望性能

參考文獻［16］假設中間事件處于故障狀態0.5時，系統的期望性能為

根據2.2.2節方法，求得中間事件故障狀態取值0.5時，頂事件的模糊可能性，如表7表示。

表7 中間事件故障時頂事件的模糊可能性Table 7 Fuzzy possibility for top event when intermediate event fails

由表2和表6得到系統條件期望性能和性能可靠性的值分別為0.018 9和0.121 8。同理，可以計算確定故障狀態底事件和未知故障狀態底事件時導航系統性能可靠性。

本節應用實例，分別計算了工作3 000 h且明確底事件和中間事件故障狀態時的GPS/INS組合導航系統性能可靠性。隨著工作時間的增加，組合導航系統可靠性逐漸下降，在系統工作3 000 h后，故障發生概率上升，系統可靠性下降，對系統精度產生了一定的影響，導致系統性能可靠性指標下降，所求得的性能可靠值為0.876 8。

系統的故障狀態是對系統性能產生影響的重要因素之一。不同層次事件的故障狀態對系統性能影響有所不同，根據計算結果得出中間層的位置在系統中非常關鍵，即便是系統中間層輕微故障，也會引起系統性能可靠性的較大下降，差值為0.755。這個與T-S門規則分析的結果一致。

4 結 論

1）針對T-S模糊故障樹模型無法解決人們關注的導航系統故障與性能有機關聯問題，通過構建導航系統T-S模糊故障樹模型，引入性能變量，計算故障機理模糊、故障狀態多樣時導航系統性能可靠性問題。

2）針對導航系統的性能可靠性的求解，本文提出了2點思路：一是著眼于對基本故障數據的分析，由下至上逐層遞推，計算組合導航系統性能可靠性；二是分別從不同層級事件故障狀態出發，根據模糊邏輯和網絡規則對導航系統性能可靠性求解。

3）本文以典型的組合導航系統為例，構建了貝葉斯網絡，求解了其頂事件在不同狀態下的系統精度的性能可靠性，計算結果對方法的可行性和有效性進行了進一步驗證，充分說明該方法對于分析復雜多態導航系統性能具有可行性和實用性。