多航天器分布式事件觸發(fā)分組姿態(tài)協(xié)同控制

王帥磊，周紹磊，代飛揚，劉偉，閆實

（海軍航空大學(xué)，煙臺264001）

姿態(tài)協(xié)同控制是多航天器系統(tǒng)中的重要技術(shù)之一，廣泛應(yīng)用在如航天器編隊飛行等領(lǐng)域［1-4］。近年來，研究人員對這一重要問題展開了深入的研究。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)所有航天器的姿態(tài)和角速度均達到一致時，稱多航天器系統(tǒng)達到了姿態(tài)協(xié)同。

現(xiàn)有研究從多個方面對多航天器姿態(tài)協(xié)同控制問題進行了分析。對于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)的多航天器系統(tǒng)，Cai和Huang提出了一種分布式的觀測器對領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)進行估計，并且對角速度進行了補償［5］，考慮到系統(tǒng)中存在未知參數(shù)，進一步構(gòu)造了分布式的自適應(yīng)算法以使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定［6］；此外，針對外部擾動提出了自適應(yīng)的處理方法［7］。文獻［8］在SO（3）模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種時變增益擴張狀態(tài)觀測器，并根據(jù)航天器之間的相對姿態(tài)構(gòu)造了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的控制輸入。對于聯(lián)合連通拓撲上的多航天器系統(tǒng)，Liu和Huang證明了存在一種分布式觀測器對目標(biāo)進行估計［9］，Lu和Liu也進行了類似的研究［10］，并且在文獻［9-10］中，系統(tǒng)拓撲都是有向的。Ma等對聯(lián)合連通拓撲上的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨系統(tǒng)，設(shè)計了滑模變量和分布式的觀測器對跟隨者進行估計［11］。對于無領(lǐng)導(dǎo)者的多航天器系統(tǒng)，Huang等同時考慮了執(zhí)行器故障及飽和約束，并設(shè)計了一種補償方法［12］。文獻［13］對帶有機械臂的空間機器人，設(shè)計了一種衛(wèi)星基座、姿態(tài)與機械臂一體化的控制器。文獻［14］對電磁航天器編隊?wèi)彝栴}，構(gòu)造了包含多個影響因素的不確定系統(tǒng)，對軌道姿態(tài)進行解耦，能夠?qū)崿F(xiàn)高精度懸停。

為了節(jié)約系統(tǒng)的通信和計算資源，降低航天器間收發(fā)信息的頻率，事件觸發(fā)機制被引入到了航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法中［4，15-17］。在事件觸發(fā)機制下，需要設(shè)計相應(yīng)的事件觸發(fā)函數(shù)，并且系統(tǒng)內(nèi)的通信交互僅在事件觸發(fā)函數(shù)被滿足時才會執(zhí)行，于是連續(xù)的系統(tǒng)通信被轉(zhuǎn)化為不連續(xù)的間斷通信，從而顯著節(jié)約了系統(tǒng)的能源和資源。在文獻［4］中，提出了一種分布式的事件觸發(fā)控制器以處理執(zhí)行器的故障，并同時考慮了外部擾動。Weng和Yue在領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)下，提出了一種分布式的觸發(fā)機制，能夠通過領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)構(gòu)造一個凸包，并使所有跟隨者的狀態(tài)收斂到該凸包中［15］。Zhang等在無向拓撲上提出了一種依賴當(dāng)前狀態(tài)的控制律，其特別之處在于：觸發(fā)函數(shù)下一次被滿足的時刻可以根據(jù)航天器的當(dāng)前狀態(tài)進行預(yù)測［16］。Xu等構(gòu)造了一種自適應(yīng)的滑模控制方法，能夠引導(dǎo)航天器跟隨預(yù)先設(shè)計的姿態(tài)軌跡，并同時考慮了慣性不確定性及外部擾動［17］。針對SAR衛(wèi)星，F(xiàn)u等提出了2種帶有時滯的基于終端滑模的控制律［18］。

大多數(shù)現(xiàn)有研究都致力于使多航天器的姿態(tài)收斂到某一個確定的時不變或時變的姿態(tài)。而隨著技術(shù)的發(fā)展，以及多航天器越來越廣泛的應(yīng)用，在復(fù)雜的應(yīng)用場景中，對航天器的姿態(tài)可能有不同的需求，即要求一部分航天器保持同一姿態(tài)，另一部分航天器保持另一姿態(tài)。例如，在衛(wèi)星編隊監(jiān)控目標(biāo)時，由于它們分布在空間中的不同位置，那么可以劃分為若干個不同的分組，每個分組內(nèi)部的衛(wèi)星能夠調(diào)整自身姿態(tài)以實現(xiàn)更好的觀測。這種包含多個分組并使每個分組都達到姿態(tài)協(xié)同的情況稱為分組姿態(tài)協(xié)同。對于這種分組的多航天器系統(tǒng)，文獻［19］在無向拓撲上引入了分組一致概念，所設(shè)計的控制輸入能夠使系統(tǒng)漸近達到分組姿態(tài)協(xié)同，但該研究的結(jié)論僅適用于包含2個分組的情況。文獻［20］進一步考慮了切換拓撲的情況，通過代換姿態(tài)和角速度變量，并對系統(tǒng)Laplacian矩陣進行分解，將分組姿態(tài)協(xié)同控制問題轉(zhuǎn)化為了穩(wěn)定性問題，對包含多個分組的多航天器系統(tǒng)構(gòu)造了控制輸入。Weng等對基于SO（3）模型的多分組系統(tǒng)進行了分析，在該研究中，各個分組的領(lǐng)導(dǎo)者能夠達到反一致，并且每個分組內(nèi)的跟隨者都能與領(lǐng)導(dǎo)者保持一致，角速度收斂到零［21］。分組姿態(tài)協(xié)同問題對于多航天器系統(tǒng)的應(yīng)用具有重要意義，而當(dāng)前針對該問題的研究仍然不夠充分，這一特殊問題可以通過引入分組一致［22-24］的概念來解決。分組一致是指：在包含若干個分組的多智能體系統(tǒng)中，每個分組內(nèi)部智能體的狀態(tài)都能達到一致，并且不同分組的一致狀態(tài)是不同的。

由于目前相關(guān)研究仍然有限，本文致力于在分布式事件觸發(fā)機制下解決多航天器分組姿態(tài)協(xié)同控制問題，從而減輕系統(tǒng)的通信壓力。

1 多航天器系統(tǒng)構(gòu)建

1.1 航天器姿態(tài)模型

考慮一個包含N個航天器及s個分組的系統(tǒng)。航天器按順序標(biāo)記為1，2，…，N，分組按照順序標(biāo)記為g1，g2，…，gs。每個分組內(nèi)航天器的數(shù)量為ni，并且每個航天器僅能夠唯一地被劃分到一個分組。采用修正羅德里格斯參數(shù)（Modified Rodrigues Parameters，MRP）描述航天器的姿態(tài)，以σi（t）∈R3表示航天器的姿態(tài)，并以ωi（t）∈R3表示航天器的角速度，于是航天器的姿態(tài)運動學(xué)和動力學(xué)方程可以寫為

式中：ui（t）∈R3為待設(shè)計的航天器的控制輸入；矩陣J∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動慣量，并且本文中假設(shè)所有航天器的轉(zhuǎn)動慣量均相同；算子Gi（t）定義為

式中：I3為3階單位矩陣。并定義

對任意一個三維向量x=［x1，x2，x3］T，反對稱矩陣x×表示為

對于分組gk中的航天器i，定義映射Γ（i）=gk。

1.2 系統(tǒng)無向拓撲

對多航天器的無向拓撲，有如下假設(shè)。

假設(shè)1每個分組的內(nèi)部拓撲都是連通的。

假設(shè)2對任意2個分組gi和gj，若這2個分組間存在邊，那么有且僅有一對節(jié)點k，l∈gi和另一對節(jié)點m，n∈gj，使得鄰接矩陣中元素akm=aln=1以及akn=alm=-1，即這2個分組滿足入度平衡［22］。

1.3 分布式事件觸發(fā)機制

分布式事件觸發(fā)機制是指：對系統(tǒng)中的每一個航天器i，都設(shè)計一個觸發(fā)函數(shù)fi（t）。若在某個時刻滿足fi（t）=0，那么航天器i將被觸發(fā)，并將其姿態(tài)和角速度信息發(fā)送給鄰居。在非觸發(fā)時刻，航天器之間不進行通信以節(jié)省能源和資源。稱為航天器i的觸發(fā)時刻，并且該航天器所有的觸發(fā)時刻可記為序列…。在時間區(qū)間內(nèi)，控制輸入ui（t）為時變值，但僅需考慮航天器自身姿態(tài)和角速度的變化。

2 問題描述及主要結(jié)果

2.1 控制目的

對于多航天器系統(tǒng)，分組姿態(tài)協(xié)同的定義如下。

定義1稱多航天器達到分組姿態(tài)協(xié)同，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)航天器的姿態(tài)σi（t）和角速度ωi（t）滿足：

本文的目的在于：在分布式事件觸發(fā)機制下，設(shè)計一種控制輸入使多航天器達到如式（5）所定義的分組姿態(tài)協(xié)同。

2.2 控制輸入設(shè)計

由于式（1）具有較強的非線性，直接求解分析較為困難，為了降低分析難度，先對式（1）進行轉(zhuǎn)換。受到文獻［11］的啟發(fā)，構(gòu)造輔助變量si（t）為

式中：參數(shù)μ＞0。同時可以得到

于是航天器的輔助變量誤差ei（t）為

根據(jù)輔助變量si（t）的定義可知

于是可以對航天器i設(shè)計控制輸入為

式中：參數(shù)η＞0為常數(shù)。

2.3 控制定理及分析

根據(jù)si（t）的定義可知，當(dāng)

成立時，有

成立，即當(dāng)變量si（t）達到分組一致時，等價地，多航天器能夠達到分組姿態(tài)協(xié)同。因此，通過分析si（t）的性質(zhì)可以等價地得到σi（t）和ωi（t）的相關(guān)結(jié)論。

在上述理論準(zhǔn)備的基礎(chǔ)上，給出分布式事件觸發(fā)機制下多航天器分組姿態(tài)控制的相關(guān)定理及分析。

定理1在分布式事件觸發(fā)機制下，若多航天器的通信拓撲滿足假設(shè)1和假設(shè)2，并給定控制輸入為式（10），設(shè)計航天器的觸發(fā)函數(shù)為式（11），則在控制輸入的作用下，多航天器能夠漸近達到式（5）定義的分組姿態(tài)協(xié)同。

證明選定Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)假設(shè)2，無向拓撲滿足入度平衡，因此

于是可知

將式（18）代入式（16），V · 可以改寫為

對式（19）進行化簡，得到V·為

根據(jù)輔助誤差變量ei（t）的定義，將該誤差代入式（20），可以得到

式中：

由于無向拓撲的鄰接矩陣和Laplacian矩陣都是對稱矩陣，即aij=aji，因此有式（23）成立：

而式（23）意味著式（24）成立：

從而可以利用式（24）將式（22）改寫為

式中：

式中：

于是根據(jù)LaSalle不變原理［25］，多航天器系統(tǒng)的解將收斂到集合

中。而式（31）表明，當(dāng)t→∞時，總有L?I3s（t）=0成立，這意味著對于同一個分組中的航天器i和j，有si（t）=sj（t）。因此可知σi（t）=σj（t），并且有˙σi（t）=˙σj（t），即ωi（t）=ωj（t），此時多航天器達到分組姿態(tài)協(xié)同。證畢

注1通過分析變量si（t）的性質(zhì)可知，具有形如式（6）的動力特性的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，從而等價地得到多航天器能夠漸近達到分組姿態(tài)協(xié)同的結(jié)論。在分析非線性的式（1）時，這種構(gòu)造輔助變量的方法能夠簡化分析過程，降低分析難度。

在事件觸發(fā)機制下，要避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生。Zeno現(xiàn)象是指：某一事件在有限的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)是無限的。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生Zeno現(xiàn)象時，說明航天器將被無限次觸發(fā)，于是航天器間的通信是連續(xù)的，無法達到減少通信次數(shù)的目的［26］，控制輸入失效。因此，對于事件觸發(fā)機制下的控制方法，有必要分析Zeno現(xiàn)象的存在性并避免其發(fā)生。對任意一個航天器分析其是否發(fā)生Zeno現(xiàn)象，即可推廣到整個多航天器系統(tǒng)。

定理2在分布式事件觸發(fā)機制下，給定航天器的控制輸入為式（10），事件觸發(fā)函數(shù)為式（11），則系統(tǒng)內(nèi)任意一個航天器不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

式中：

于是可知

定義κ為

3 仿真結(jié)果與驗證

為了驗證本文在分布式事件觸發(fā)機制下提出的控制輸入的有效性，構(gòu)造一個包含9個航天器及2個分組的系統(tǒng)進行仿真。航天器按照順序標(biāo)記為1，2，…，9，并且航天器1～4組成分組g1，航天器5～9組成分組g2。多航天器的無向拓撲如圖1所示。可以看出，該無向拓撲滿足假設(shè)1和假設(shè)2。

圖1 多航天器的無向拓撲Fig.1 Undirected topology of multi-spacecraft

航天器的角速度時間響應(yīng)如圖3所示。縱坐標(biāo)上角標(biāo)的意義與圖2中相同。根據(jù)圖3中的結(jié)果所示，系統(tǒng)中所有航天器的角速度最終都收斂到零，這與圖2中的姿態(tài)曲線相吻合。圖2和圖3說明，在本文提出的控制輸入的作用下，最終多航天器達到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖2 航天器在3個分量上的姿態(tài)時間響應(yīng)Fig.2 Attitude time response of spacecraft on three components

圖3 航天器在3個分量上的角速度時間響應(yīng)Fig.3 Angular velocity time response of spacecraft on three components

下面對文獻［16］中不采用事件觸發(fā)機制的研究進行復(fù)現(xiàn)，航天器的姿態(tài)時間響應(yīng)和角速度時間響應(yīng)分別如圖4和圖5所示。圖4和圖5中的結(jié)果顯示，在文獻［16］中控制輸入的作用下，多航天器也達到了靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖4 文獻［16］中航天器在3個分量上的姿態(tài)時間響應(yīng)Fig.4 Attitude time response of spacecraft on three components in Ref.［16］

引入分布式事件觸發(fā)機制的目的在于減少航天器間的通信次數(shù)，節(jié)約計算和通信資源。對9個航天器的觸發(fā)次數(shù)、最小時間間隔和最大時間間隔進行統(tǒng)計，所得結(jié)果如表1所示。

圖5 文獻［16］中航天器在3個分量上的角速度時間響應(yīng)Fig.5 Angular velocity time response of spacecraft on three components in Ref.［16］

表1 觸發(fā)結(jié)果統(tǒng)計Table 1 Statistical triggering result

根據(jù)表1中的結(jié)果可知，盡管系統(tǒng)內(nèi)航天器的最小觸發(fā)時間間隔都較小，但仍然嚴格大于零，而最大觸發(fā)時間間隔達到了16.095 6 s。表1中的結(jié)果表明，每個航天器的觸發(fā)時間間隔與定理2是相吻合的，不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

圖2和圖3中對小角度初值的情況進行了仿真，航天器的初始姿態(tài)和初始角速度數(shù)值較小，并且與2個分組最終的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度接近。下面對大角度初值的情況進行仿真，進一步驗證本文設(shè)計的控制方法的有效性。

圖6和圖7中的仿真結(jié)果表明，在大角度初值的條件下，2個分組內(nèi)的航天器的姿態(tài)都分別達到了協(xié)同，并且所有航天器的角速度都收斂到零，因此多航天器仍然能夠達到分組姿態(tài)協(xié)同。分別對比圖2和圖6，以及圖3和圖7，可以看出，在大角度初值的情況下，多航天器達到分組姿態(tài)協(xié)同所需的時間更長，并且由于初始姿態(tài)和處置角速度的值較大，2個分組的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度間的差值也更大。

仿真結(jié)果和對比分析表明，在分布式事件觸發(fā)機制下，本文提出的控制輸入是有效的。

圖6 大角度初值條件下航天器在3個分量上的姿態(tài)時間響應(yīng)Fig.6 Attitude time response of spacecraft on three components with large initial angles

圖7 大角度初值條件下航天器在3個分量上的角速度時間響應(yīng)Fig.7 Angular velocity time response of spacecraft on three components with large initial angles

4 結(jié) 論

本文在分布式事件觸發(fā)機制下研究了多航天器分組姿態(tài)協(xié)同控制問題。具體結(jié)論如下：

1）考慮了包含多個分組的多航天器系統(tǒng)，采用MRP描述航天器的姿態(tài)，通過構(gòu)造輔助變量，設(shè)計了分布式的控制輸入，并且控制輸入不依賴輔助變量；航天器的事件觸發(fā)函數(shù)中僅需要鄰居的輔助變量信息，因此也是分布式的。

2）假設(shè)2引入了入度平衡的概念，結(jié)合代數(shù)圖論和Lyapunov穩(wěn)定性理論說明了建立在si（t）上的系統(tǒng)能夠漸近達到分組一致，從而等價地得到多航天器漸近達到分組姿態(tài)協(xié)同的結(jié)論，并說明了系統(tǒng)不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

3）仿真結(jié)果以及與現(xiàn)有文獻的對比表明，本文提出的控制輸入能夠使多航天器達到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，并且每個航天器的最小觸發(fā)時間間隔都嚴格為正，與定理2相吻合。

由于本文考慮的航天器姿態(tài)動力學(xué)和運動學(xué)方程為理想狀態(tài)，后續(xù)將進一步考慮更復(fù)雜的條件。