長(zhǎng)拉桿-止口連接彎曲剛度損失及對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)影響

馬艷紅，倪耀宇，陳雪騎,*，鄧旺群，楊海

1. 北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100083 2. 先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100083 3. 中國(guó)航發(fā)湖南機(jī)械研究所，株洲 412002 4. 中航航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，株洲 412002

由于對(duì)結(jié)構(gòu)重量的限制和裝配需要，航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子往往需要由多種材料加工而成的構(gòu)件通過(guò)不同形式的連接結(jié)構(gòu)組合而成，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)不可避免地存在連接界面。此外，轉(zhuǎn)子各結(jié)構(gòu)單元的幾何構(gòu)形也呈現(xiàn)劇烈的變化(如圖1所示)。因此，航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)質(zhì)量和截面抗彎剛度沿軸向具有非均勻分布特征。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，在連接界面上的受力狀態(tài)會(huì)隨慣性載荷而產(chǎn)生變化，由于連接界面只能承受壓應(yīng)力和剪切應(yīng)力，不同于各向同性連續(xù)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子彎曲剛度在連接結(jié)構(gòu)處產(chǎn)生一定的剛度損失，進(jìn)而對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲振動(dòng)特性具有顯著影響。

現(xiàn)代高性能航空發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本要求是“輕質(zhì)重載”，其主要技術(shù)途徑是減少支承數(shù)目和限制轉(zhuǎn)子直徑。隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)徑比和轉(zhuǎn)速的不斷提高，在工作轉(zhuǎn)速內(nèi)轉(zhuǎn)子發(fā)生彎曲變形是高速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中必須面臨的挑戰(zhàn)。轉(zhuǎn)子彎曲變形狀態(tài)下，由多個(gè)結(jié)構(gòu)單元構(gòu)件通過(guò)界面連接組成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其界面接觸狀態(tài)、接觸應(yīng)力分布和界面相對(duì)位置關(guān)系等接觸特征參數(shù)均會(huì)發(fā)生較大改變，引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的力學(xué)特征參數(shù)(如彎曲剛度、結(jié)構(gòu)阻尼、極慣性軸等)在接觸界面位置發(fā)生變化，從而改變轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)局部力學(xué)特征，并對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性產(chǎn)生顯著影響[1-3]。

顯然，帶有多連接界面的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中需要對(duì)連接結(jié)構(gòu)接觸界面力學(xué)特性加以考慮，并建立適合的彎曲剛度損失和附加慣性激勵(lì)模型，進(jìn)行界面連接轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性分析，這是現(xiàn)代航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)，也是國(guó)內(nèi)外轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域?qū)W術(shù)研究的熱點(diǎn)。

Han等[4]和Luan等[5]則以螺栓連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究了外載荷作用下螺栓連接結(jié)構(gòu)剛度特性的變化規(guī)律。研究表明，接觸界面力學(xué)特性變化對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有顯著影響。

針對(duì)連接結(jié)構(gòu)局部力學(xué)特性變化的產(chǎn)生機(jī)理和影響因素，Zhuo等[6]對(duì)拉桿-止口連接結(jié)構(gòu)界面力學(xué)特性進(jìn)行了研究，分析了彎曲力矩作用下止口端面應(yīng)力分布特征，從而建立了連接結(jié)構(gòu)的剛度損失模型。Hong等[3]以止口連接結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，提出了連接結(jié)構(gòu)剛度損失分析方法，研究了離心載荷、軸向壓緊力和彎曲力矩對(duì)連接結(jié)構(gòu)剛度損失的影響。闡述了連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性變化與連接結(jié)構(gòu)局部載荷特征有密切聯(lián)系。

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)理論及應(yīng)用研究中，為了準(zhǔn)確考慮環(huán)境載荷對(duì)連接結(jié)構(gòu)力學(xué)特性乃至轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響，需要通過(guò)理論[7-11]和試驗(yàn)方法[12-15]對(duì)連接結(jié)構(gòu)局部的力學(xué)特征參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，建立考慮結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性影響的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型。Song等[16]將接觸界面對(duì)連接結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響等效為非線性恢復(fù)力項(xiàng)，與結(jié)構(gòu)線性部分各矩陣進(jìn)行組集，構(gòu)成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。并采用薄膜單元法，可以考慮界面接觸狀態(tài)改變對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度特性的影響，從而得到了廣泛的應(yīng)用[17-18]。Han等[4]、姚星宇等[19]均通過(guò)薄膜單元法建立典型轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)的剛度特性模型，實(shí)現(xiàn)了航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性的仿真分析。

目前，針對(duì)界面連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究中，在接觸界面力學(xué)特性機(jī)理模型和界面連接轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析模型之間還存在較大的割裂。其中，在連接結(jié)構(gòu)接觸界面力學(xué)特性——尤其是剛度特性機(jī)理模型中，往往將界面剛度損失歸結(jié)為連接界面微凸體的局部彈塑性變形，并基于此取得了大量的理論和試驗(yàn)研究成果[20]，但是上述機(jī)理模型不能很好地解釋，為何不考慮界面微凸體等微觀因素影響的連接結(jié)構(gòu)同樣也會(huì)出現(xiàn)剛度損失現(xiàn)象；而在具體的界面連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)特性分析中，現(xiàn)有研究則主要采用唯象模型，需要依賴有限元分析或試驗(yàn)對(duì)轉(zhuǎn)子的剛度特性作參數(shù)化處理，而針對(duì)連接結(jié)構(gòu)剛度產(chǎn)生機(jī)理及其對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響的力學(xué)本質(zhì)尚待揭示。因此需要建立基于轉(zhuǎn)子彎曲變形的界面連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失機(jī)理模型，分析連接結(jié)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

綜上，以長(zhǎng)拉桿-止口連接轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為對(duì)象，分析復(fù)雜載荷作用下連接界面接觸特征參數(shù)變化規(guī)律，建立連接結(jié)構(gòu)剛度損失力學(xué)機(jī)理模型，研究止口連接轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速狀態(tài)下連接結(jié)構(gòu)變形及對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

圖1 典型航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子及其連接結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical rotor in aero-engine and its joint structures

1 長(zhǎng)拉桿-止口連接結(jié)構(gòu)構(gòu)型及載荷特征

典型的航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖1所示，出于對(duì)輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的追求，轉(zhuǎn)子往往需要由多種材料的構(gòu)件通過(guò)不同形式的連接結(jié)構(gòu)組合而成。其中，長(zhǎng)拉桿-止口連接(后文簡(jiǎn)稱止口連接)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，被廣泛應(yīng)用于小尺寸渦軸/渦槳發(fā)動(dòng)機(jī)中。該連接結(jié)構(gòu)由中心拉桿施加軸向預(yù)緊力從而將多級(jí)壓氣機(jī)盤沿軸向方向壓緊，其具體結(jié)構(gòu)構(gòu)型及其載荷如 圖2(a)所示。其中：m1、m2為構(gòu)件的質(zhì)量；Ip,1、Ip,2和Id,1、Id,2分別為構(gòu)件的極慣性矩和直徑慣性矩；Fa為止口結(jié)構(gòu)受到拉桿預(yù)變形產(chǎn)生的軸向壓緊力作用；Fc為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，各部件受到的離心載荷作用；M為構(gòu)件受到的彎曲力矩作用。

在離心載荷作用下，界面的受力變形如 圖2(b)所示。其中：δda,f和δda,r為離心載荷Fc作用下構(gòu)件軸向收縮量；pi為靜止?fàn)顟B(tài)下的止口連接結(jié)構(gòu)端面的接觸應(yīng)力；pc為離心載荷Fc作用下端面剩余接觸應(yīng)力。顯然，由于界面兩端構(gòu)件具有不同的幾何構(gòu)形和質(zhì)量特征，因此離心載荷Fc作用下各構(gòu)件在連接界面徑向變形存在差異，使得連接界面有相對(duì)滑移的趨勢(shì)。同時(shí)，由于離心作用下轉(zhuǎn)子各個(gè)構(gòu)件材料發(fā)生軸向收縮，轉(zhuǎn)子中心拉桿產(chǎn)生的預(yù)變形減小并導(dǎo)致界面剩余接觸應(yīng)力pc小于靜止?fàn)顟B(tài)下的界面接觸應(yīng)力pi。

而當(dāng)轉(zhuǎn)子受到彎曲載荷M作用時(shí)，界面的受力狀態(tài)如圖2(c)所示。其中：pu為12點(diǎn)鐘方向端面接觸應(yīng)力；pd為6點(diǎn)鐘方向端面接觸應(yīng)力。顯然，彎曲載荷作用下12點(diǎn)鐘方向壓緊力減小，6點(diǎn)鐘方向壓緊力增大，導(dǎo)致12點(diǎn)鐘位置接觸應(yīng)力pu小于靜止?fàn)顟B(tài)下界面接觸應(yīng)力pi、6點(diǎn)鐘位置接觸應(yīng)力pd大于pi。

在連接結(jié)構(gòu)受到上述外載荷作用時(shí)，其端面變形使界面接觸應(yīng)力發(fā)生變化以平衡外載荷，從而產(chǎn)生軸向剛度和彎曲剛度的力學(xué)效果；圓柱面則主要起定心作用以實(shí)現(xiàn)連接結(jié)構(gòu)的徑向定位。由于在工作狀態(tài)下圓柱面的界面接觸應(yīng)力變化較小，因此不考慮圓柱定心面接觸狀態(tài)變化對(duì)連接結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響。

圖2 典型轉(zhuǎn)子止口連接結(jié)構(gòu)及載荷特征Fig.2 Configuration and applied loads of typical rabbet joints of rotor

2 止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失

2.1 連接界面約束能力損傷機(jī)理

將止口連接結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖3所示的結(jié)構(gòu)形式，即兩段連續(xù)結(jié)構(gòu)體通過(guò)端面互相連接。其中，連續(xù)結(jié)構(gòu)體的剛度特性可以基于梁理論由構(gòu)件的幾何構(gòu)型參數(shù)和材料參數(shù)獲得，外載荷作用下界面接觸狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，由此可能會(huì)導(dǎo)致界面的力學(xué)特性改變，亦即發(fā)生了界面損傷。

如圖3所示，選取止口連接結(jié)構(gòu)角向位置為φ的軸截面建立局部坐標(biāo)系xO′y，對(duì)構(gòu)件在該截面內(nèi)的接觸特性進(jìn)行分析，其中：lc(φ)為該軸截面內(nèi)的端面接觸區(qū)域?qū)挾龋籉l(φ)和Ml(φ)分別為該軸截面內(nèi)構(gòu)件受到的等效軸向壓緊力和等效彎曲力矩作用；pl(y)為該軸截面內(nèi)端面位置的接觸應(yīng)力分布；σxx為構(gòu)件內(nèi)軸向應(yīng)力分布。

由圖3可知，由于止口端面局部結(jié)構(gòu)及載荷特征，其徑向接觸長(zhǎng)度lc(φ)小于端面的徑向名義尺寸，且接觸應(yīng)力分布pl(y)不與距離中性軸距離成線性正比關(guān)系。同時(shí)，止口連接接觸界面變形和應(yīng)力分布不同于各向同性連續(xù)結(jié)構(gòu)，其截面應(yīng)力-應(yīng)變與外加載荷并非呈線性關(guān)系，而是連接界面上的接觸狀態(tài)和應(yīng)力參數(shù)會(huì)隨外載荷作用產(chǎn)生非線性、非均勻性變化，甚至于會(huì)造成連接界面局部脫開。

因此，連接界面有效接觸長(zhǎng)度lc(φ)及其附近相連結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變分布狀態(tài)均與連接結(jié)構(gòu)局部軸向力Fl(φ)和彎曲力矩載荷Ml(φ)相關(guān)。而由于連接界面處“中性面”位置的變化和彎曲力矩作用下連接界面應(yīng)力分布的改變，軸截面內(nèi)軸向載荷Fl(φ)會(huì)隨周向位置φ而發(fā)生非線性變化。

根據(jù)止口連接界面結(jié)構(gòu)和受力狀態(tài)分析可知，即便連接結(jié)構(gòu)各截面名義尺寸與連續(xù)結(jié)構(gòu)各截面相同，但是其抗彎曲變形能力依然低于連續(xù)結(jié)構(gòu)，即當(dāng)轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)產(chǎn)生彎曲變形時(shí)，界面連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度會(huì)下降，且下降幅度與外載荷和結(jié)構(gòu)幾何尺寸有關(guān)。

如圖4所示，為止口連接結(jié)構(gòu)受到外載荷作用時(shí)其界面附近軸向應(yīng)力狀態(tài)。其中：Δlnc為實(shí)際中性面與理想中性面不重合區(qū)域的軸向長(zhǎng)度。

由該圖可知，在止口連接結(jié)構(gòu)受到彎曲載荷時(shí)，在理想狀況下連接界面變形與端面兩側(cè)的連續(xù)軸段變形相協(xié)調(diào)，結(jié)構(gòu)各截面內(nèi)的中性軸與截面形心相重合，此時(shí)結(jié)構(gòu)中性面分布如圖中的“理想中性面”所示；但實(shí)際結(jié)構(gòu)中，連接界面變形與連續(xù)軸段變形不協(xié)調(diào)，因此會(huì)導(dǎo)致界面接觸應(yīng)力分布狀態(tài)發(fā)生改變，止口連接端面兩側(cè)連續(xù)軸段內(nèi)的應(yīng)力分布也會(huì)受到連接界面接觸狀態(tài)變化的影響，從而表現(xiàn)為邊界約束減弱以及結(jié)構(gòu)中性面的偏移(如圖中的“實(shí)際中性面”所示)。

圖3 外載荷作用下止口連接結(jié)構(gòu)端面接觸特性Fig.3 Contact characteristics of end-face of rabbet joint with applied loads

圖4 外載荷作用下止口端面附近軸向應(yīng)力分布Fig.4 Axial stress distribution near end-face of rabbet joint with applied loads

而且根據(jù)圣維南原理[21]，上述界面帶來(lái)的局部應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)改變會(huì)隨著與界面距離增加而迅速消失，當(dāng)距離界面大于Δlnc時(shí)結(jié)構(gòu)中的實(shí)際中性面與理想狀態(tài)下中性面重合，即界面造成的影響位于界面附近很小區(qū)域內(nèi)，是一種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)的局部損傷現(xiàn)象。

因此，止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失起源于界面，并改變了連接界面附近很小區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力分布特性。這些局部力學(xué)特性變化將會(huì)影響轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，需要建立止口界面位置的剛度損失模型，在高速轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性分析中考慮其產(chǎn)生的影響。

2.2 止口連接剛度損失模型

圖5為止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失模型。其中：x0、x1和y0、y1分別為所研究軸段軸截面的軸向/徑向邊界位置；F為軸截面受到的軸向力；ΔF(φ)為軸截面受到的軸向力所產(chǎn)生的微小變化；Δd為軸向力變化時(shí)軸截面產(chǎn)生的軸向收縮量；σxx和σ′xx分別為軸向力發(fā)生變化前后結(jié)構(gòu)內(nèi)的軸向應(yīng)力。

圖5 止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失模型Fig.5 Stiffness loss model of rabbet joint

當(dāng)止口結(jié)構(gòu)角度為φ的軸截面受到的軸向力發(fā)生微小變化ΔF(φ)時(shí)，構(gòu)件任意橫截面x=xi的材料發(fā)生變形并導(dǎo)致軸向應(yīng)力區(qū)域大小、分布形式變化，直至截面軸向應(yīng)力變化與軸向力變化平衡，即

(1)

根據(jù)能量平衡可以評(píng)估該截面變形對(duì)止口軸向變形增量Δd的貢獻(xiàn)δd，即

(2)

式中：E為結(jié)構(gòu)的彈性模量。并且注意到，該等式的左側(cè)為外力做功量，右側(cè)則為該截面應(yīng)變能變化量。整理后，有

(3)

而為了建立變形量δd與外載荷F(φ)之間的聯(lián)系，需要根據(jù)積分形式的切比雪夫不等式，將式(3)轉(zhuǎn)化為

2F(φ)ΔF(φ)

(4)

式中：s=y1-y0，為止口邊的厚度。所以可以進(jìn)一步得到

(5)

對(duì)式(5)的兩側(cè)同時(shí)積分，則有

(6)

式中：l=x1-x0，表示止口端面和受力截面之間的軸向長(zhǎng)度，其中x0和x1分別表示止口端面和受力截面在局部坐標(biāo)系xO′y中的x軸位置。因此該止口軸截面的軸向剛度滿足不等式關(guān)系

(7)

式中：Es/l即為理想狀態(tài)下連續(xù)結(jié)構(gòu)的軸向剛度。顯然，由于端面接觸應(yīng)力變化帶來(lái)的連接結(jié)構(gòu)內(nèi)材料軸向應(yīng)力分布不均勻，最終導(dǎo)致止口連接結(jié)構(gòu)在該軸截面內(nèi)的軸向剛度損失。而止口端面在不同周向位置軸向剛度損失最終會(huì)體現(xiàn)為止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度的減弱。

2.3 連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度修正系數(shù)確定

止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失主要來(lái)源于止口端面附近材料內(nèi)軸向應(yīng)力的不均勻分布，只局限于端面附近極小范圍內(nèi)的材料內(nèi)(區(qū)域大小Δlnc取決于截面軸向應(yīng)力中性軸分布特征)。因此，對(duì)止口連接結(jié)構(gòu)剛度特性的修正主要針對(duì)上述小范圍內(nèi)材料剛度特性。

圖6為止口連接結(jié)構(gòu)剛度修正方法的示意圖，其中：L為構(gòu)件軸向長(zhǎng)度；kx,c(φ)為構(gòu)件在軸向區(qū)域[0,Δlnc]內(nèi)軸截面的軸向剛度；k′x則為構(gòu)件在軸向區(qū)域[Δlnc,L]內(nèi)軸截面的軸向剛度。

對(duì)于帶有一定幾何構(gòu)型特征的構(gòu)件，截取其軸截面，將其軸向剛度特性視為端面附近材料軸向剛度kx,c(φ)和剩余結(jié)構(gòu)軸向剛度k′x的串聯(lián)連接。由于Δlnc?L，即L-Δlnc≈L，因此可以認(rèn)為k′x表示整個(gè)構(gòu)件的理論軸向剛度，其只取決于構(gòu)件的幾何特征和材料特征，而與其連接結(jié)構(gòu)端面的接觸狀態(tài)無(wú)關(guān)。

而針對(duì)止口端面位置的局部軸向剛度kx,c(φ)，可以參考文獻(xiàn)[22]，基于外載荷F(φ)下連接結(jié)構(gòu)位置局部應(yīng)力-應(yīng)變分布，采用應(yīng)變能等效法對(duì)該軸段的軸向剛度進(jìn)行修正，即

(8)

式中：kx,c0為局部結(jié)構(gòu)的理論軸向剛度，表達(dá)式如式(9)所示；Es,c0為理想狀態(tài)下局部結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能大小，其表達(dá)式如(10)所示；Es,c(φ)為實(shí)際局部結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能大小，其表達(dá)式如(11)所示，其中VΔlnc為軸向區(qū)域[Δlnc,L]內(nèi)所包括的材料體積；β(φ)為周向位置φ處連接結(jié)構(gòu)軸向剛度修正系數(shù)，其表示截面實(shí)際軸向剛度與理論軸向剛度的比值。

圖6 止口連接結(jié)構(gòu)剛度修正方法Fig.6 Modification method of rabbet joint stiffness

kx,c0=Es/Δlnc

(9)

(10)

(11)

而經(jīng)過(guò)修正后的連接結(jié)構(gòu)局部軸向剛度表達(dá)式為

(12)

轉(zhuǎn)子的彎曲剛度源于轉(zhuǎn)子各周向位置拉壓剛度的組合。因此在建立止口連接結(jié)構(gòu)抗彎剛度模型時(shí)，需要將止口端面沿圓周進(jìn)行離散化。

假設(shè)連接結(jié)構(gòu)端面在受外載荷情況下依然保持一個(gè)平面，則離散后端面軸向力-變形分布如圖7所示，其中：F和M為止口連接結(jié)構(gòu)單側(cè)受到的軸向力和彎曲力矩作用；θ和δ為外載荷作用下端面發(fā)生的角向變形和軸向變形；rm為止口半徑；Fi為第i個(gè)局部扇區(qū)受到的軸向力，ni為第i個(gè)局部扇區(qū)編號(hào)，φi則為該扇區(qū)相對(duì)z軸的角度,且易知φi=2π(i-1)/N。

只考慮連接結(jié)構(gòu)端面局部區(qū)域[0,Δlnc]的變形，則連接結(jié)構(gòu)相對(duì)z軸的彎曲力矩作用可表示為

(13)

將局部力Fi表示為端面局部軸向剛度kx,c(φ)與形變dx,i的乘積，因此式(13)可以表達(dá)為

圖7 止口連接端面沿周向軸向力-變形分布Fig.7 Circumferential distribution of axial force and axial deformation on end-face of rabbet joint

(14)

并且有

dx,i=θrmsinφi+δ

(15)

將式(14)對(duì)θ求導(dǎo)，即可消去該項(xiàng)并可以得到連接結(jié)構(gòu)局部彎曲剛度kM,c為

(16)

最終可以獲得連接結(jié)構(gòu)局部彎曲剛度修正系數(shù)β，其表達(dá)式為

(17)

綜上所述，通過(guò)修正系數(shù)β可以對(duì)止口連接結(jié)構(gòu)端面局部區(qū)域[0,Δlnc]的剛度特性進(jìn)行修正從而反映出連接端面接觸狀態(tài)差異對(duì)轉(zhuǎn)子剛度特性的影響。

3 止口連接轉(zhuǎn)子力學(xué)特性等效建模方法

對(duì)具有多級(jí)止口連接高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于其工作轉(zhuǎn)速接近彎曲臨界，在進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析中，必須考慮連接界面對(duì)轉(zhuǎn)子剛度特性的影響。基于止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失模型，建立界面連接轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有限元建模中的彎曲剛度修正方法，并通過(guò)與有限元仿真方法的對(duì)比，驗(yàn)證該修正方法的有效性和準(zhǔn)確性，以保證轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的計(jì)算精度。

3.1 止口連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)及其分析模型

如圖8所示，為帶有多級(jí)止口連接結(jié)構(gòu)的多級(jí)軸流壓氣機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖。該壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共有三級(jí)軸流壓氣機(jī)(如圖8中的 ①、②、③ 所示)由前后兩處軸承支承，并帶有四處止口連接結(jié)構(gòu)(如圖8中的A、B、C、D所示)，最大工作轉(zhuǎn)速為40 000 r/min。在高速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下連接結(jié)構(gòu)界面接觸狀態(tài)會(huì)發(fā)生改變并可能影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

圖8 多級(jí)止口連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)Fig.8 Configuration of rotor system with multi-rabbet-joints

由于提出的連接結(jié)構(gòu)剛度修正方法需要求解連接結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力分布，而對(duì)于如圖8所示的具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)形式的連接結(jié)構(gòu)，解析方法不再適用，而有限元方法由于具有極佳的通用性，在轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)剛度特性分析中得到廣泛應(yīng)用，并通過(guò)大量的試驗(yàn)證實(shí)了該方法的準(zhǔn)確性[1,23-25]。因此，建立了如圖9所示的多級(jí)止口連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子有限元模型(出于簡(jiǎn)潔考慮，未在圖中顯示轉(zhuǎn)子葉片)，通過(guò)該模型對(duì)連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布特性和變形特性進(jìn)行分析。

其中，止口連接結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)位置如圖9中的A～D所示，模型在上述位置加密了網(wǎng)格，以準(zhǔn)確求解界面的接觸狀態(tài)。

此外，對(duì)不同網(wǎng)格數(shù)量下轉(zhuǎn)子軸向拉伸剛度和最大應(yīng)力進(jìn)行了求解，獲得如圖10所示的結(jié)果，由該結(jié)果可知，隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，轉(zhuǎn)子的軸向拉伸剛度和最大應(yīng)力與網(wǎng)格數(shù)量無(wú)關(guān)，證明了有限元模型的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性。

圖9 多級(jí)止口連接結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子有限元模型Fig.9 Finite element model of multi-rabbet-joint rotor

圖10 有限元模型網(wǎng)格無(wú)關(guān)性檢測(cè)Fig.10 Independence of elements amount of finite element model

3.2 轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)剛度特性修正方法

如圖11所示，為三級(jí)軸流壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)不考慮界面連接剛度損失時(shí)，計(jì)算得到的轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)下結(jié)構(gòu)變形和應(yīng)變能分布特征。初步計(jì)算結(jié)果表明，在多個(gè)連接結(jié)構(gòu)中止口D處彎曲變形曲率較大，應(yīng)變能較為集中。

而為了對(duì)該連接結(jié)構(gòu)位置的彎曲剛度進(jìn)行修正，需要對(duì)帶有界面的局部結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行等效靜態(tài)彎曲載荷加載，直至連接結(jié)構(gòu)位置彎曲應(yīng)變能分布占比與結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)下相同，利用此時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變分布狀態(tài)即可按照2.3節(jié)對(duì)連接結(jié)構(gòu)的局部彎曲剛度進(jìn)行修正。

如 圖12(a)所示，為轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)D處接觸界面在彎曲振動(dòng)狀態(tài)下應(yīng)變能分布情況，其中：Me為對(duì)轉(zhuǎn)子施加等效彎曲力矩；θe為連接結(jié)構(gòu)局部角向變形。

圖11 多級(jí)止口連接轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)特性Fig.11 Vibration response of bending modes of multi-rabbet-joint rotor system

圖12 轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)下止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度等效Fig.12 Bending stiffness equivalent method of rabbet joint under bending vibration of rotor

根據(jù)該計(jì)算結(jié)果可知，連接結(jié)構(gòu)D位置應(yīng)變能占整個(gè)轉(zhuǎn)子應(yīng)變能比例ηd為2.9%。對(duì)轉(zhuǎn)子施加等效彎曲力矩Me，直至連接結(jié)構(gòu)局部應(yīng)變能比例同樣為2.9%，此時(shí)連接結(jié)構(gòu)局部角向變形為θe，同時(shí)其界面接觸特性、結(jié)構(gòu)彎曲變形及應(yīng)變能分布如圖12所示。

顯然連接界面接觸特性受彎曲載荷影響顯著，連接界面僅受壓區(qū)域處于粘滯接觸狀態(tài)，而另一側(cè)受拉區(qū)域的有效接觸面積大幅度減小，由此造成結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力分布改變，并導(dǎo)致連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失。根據(jù)連接結(jié)構(gòu)位置應(yīng)力分布，可以應(yīng)用式(17)獲得該連接結(jié)構(gòu)位置的彎曲剛度特性修正系數(shù)。其他的止口位置的彎曲剛度修正系數(shù)亦可以按照該方法獲得。

而在獲得止口界面位置抗彎剛度修正系數(shù)后需要利用該轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限元模型，修正界面局部位置單元的彈性模量，使得

E′=βiE

(18)

式中：E′為修正后的材料彈性模量；βi為第i處止口連接結(jié)構(gòu)的彈性模量修正系數(shù)。其修正范圍如圖13所示，圖中：Δlnc,i為第i處止口連接結(jié)構(gòu)的修正區(qū)域長(zhǎng)度，該數(shù)值由連接結(jié)構(gòu)界面位置應(yīng)力分布特性決定。通過(guò)該方法可以將連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失的力學(xué)效果在有限元模型中加以描述。

圖13 轉(zhuǎn)子有限元模型剛度修正范圍Fig.13 Stiffness modification area in FEM model of rotor system

3.3 剛度特性修正系數(shù)準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為了對(duì)該修正方法和修正系數(shù)的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。由于有限元方法在連接結(jié)構(gòu)剛度特性分析中所具有的準(zhǔn)確性已經(jīng)得到了大量文獻(xiàn)的驗(yàn)證，因此可以利用有限元模型計(jì)算連接結(jié)構(gòu)的實(shí)際彎曲剛度，并對(duì)提出的修正方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)。

以止口連接結(jié)構(gòu)D為例，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)受到外加彎曲力矩Me時(shí)，連接結(jié)構(gòu)局部的角向變形為θe。通過(guò)施加合適的Me，使得連接結(jié)構(gòu)局部應(yīng)變能滿足ηd=2.9%時(shí)，斜率dMe/dθe即為彎曲振動(dòng)狀態(tài)下止口連接結(jié)構(gòu)的實(shí)際彎曲剛度，即

(19)

式中：kM,ed為基于有限元方法計(jì)算得到的D位置止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度。類似的，其他止口位置的實(shí)際彎曲剛度也可以通過(guò)該方法獲得，并且可以進(jìn)一步得到基于有限元模型的剛度修正系數(shù)βe,i，即

(20)

式中：kM,ei為通過(guò)有限元模型計(jì)算得到的第i處止口連接結(jié)構(gòu)局部彎曲剛度。對(duì)比兩種不同方法獲得的止口剛度損失修正系數(shù)，可以得到如表1所示的對(duì)比表格，其中：βe,i為基于有限元仿真方法所獲得的第i處止口連接結(jié)構(gòu)彈性模量修正系數(shù)。

由表1可知，修正系數(shù)βi與修正系數(shù)βe,i基本保持一致，驗(yàn)證了所提出的連接結(jié)構(gòu)剛度損失機(jī)理以及剛度等效方法的準(zhǔn)確性。

但是可以注意到，兩種不同方法下獲得的剛度修正系數(shù)總體上有βi≤βe,i，根據(jù)分析，可能是如下原因造成的：

由于采用了應(yīng)變能等效的方式來(lái)對(duì)連接結(jié)構(gòu)的局部剛度特性進(jìn)行修正，其中假設(shè)軸向應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變能可以用來(lái)衡量連接結(jié)構(gòu)的軸向收縮。然而對(duì)于各截面軸向應(yīng)力，其中部分應(yīng)力分量并未造成結(jié)構(gòu)的軸向收縮，而是形成力偶使截面發(fā)生偏轉(zhuǎn)。因此，通過(guò)式(11)積分得到的應(yīng)變能，實(shí)際上包括了連接結(jié)構(gòu)軸向變形應(yīng)變能和彎曲變形應(yīng)變能兩個(gè)部分，最終導(dǎo)致對(duì)連接結(jié)構(gòu)的軸向變形估值偏大、軸向剛度估值偏小，需要在后續(xù)研究中對(duì)該剛度修正方法進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。

表1 各連接界面處抗彎剛度特性Table 1 Bending stiffness of each joint interface

4 止口連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性分析

基于止口連接轉(zhuǎn)子剛度損失力學(xué)模型，計(jì)算分析止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失對(duì)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速影響，如表2所示。

計(jì)算結(jié)果表明，連接結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前兩階剛體振型的臨界轉(zhuǎn)速影響很小。但當(dāng)轉(zhuǎn)子處于彎曲振型臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，由于轉(zhuǎn)子及其連接結(jié)構(gòu)位置處產(chǎn)生較大彎曲變形，連接界面接觸狀態(tài)和應(yīng)力分布發(fā)生變化，連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度顯著下降，從而促使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速大幅降低。

基于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在第3級(jí)壓氣機(jī)葉盤位置施加50 g·mm的不平衡量，并在轉(zhuǎn)子前端軸承位置拾取振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，得到不同轉(zhuǎn)速狀態(tài)下轉(zhuǎn)子前支點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，如圖14所示。

由計(jì)算結(jié)果可知，考慮止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)峰值位置發(fā)生了變化。其中第三階臨界轉(zhuǎn)速為彎曲振型，振動(dòng)峰值頻率在考慮連接結(jié)構(gòu)剛度損失后顯著下降，而前兩階振動(dòng)峰值頻率變化則相對(duì)較小，這與臨界轉(zhuǎn)速分析的結(jié)果相吻合。

表2 連接結(jié)構(gòu)剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速影響 (單位:r/min)

圖14 止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)特性的影響Fig.14 Influence of bending stiffness loss of rabbet joint on vibration response of rotor system

5 結(jié) 論

1) 高速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在彎曲變形狀態(tài)下，連接界面會(huì)受到多軸載荷作用，從而對(duì)連接界面有效接觸面積、接觸應(yīng)力分布產(chǎn)生不可忽略的影響，使得轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)拉壓剛度產(chǎn)生變化，在彎曲載荷作用下可造成連接結(jié)構(gòu)局部彎曲剛度損失。

2) 基于連接界面變形和應(yīng)力分布特征，建立了止口連接結(jié)構(gòu)剛度損失模型，闡述了止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失機(jī)理，并基于連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布特性提出了連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度修正方法，采用剛度損失系數(shù)法對(duì)連接結(jié)構(gòu)局部彎曲剛度進(jìn)行修正。隨后，通過(guò)有限元法對(duì)該修正方法進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了其準(zhǔn)確性。

3) 針對(duì)止口連接三級(jí)軸流壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子，采用基于連接界面力學(xué)特性變化的剛度修正方法，建立實(shí)體有限元模型，對(duì)多止口連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和支點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)幅值進(jìn)行了計(jì)算。仿真結(jié)果表明，止口連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失對(duì)剛體振型臨界轉(zhuǎn)速及其響應(yīng)特性影響較小，但會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子彎曲振型臨界轉(zhuǎn)速大幅降低，同時(shí)也驗(yàn)證了止口連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)彎曲剛度損失模型的正確性。