APOS理論視角下函數(shù)在一點連續(xù)的概念教學研究

林歡玲

【摘要】本文為研究函數(shù)在一點連續(xù)的概念教學，在APOS理論的視角下，經過一系列內化、壓縮、解壓縮的心理機制，建立 “函數(shù)在某一點的連續(xù)性”的三個等價定義的圖式，形成概念域.

【關鍵詞】APOS理論;連續(xù)性

一、引 言

函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的一個最基本的概念，是運用極限方法對連續(xù)性現(xiàn)象進行研究，而函數(shù)在一點的連續(xù)性的三種定義的關系是認知連續(xù)性概念的思維障礙點.杜賓斯基提出APOS理論，主要應用于概念教學，注重概念的形成與學生思維建構的過程.因此，本文以APOS理論為基礎，教師要能夠有針對性地為“函數(shù)在一點的連續(xù)性”的教學方案提供依據(jù)，幫助學生克服對連續(xù)性概念的認知障礙.

二、相關概念

（一）函數(shù)在一點連續(xù)的定義

在連續(xù)函數(shù)的概念中，對于函數(shù)在一點的連續(xù)性，有下面三種常見的定義方式：

定義1 設函數(shù)f（x）在某U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續(xù).

定義2 設函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有l(wèi)imΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續(xù).

定義3 設函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續(xù).

（二）APOS理論

杜賓斯基以皮亞杰提出的建構主義為基礎，提出了數(shù)學概念學習的APOS理論模型.該理論模型認為學生學習數(shù)學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段：活動、過程、對象、圖式.其中，“活動”是個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指定去變換一個客觀的數(shù)學對象.當“活動”經過多次重復而被個體熟悉后，就可被內化為一種稱之為“程序”的心理操作.當個體能把“程序”作為整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”.一個數(shù)學概念的“圖式”是指相應的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，可以用于解決與這個概念相關的問題.“活動”“過程”“對象”也可看作數(shù)學知識的三種狀態(tài)，“圖式”是由這三種知識結構構成的一種認知結構.

三、APOS理論視角下函數(shù)在一點連續(xù)的概念的教學研究

（一）運用APOS理論的可行性分析

學生對于“連續(xù)性”的初始概念圖像，是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，而不是在一點上具有連續(xù)性，故而函數(shù)在一點的連續(xù)性與學生所認知的連續(xù)性的概念形象就產生了認知沖突，可能導致學習障礙.內化與壓縮作為APOS理論的重要心理機制，可以對函數(shù)在一點連續(xù)性的學習障礙提供解釋與解答.教師可利用APOS理論，在過程階段與對象階段，結合函數(shù)極限構造函數(shù)在一點連續(xù)的概念圖像，將極限概念過渡到連續(xù)性概念，幫助學生克服函數(shù)在一點連續(xù)性的學習困難，從而形成對函數(shù)在一點連續(xù)的真正理解.

對于函數(shù)在一點連續(xù)的三個等價定義，在教材安排上，不同版本的教材采用的編排順序不同，但都是在學習函數(shù)極限之后，采用上述定義中的某個定義引入連續(xù)性概念，進而將另外兩個定義作為等價定義給出.因此，在認知層面上，對上述三種定義的教學，要把握極限理論中極限概念和連續(xù)性概念的聯(lián)系.選取不同的定義引入連續(xù)性概念，會影響初學者對該概念的理解以及所出現(xiàn)的學習障礙.

（二）APOS視角下函數(shù)在一點連續(xù)的概念的教學研究

從幾何直觀上看，連續(xù)函數(shù)是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，故學生對連續(xù)性并非完全陌生的，將學生所認知的自然界的連續(xù)變化反映在數(shù)學上，就是量的變化，而反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量關系就是函數(shù)的連續(xù)性.連續(xù)函數(shù)的概念是“隱性”的，需要通過外顯的活動，將連續(xù)性呈現(xiàn)出來，由此獲得連續(xù)函數(shù)概念的“表象”.

（三）關于三個定義的教學研究

1.定義1的教學研究

問題1：分別畫出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的圖像，并思考下述問題：（1）圖像是否連續(xù)？若是不連續(xù)，又在哪里間斷？圖像斷開的原因是什么？（2）當x→0時，函數(shù)極限值分別是多少？

通過解答（1），學生單個地分析函數(shù)是否連續(xù)以及圖像斷開的原因，將這個過程經過多次重復后，學生能通過對比①②③發(fā)現(xiàn)x=0是②③是否連續(xù)的關鍵點.解答（2）時，當圖像出現(xiàn)間斷，學生不得不運用函數(shù)左、右極限進行計算.學生通過計算，便會猜想當x趨于0時的函數(shù)極限、函數(shù)在x=0處的函數(shù)值與函數(shù)的圖像連續(xù)存在聯(lián)系.這種思考過程即心理機制上的內化，進而達到“程序”階段.

問題2：接下來脫離具體情境，將x=0拓展到x=x0的情況，將情境中的函數(shù)圖像歸納為下述情況，如圖1，圖2，圖3所示，繼續(xù)思考上述問題.

教師引導學生思考：若是函數(shù)在點x0處出現(xiàn)間斷，依照問題1的思考過程，借助圖像，運用左、右極限的知識加以理解.對于圖1，函數(shù)在點x0處出現(xiàn)間斷，對于函數(shù)曲線上斷開的點f（x0）可歸為左側圖像，那么，函數(shù)在點x0處的左極限恰好等于這一點的函數(shù)值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.對于圖2，函數(shù)曲線上斷開的點f（x0）可歸為右側圖像，那么，函數(shù)在點x0處的右極限恰好等于這一點的函數(shù)值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.對于圖3，函數(shù)在點x0處沒出現(xiàn)間斷，那么這點不僅可以歸為左側圖像，也可以歸為右側圖像，由左右極限的定義，可得limx→x0f（x）=f（x0）.

教師要讓學生意識到：曲線在某一點連續(xù)與不連續(xù)的差別，在于曲線在該點處的函數(shù)值是否產生了“突變”，并且發(fā)現(xiàn)函數(shù)在點x0連續(xù)應滿足三個條件：函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義;極限limx→x0f（x）存在;極限limx→x0f（x）的值等于點x0處的函數(shù)值f（x0）.此時，上述“程序”就已經被“壓縮”為一種“對象”.

最后，教師引出函數(shù)在點x0處連續(xù)的定義為：設函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續(xù).

完成這個過程，APOS理論視域下，函數(shù)在一點連續(xù)的定義與函數(shù)極限的聯(lián)系，是之前所習得的函數(shù)極限圖式的進一步發(fā)展，形成函數(shù)連續(xù)性概念的新圖式.

2.定義3的教學研究

問題3：由于函數(shù)在一點的連續(xù)性是通過極限定義的，所以可類比函數(shù)極限的定義，試著用ε-δ語言敘述定義1.

學生思考：類比函數(shù)極限的定義，可由定義1得到其ε-δ語言，如表1所示：

教師細致分析，讓學生領會：討論極限時，假定f（x）在點x0某空心鄰域U。（x0）上有定義（f（x）在點x0可以沒有定義），而“函數(shù)f（x）在點x0連續(xù)”，則要求f（x）在某鄰域U（x0）上有定義.此時，對于|f（x）-f（x0）|<ε，當x=x0時總是成立的，所以在極限定義中的“0<|x-x0|<δ”換成了在連續(xù)定義中的“|x-x0|<δ”.

最后教師總結定義：設函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續(xù).

這樣，圍繞limx→x0f（x）=f（x0）這個“對象”，定義1與定義3建立等價關系.

3.定義2的教學研究

對于定義2，教師可通過幾何知識更為直觀地進行教學.為理解“函數(shù)y=f（x）在點x0連續(xù)”的概念，教師引入增量的概念，記Δx=x-x0，稱為自變量x（在點x0）的增量或改變量.設y0=f（x0），相應的函數(shù)y（在點x0）的增量記為Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自變量的增量Δx或函數(shù)的增量Δy為實數(shù).

問題4：引進了增量的概念之后，固定點x0，反復變化下圖中Δx的大小，觀察其對應的Δy如何變化.

教師引導學生理解自變量的增量Δx或函數(shù)的增量Δy可以為正數(shù)、0或者負數(shù).當Δx>0時，自變量x增大，函數(shù)的增量Δy>0，反之，當Δx<0時，自變量x減小，函數(shù)的增量Δy<0.

在“活動”階段，學生依次對h（x）和f（x）的圖像實施Δx的變化，以觀察其對應的Δy的變化.重復多次“活動”后，慢慢就內化為“程序”，學生能對比發(fā)現(xiàn)圖4的函數(shù)y=h（x）的圖像在點x0處間斷，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點N′，此時Δy為定值，在點x0處不連續(xù).圖5的函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)變化的曲線，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點M，Δy趨近于0.學生對整個區(qū)間上函數(shù)值的增量隨自變量的增量變化趨勢有整體認識，上述“程序”就被“壓縮”成一種“對象”.

最后，教師總結得到定義2：設函數(shù)f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有l(wèi)imΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續(xù).

此時，學生對“函數(shù)在一點連續(xù)”的三個定義有了完整的形式化表述，但對三個定義的等價關系的認識還處于分離的狀態(tài)，所以，認識需要上升到“圖式”階段.教師要引導學生對定義2進行“解壓縮”，在定義2中，令Δx=x-x0，則Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），當Δx→0時，有x→x0，Δy→0，則[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.該過程圍繞“l(fā)imx→x0f（x）=f（x0）”，定義1與定義2建立等價關系.

四、總 結

對于“函數(shù)在某一點的連續(xù)性”的三個等價定義的教學，教師應引導學生主動建構，把握學生對概念的思維障礙點，避免讓學生死記數(shù)學概念，而無法理解“函數(shù)在某一點的連續(xù)性”的三個等價定義之間的關系.

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