基于雙向電機驅動的四旋翼機動飛行控制

2021-03-26 04:01:54徐力昊張宇許斌

北京航空航天大學學報 2021年2期

徐力昊，張宇，*，許斌

（1.浙江大學控制科學與工程學院工業控制技術國家重點實驗室，杭州310027；2.西北工業大學自動化學院，西安710072）

以四旋翼飛行器（QUAV）為代表的多旋翼飛行器由于其機械結構簡單、動力學易于分析的特點，被廣泛研究。但是四旋翼是典型的欠驅動系統，機動性能較為欠缺。因此，如何提高四旋翼的機動性是研究領域的一大挑戰，也是提升其應用范圍的重要研究熱點。

四旋翼的動力組件主要由電機、電子調速器（簡稱電調）與槳葉組成。在飛行過程中，電調驅動帶槳葉的電機，通過調節轉速以改變推力。傳統的四旋翼始終是由單向電流驅動槳葉逆時針或順時針單向轉動，推力變化率較小，這是制約四旋翼整體動態特性提高的原因之一。

造成上述問題的軟硬件因素有：①電調信號是單向的，通過預設的編程，調制方式主要是單極性的PWM 波形調制，導致輸出電流只能改變大小而不能改變方向；②槳葉是非對稱單向槳葉，在單向旋轉時效率較高，但是反轉則不能或產生很小的推力。

為了克服上述缺陷，有研究使用傳統電調加可變槳距［1-4］的槳葉組合，實現了電調驅動電機單向旋轉，同時可以產生雙向推力，但是該方案增加了復雜的變槳距結構，且需要額外的槳距控制器，增加了整體的機械結構質量。因此，變槳距四旋翼負載能力更弱，續航時間更短。

也有研究通過增加控制輸入使四旋翼從欠驅動改進為過驅動［5-7］。實現方法是增加傾斜的旋翼推力系統，即改變了欠驅動特性，也能有效抵抗擾動，但由于傾斜角度是有限的（小于90°），改善動態特性的輸入范圍也是有限的。

雖然已有研究提出使用雙向電調產生雙向電流驅動電機在飛行中雙向旋轉［8-12］，完成了翻轉之后懸停等之前不能實現的機動動作，但是沒有分析雙向電流對改善控制的動態特性，特別是姿態角跟蹤的優勢，也沒有對從雙向轉速到力矩和推力的控制分配矩陣進行討論。

分析已有方案的優缺點，本文結合四旋翼動力學特點，實現了一種四旋翼，其電調使用雙極性PWM調制，使得在飛行過程中可以驅動電機快速減速或者改變旋轉方向。槳葉使用對稱槳葉，正反轉都有足夠升力。具有雙向推力的四旋翼創新之處在于：可以提高姿態和位置跟蹤的機動性，也可以在倒置狀態下（θ=π）懸停或實現機動動作。例如，可通過增加正壓力停靠在傾斜表面，抵抗來自不同方向的外力等。本文推導了該四旋翼翻轉動作的動力學過程，提出了一種適用于雙向轉速的迭代控制分配方法來控制雙向的推力與轉矩，并通過平面軌跡規劃與四旋翼模型仿真證明了本文方法的有效性。

1 四旋翼建模與運動姿態分析

1.1 動力學模型

剛體四旋翼的重心動力學模型［8］如下：

式中：ξ為重心的位置；ω為機體角速度；m為機體質量；J為轉動慣量；g為重力加速度；fT為機體坐標系中的總推力；τ為機體的總轉矩；e3=（0 0 1）T為單位向量；Riu（q）為慣性坐標系中四旋翼的方向，使用四元數q=（qwqxqyqz）T表示避免奇點；S（ω）為斜對稱矩陣，代表叉乘。使用哥氏定理可以推導得到旋轉矩陣的微分方程（3）。

1.2 正反狀態轉換的過程

分析等式（1）可以得到正向懸停狀態與翻轉后懸停狀態的不同等式，可以作為新型四旋翼從普通狀態到特殊狀態的比較。

對于本問題中設定的任意偏航角，始末狀態在同一個平面內翻轉（開始θ=0，結束θ=π）。

翻轉前：

式中：Rup為四旋翼機體坐標系z軸豎直向上狀態時的Riu；“*”為無關元素，為了保證平衡，r1，3、r2，3都是0。

翻轉后，四旋翼產生機體坐標系中的反向推力，所以可以保持倒轉懸停姿態。

式中：Rdown為四旋翼機體坐標系z軸豎直向下狀態時的Riu。

在翻轉過程中，運用矩陣形式的歐拉-羅德里亞斯公式［9］（7）表示翻轉矩陣Rflip：

翻轉前后重心位置可能改變，3個轉動慣量中只有Ix、Iy增加，3個轉矩均不變，適用于新型四旋翼的翻轉等軌跡設計將在4.1節使用最優規劃方法實現。

2 控制器設計與轉矩分析

2.1 姿態與位置控制

四旋翼的位置與姿態控制常使用串級PID控制器實現，即位置控制器的輸出指令傳遞給姿態控制器。由于四旋翼具備微分平坦性［7］的特點，控制器輸入fT、τ可以直接由目標位置ξ得到，而且第4節的平面軌跡規劃也需要得到控制輸入fT、τ，但是為了第4節的四旋翼模型仿真，即使沒有位置控制器也可以實現姿態控制，本節仍然采用串級PID控制器作為理論基礎。

跟蹤期望位置ξd=（xdydzd）T的控制器等式如下：

式中：Kd∈R3×3為微分系數對角矩陣；Kp∈R3×3為比例系數對角矩陣；～ξ=ξd-ξ為位置誤差。

使用上文提到的歐拉-羅德里亞斯公式得到R（qd），再得到旋轉矩陣Rid=RswitchR（qd）（四旋翼機體坐標系z軸豎直向上狀態時Rswitch=I3×3，四旋翼機體坐標系z軸豎直向下狀態時Rswitch=Rflip），將旋轉矩陣輸入姿態控制器［7］：

2.2 轉矩設計

使用雙向的旋轉槳葉可以產生垂直于電機中軸線的正反推力，增加最大轉矩，提高姿態角變化的動態特性。推力與轉速、轉矩與轉速的映射關系如下［8］：

式中：a、b、c分別為二次、一次、零次項的系數；Ωi、fi、τi（i=1，2，3，4）分別為電機的轉速、推力、轉矩。

推力向量為

式中：ni為垂直于電機平面的單位向量。

機體坐標系重心到電機中心的坐標變換如圖1所示。式中：l為機體重心到電機的機臂長度。

圖1 機體坐標系重心到電機中心的坐標變換Fig.1 Coordinate transformation from the center of gravity axis to the center of motor axis

從慣性坐標系到電機的單位向量轉換公式為

則每個電機上的轉矩為

式中：第1項為俯仰滾轉轉矩，轉矩方向由ri代表的推力方向確定；第2項為垂直于ni平面的偏航轉矩；Pi∈｛-1，1｝，1為順時針，-1為逆時針，這一項的正負由電機轉向方向確定。

1）穩定姿態

繞機體中心軸的轉矩（2CW++）=（2CC++）機體平衡，如圖2所示。

2）俯仰與滾轉（以滾轉為例）

①原始俯仰滾轉（見圖3（a））：繞機體中心軸的轉矩（CW+++）+（CW+）=（CC+++）+（CC+），機體繞z軸的方向平衡（式（17）中轉矩公式第2項為0），第1項不平衡，機體做滾轉運動。

圖2 穩定姿態的推力Fig.2 Thrust graph under stable attitude

圖3 滾轉的推力Fig.3 Thrust graph of roll

②新型俯仰滾轉（見圖3（b））：繞機體中心軸的轉矩（CC+）+（CC++）=（CW+）+（CW++），機體繞z軸方向平衡（式（17）中轉矩公式第2項為0），第1項不平衡，機體做快速的滾轉運動。

3）偏航

①原始偏航（見圖4（a））：繞機體中心軸的轉矩（CC+++）+（CC+++）＞（CW +）+（CW+），機體繞z軸方向不平衡（式（17）中轉矩公式第2項，機體逆時針旋轉），第1項平衡。

②新型偏航（見圖4（b））：繞機體中心軸的轉矩（CC+++）+（CC+）+（CC+++）+（CC+），機體繞z軸方向不平衡（見式（17）中轉矩公式第2項，機體逆時針快速偏航旋轉），第1項平衡。

圖4 偏航的推力Fig.4 Thrust graph of yaw

3 控制分配矩陣設計

本節討論通過第2節得到的推力與轉矩向電機轉速的映射，即控制分配的過程。

將式（17）寫為矩陣形式，即

位置和姿態控制器給出期望的fT和τ指令，需要求解出每個電機的轉速，為了得到新的Ωi，通過已測量得到的當前Ωi0與目標推力數值fi、轉矩數值τi的關系，使用常用的線性化方法。

為方便映射，定義分塊斜對角矩陣為

對應于式（19）、式（20）的矩陣：

類似于（f τ）T=B（Ω21… Ω2N）T的控制分配矩陣為B=CA，將需要計算求得的各個電機轉速寫到等式左側：

在實際使用中，通過電調測量得到Ωi0，計算得到fi0、τi0，使用式（19）～式（23）得到現在時刻的fi、τi。

分析已有的控制分配矩陣：

矩陣（24）表示電機編號順序與轉向，可見偏航與滾轉俯仰相互獨立，所以可以把C矩陣中的3個分塊（推力、俯仰滾轉、偏航）組合在一個矩陣中：式中：從轉速到推力和轉矩的恒定映射分別表示為cf、cτ。

由圖3分析可見，新型四旋翼滾轉俯仰時，即使是同奇偶性的電機也會有不同的轉向，所以設置Oi∈｛-1，1｝為1、3號電機推力與轉矩的方向符號，1為順時針，-1為逆時針。設置Ei∈｛-1，1｝為2、4號電機推力與轉矩的方向符號，1為逆時針，-1為順時針。

將矩陣（27）轉化為矩陣（25）的形式：

4 試驗設置與結果分析

4.1 x-z平面軌跡規劃試驗

基于前文設計的新型四旋翼動力學與控制分配方法，為了規劃適用于新動力學和類似于翻轉新任務的軌跡，先考慮計算量和限制較少，以及xz平面內的各種軌跡設計（二維平面內的軌跡），所以使用x-z平面四旋翼模型［9，13］，如圖5所示。

圖5 x-z平面四旋翼模型Fig.5 Model of x-z plane quadrotor

接下來基于提出的平面模型考慮搭建最優控制問題來計算運動軌跡。

首先定義控制量u*，使得

式中：x∈Rn；u∈Rm；t∈［t0，tf］，滿足路徑限制及邊界條件：

跟蹤路徑x*，該路徑最小化了［14］：

更新平面模型：

式（35）中，輸入控制u=［u1u2］T的限制為

表1展示了本文設置的參數與限制。

使用基于高斯偽譜法的MATLAB GPOPS工具箱［15］，利用數值方法求解這個最優控制問題。考慮最小時間問題，所以設置ΓM=tf，ΓL=0。

使用MATLAB GPOPS工具箱可以定義具有狀態約束和輸入約束的任意機動或者是解決多階段問題，每個機動階段都能包含過程中的任何可行狀態，如在階段邊界處定義速度和俯仰角。系統參數與狀態、輸入限制如表1所示。

為了試驗翻轉的可行性，測試如下3種典型機動：點到點、點到豎直懸停、翻轉，為新型四旋翼的新應用場景做理論準備，如利用反向推力緊貼垂直或者大傾角墻壁等。每個機動可能包括多個階段，所以需要考慮每2個階段之間的連接條件。表2展示了這3個機動的設計。

表1 系統參數與狀態、輸入限制Table 1 System parameters，status and input limits

表2 三個典型機動設計Table 2 Design of three typical maneuvers

1）點到點：規劃目標是最小時間到達預計點pf=［xgzg0］T，到達時速度為0。

2）點到豎直：點到豎直是一種特殊的點到點機動，最終姿態角不為零（θ=π/2），規劃目標是最小時間到達預計點pf=［xgzgπ/2］T。該設置證明了四旋翼可以在特定的時間點保持非穩態的姿態角。

3）翻轉：在機動過程中，四旋翼通過特殊的中間過程點pmid=［xmidzmidπ/2］T。最后實現與起始點位置相同且翻轉：pf=［xg0 π］T，最終速度也為0，該設置驗證了新任務場景下的實現可行性。

3組試驗結果分別展示了θ（見圖6（a）、圖7（a）、圖8（a））、輸入u1（見圖6（b）、圖7（b）、圖8（b））和u2（見圖6（c）、圖7（c）、圖8（c））的變化，以及飛行軌跡（見圖6（d）、圖7（d）、圖8（d）），其中箭頭在機體中央豎直向上，表示機體的姿態角，實線代表0＜θ≤π/2，虛線代表π/2＜θ＜π。

圖6 點到點的θ、u1、u2 及飛行軌跡Fig.6 Trajectory graph of point-to-point with θ，u1，u2

試驗結果顯示，使用MATLAB GPOPS工具箱軌跡規劃方法和設計約束條件，新型四旋翼可以使用連續的雙向推力與轉矩，實現快速機動與翻轉后的懸停，本文試驗結果可能不是時間最優或推力最優，是因為設置的約束和運動階段可能不是在當前的最優。例如，試驗中翻轉的飛行軌跡在0＜θ≤π/2和π/2＜θ＜π這2個階段并不對稱，如果設置更多約束和更多運動階段，可能會有不同的結果。

圖7 點到豎直懸停的θ、u1、u2 及飛行軌跡Fig.7 Trajectory graph of point-vertical hover with θ，u1，u2

4.2 四旋翼模型仿真

搭建四旋翼模型作為被控對象，包括實際尺寸網格模型、質量、轉動慣量等實際物理量，建模使用基于真實四旋翼模型部件組裝的仿真模型，質量均勻分布于器件，負載4個集成了新型電調的雙向直流無刷電機作為執行器。電機轉子轉動慣量、繞線組電阻、反電動勢系數等參數參照實際設置。可以實現雙向電流驅動電機雙向旋轉與反向電流減速。

姿態（φ，θ，ψ）和位置（x-y-z）控制器分別采用串級PID控制器，設置3個試驗：姿態角（以滾轉為例）跟蹤（見圖9）、高度跟蹤（見圖10）、螺旋曲線軌跡跟蹤（見圖11），其中控制器的控制參數Kd、Kp、Kωd、Kωp等使用Simulink的PIDTuner工具辨識系統后得到，為了保證單向與雙向電流驅動結果的對照性，試驗中參數設置均相同。