基于時域映射的多無人機系統給定時間分布式最優集結

丁超，魏瑞軒，周凱

（1.空軍工程大學 研究生院，西安710051； 2.空軍工程大學 航空工程學院，西安710038）

通信受限條件和復雜戰場環境下，多無人機系統自組織協同作戰是應對廣域戰場空間中動態任務的有效作戰方式［1］。而系統狀態的一致性是自組織協同作戰的基礎，是發揮多機系統集群優勢、實現智能匯聚的關鍵。

近年來，眾多文獻針對多自主體系統一致性進行了深入研究，分別提出了若干動態和靜態一致性算法［2-6］。但是上述文獻的研究重點在于系統內部控制結構，難以針對復雜多變的外部環境，形成較為開放自主的任務完成能力。

為解決上述問題，一些學者將研究點進一步拓展，開始逐步研究分布式優化問題，即如何在局部通信條件下，不僅實現全局一致性，還能針對單個系統不能完全感知的外部環境作出協調反應，實現某些指標的全局最優。關于分布式優化問題，文獻［7-10］將梯度下降算法與一致性協議結合，在離散框架下解決了相應問題。然而文獻［7-10］所考慮的多自主體系統不包含動力學模型，這與實際應用場景不符。因此，文獻［11］針對連續的動力學系統，提出事件驅動機制解決了對應的優化問題，但是決策協議中部分參數的選擇依賴于外部環境全局信息。為解決此問題，文獻［12］利用自適應技術，分別構造性地設計了基于邊和節點的分布式自適應優化協議，但無論是一致性還是最優化都只能實現漸近收斂，一定程度上限制了其應用范圍。基于此，文獻［13-14］運用符號函數技術，保證了系統一致性與最優化在有限時間內完成，但所有局部目標函數必須滿足類二次型（Quadratic-Like）假設。為消除該限制性條件，文獻［15］進一步采用切換策略，將有限時間收斂結果推廣到更一般的凸目標函數。然而，應該指出的是，文獻［15］中的收斂時間與初始條件有關且優化時間無法顯式計算。文獻［16］進一步將具有固定時間收斂特性的雙冪次趨近律運用到分布式優化問題當中，消除了一致性收斂時間上界對系統初始狀態的依賴。但該上界仍然取決于某些全局信息及協議參數，并且系統最優性無法在有限時間內實現。如何在給定時間內進行協調決策，更快地實現信息和智能的匯聚成為分布式優化領域亟需解決的難點。

為解決給定時間內多無人機系統的分布式最優集結問題，本文提出了一種具有時變增益的分布式優化協議。通過建立時域映射，并基于原有限時域給定時間穩定性與轉換后無限時域漸近穩定性的等價關系，在轉換時域證明了分布式協議的有效性。與目前常規的基于冪次趨近律的有限和固定時間方法相比，本文收斂時間能夠被任意規定，有效增強了面向任務的能力。此外，時變增益的使用還消除了傳統方法增益設計的限制性條件，避免了常數增益和自適應增益設計方法中需要一定全局先驗知識以及復雜度增加的問題。仿真結果驗證了本文給定時間分布式優化協議的正確性和有效性。

1 問題描述

1.1 通信拓撲

在假設1條件下，每架無人機僅能獲取自身及其鄰居的局部信息，但同時也保證了多無人機系統中不存在完全孤立的個體，這使得群體中每名成員的信息可通過間接方式實現融合。對于無向連通圖，有如下引理：

1.2 任務建模

假定在某次任務中，N架無人機在分布式通信條件下分別由不同初始位置起飛，從不同方向集結到任務區域。在整個集結過程中，需要綜合考慮我方支援補給、敵方探測雷達、防空導彈威脅等約束條件，實時動態地規劃每架無人機的飛行航跡，并要求無人機群集結完畢時所在位置全局最優。本文約定每架無人機能夠依據自身設備與知識得到態勢判斷函數fi（xi）：Rn→R，并進一步計算出當前梯度信息Δfi（xi）：Rn→Rn，xi為無人機i的位置，fi（xi）越小越好。此外，戰場環境瞬息萬變，戰機稍縱即逝，為了不打亂既定作戰計劃，保證整個任務鏈順利進行，要求無人機群必須在給定時間T內完成集結。任務可用數學語言描述為

為了保證目標函數最優解存在，給出如下凸優化假設：

假設2對于任意i=1，2，…，N，fi（xi）二階可微且Δ2fi（xi）為正定矩陣。

對于可微凸函數f（s）而言，假設3是一個相當寬泛的條件，它比一般的Lipschitz連續性條件更弱。假設4則保證了全局梯度的變化率有限，符合實際情況。為便于分析，介紹如下引理：

1.3 決策模型

若將無人機看做質點，其三維運動學模型可表示為［19］

式中：［x，y，h］T為無人機的位置向量；v為無人機速度大小；ψ和θ分別為無人機的航向角和俯仰角。

可以看出，若忽略飛控系統的動態響應過程，無人機的三軸速度都可以通過v、ψ和θ合適的指令進行相應配置。由于本文旨在研究如何通過實時在線分布式決策實現智能匯聚，僅涉及到空間內三軸速度指令決策，故決策系統的一般表達式即為

式中：xi（t）∈Rn為無人機的狀態，若僅考慮三軸位置，則n=3，為體現本文方法的可擴展性，仍記為未定整數n；ui（t）∈Rn為決策指令輸入，ui（t）只能使用自身和從鄰居處獲取的信息。

實際的決策系統多采用離散化的方式逐步確定下一時刻位置指令。注意到當采樣時間Δt較小時，可將微分方程（4）轉化為如下差分方程進行離散化決策：

式中：j∈N為采樣次數；N為自然數集合。

2 主要結果

2.1 時域映射

借鑒文獻［20］提出的時域映射方法，本節將系統（4）的給定時間分布式優化問題轉化為時變系統（9）的漸近優化問題，相比于通常的固定時間冪次趨近律方法，簡化了分析與設計流程。

令多無人機系統集結時間的上界為T，當t∈［0，T）時，考慮利用如下的時域坐標映射將有限時域t擴張到無限時域τ。

其逆變換記為

顯然有ω（τ）：［0，+∞）→［0，T）。式（7）左右兩邊對τ求導可得

式中：κ（τ）為時變系數。

當t∈［0，T）時，式（4）兩邊同時乘以式（8）可得

式中：τ∈［0，+∞）。系統（9）即為原系統（4）在時域τ內的動力學表達式。

注1時域映射（6）及其逆變換（7）建立了有限域t和無限域τ之間的雙射，這意味著想要解決原系統（4）的給定時間控制問題，只需要在無限域τ上實現轉換系統（9）的漸近控制即可。對于轉換后的時變系統（9），κ（τ）可視為系統的時變控制系數。因此，為了對系統（9）進行漸近控制，決策指令必須包含增益項1/κ（τ）來補償時變控制因子κ（τ）的效能損失，而指令的有界性通過乘以更快趨于0的狀態量來保證。

2.2 決策協議

為解決式（1）和式（4）所述給定時間分布式優化問題，直接給出時域t內的分布式協議如下：

由此可見，當代泰國雖然政權更迭頻繁，但對文化的產業化培育和國際推廣卻給以持續的重視。數十年來，泰國形成了文化部、觀光與體育部、工業部、外交部、政府公共關系部等多部門共同參與，王室、政府、企業相配合的文化推廣體系；文化產業已成為泰國創造經濟收益和塑造“微笑國度”形象的重要名片。目前泰國已成功主辦了四次亞運會，在亞洲各國中居首位。2017年，泰國接待的國際游客創下了3538萬人次的新紀錄；[28]其中僅曼谷就可吸引2327萬人次的國際游客，在世界城市中名列第二。[29]而截至2018年，泰國已連續四年被彭博社評為“全球最幸福的國家”。

從而當αi（t）達成一致性時，式（11）表明其可實現對梯度平均值的無偏估計。這種引入輔助變量的設計思想類似于文獻［15，21］。但本文使用了時域映射方法，與上述文獻相比，既避免了使用不連續的符號函數技術，又不需要進行控制增益的選擇。

對于給定時間分布式協議（10），有如下定理成立。為使內容結構清晰、便于理解，其證明過程分為一致性與最優性分析放在2.3節和2.4節。

2.3 一致性分析

利用式（6）～式（8）建立的時域t和無限域τ之間的映射關系，不難得到分布式協議（10）在無限域τ內的等價表達式：

本節研究αi和βi的給定時間一致性，聯立式（9）和式（12）可得

進而考慮如下Lyapunov函數：

式中：常數ε＞0。對式（15）沿式（14）對τ求導，并注意到L?In和H都是對稱矩陣，有

考慮到假設2以及引理1，對稱矩陣H和L?In分別為正定和半正定的。可證明（L?In）H 為半正定矩陣，則

式中：μij∈R。則有

注意到

2.4 最優性分析

考慮如下Lyapunov函數：

對式（26）兩邊積分可得

式中：ο（·）表示高階無窮小。考慮當τ→+∞時的情形，此時x*→PX（x*），根據式（28）和假設2，存在常數C′＞0使得

將式（29）代入式（25）可得

式中：λ?2N-1C′T1-k。對式（30）兩邊在（τs0，τ）上積分并整理可得

考慮到假設3成立，記

根據式（24）和式（33）可知，當τ→+∞時必滿足：

將式（31）代入式（34），并運用夾逼定理可得

綜合式（35）和2.3節中的結果可知

這表明決策協議（10）是非奇異的。

3 仿真驗證

為驗證本文的主要結論，考慮由5架無人機組成的無人機群，仿真中涉及到的時間、位置和速度單位分別為m in、km和km/min。它們之間的通信拓撲構成無向連通圖，對應的Laplacian矩陣為

為使仿真效果直觀，考慮多無人機系統在二維平面內的分布式優化問題，從而n=2。給定集結時間為T=5m in，為方便我方5個基地支援補給，假設每架無人機的態勢判斷函數fi（xi）：R2→R分別為

顯然，式（37）和式（38）所述問題滿足假設1～假設4。每架無人機的初始位置依次取為（-2，4）km，（-2，0）km，（0，-2）km，（4，2）km，（2，4）km。仿真結果如圖1～圖5所示。

從圖1和圖2可以看出，所有無人機均在給定時間T=5m in內集結完畢，最終集結地點坐標約為（1，0.74）km，通過對優化函數分析計算可驗證上述坐標確為全局最小值點，這表明多無人機系統在給定時間內完成了分布式最優集結。從圖3和圖4可知，所有無人機決策指令輸入保持全局有界，且終值趨于零，表明了本文方法的可用性。圖5繪制了整個集結過程中無人機群的航跡示意圖以及全局優化函數等高線，航跡曲線光滑平穩。集結過程當中，隨著信息的分布式流通，各無人機不斷調整修正自身航跡，直至在最優點集結完畢。

圖1 無人機狀態響應xi1Fig.1 State response xi1 of UAVs

圖2 無人機狀態響應xi2Fig.2 State response xi2 of UAVs

圖3 無人機決策指令ui1Fig.3 Decision command ui1 of UAVs

圖4 無人機決策指令ui2Fig.4 Decision command ui2 of UAVs

圖5 無人機群航跡與全局優化函數等高線Fig.5 Flight path of UAV swarm and contour of global optimization function

4 結束語

本文研究了基于時域映射技術的多無人機系統給定時間分布式最優集結問題。所設計的帶時變增益的給定時間分布式優化協議包括2個部分，第1個部分即輔助變量αi（t）和βi（t）的分布式動力學，可針對全局目標函數梯度進行實時估計；第2個部分即分布式決策指令ui（t），它又包括一致性輸入以及梯度修正2個部分，通過系數k∈（1，2）使其相互協調。

注意到，本文結果只分析了決策指令的有界性，而對其上界沒有定量估計，下一步可研究輸入受限條件下的給定時間分布式優化問題。