數學抽象的水平層次分析

覃創

【摘要】數學抽象是數學核心素養的重要部分.本文通過梳理前人對數學抽象的研究，從認知發展的角度和認知神經學的角度來分析數學抽象，再結合《普通高中數學課程標準（2017年版）》和PISA理論，提出了數學抽象的五個水平層次.

【關鍵詞】數學抽象;認知發展理論;認知神經科學;PISA理論

1 引 言

在核心素養推進的過程中，貢獻最大的應當是經濟合作與發展組織（OECD）.OECD對核心素養的研究起步早，參與人員多，代表性強.完整的邏輯體系有三年一次的國際學生評估項目（PISA）調查檢驗，其科學性、合理性得到普遍認同.數學抽象素養是數學核心素養的六大素養之一，數學核心素養又是數學素養的核心要素，因此我們想要理清數學抽象素養得從數學素養談起.1956年10月的《數學通報》所刊登的蘇聯文獻譯稿中就出現了數學素養一詞，這一詞首次出現在我國教育大綱里是1992年頒布實施的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱》.數學素養的界定歷程由一維走向多維因素共同決定.目前，數學素養已發展為學生德智體美勞全面發展的綜合素質，是個體、數學、社會生活等方面的綜合體.在數據互通、資源共享的時代背景下，越來越多國家認可數學素養是公民眾多綜合素養之一.我國教育部于2014年3月印發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》提出：核心素養體系的概念和明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，數學核心素養是以此為依據，結合數學學科特點而形成的.數學核心素養是以數學課程為載體的，是數學素養的核心要素，具有可操作，可測量，可評價的特征.2017年12月中華人民共和國教育部制定頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下稱《課標（2017年版）》）明確提出了六大數學核心素養，并從內涵、價值、表現三方面描述了六個數學核心素養.美國著名數學史家、數學教育家M·克萊因曾說：“數學概念的產生離不開抽象，正是對數學的抽象性和演繹法的堅持造就了今日的數學體系.”數學抽象是對問題情境中的數量關系與空間形式進行抽象，從而得到數學研究對象的思維抽象過程，反映了數學的基本思想和數學的本質特征.數學抽象也是學生在學習活動中必須具備的一種思維品質，該思維品質在學生學習數學的過程中起著重要的基礎性作用.《課標（2017年版）》將數學抽象看成是學生必備的一種素養，更突出了數學抽象的重要性.數學抽象如此重要，那怎樣來衡量數學抽象的抽象層次呢？因此，本文從認知發展的角度和認知神經學的角度來分析數學抽象，再結合《課標（2017年版）》和PISA理論，研究數學抽象的水平層次.

2 從認知發展的角度來認識數學抽象

認知發展是個體在適應環境的過程中對事物的認知及面對問題情境的思維方式和表現能力.認知發展理論在皮亞杰的認知理論中主要體現在認知結構發展的形式運算階段，學生的思維已經擺脫了具體事物的束縛，可區分形式與內容，能用符號演算命題，能根據假設進行邏輯推理.皮亞杰還從認知發展論的角度描述抽象水平概念的投射和反射機制.數學抽象的水平層次由低到高分為5個水平層次，依次是經驗抽象、偽經驗抽象、反省抽象、再反省抽象及元反省抽象.經驗抽象是憑借主體經驗從客體中抽取信息，在整個抽象活動中是最簡單、最基礎的抽象;偽經驗抽象是抽取出來的客體屬性對主體屬性有所影響的時候，以這些屬性為對象的抽象活動;反省抽象是從低層次抽取出來的內容投射到高層次上，在高層次上進行重新組織與建構;再反省抽象即對反省進行反省，使之能夠明確意識到操作中的協調，能對結果進行明確的形式化;元反省抽象是對再反省抽象的產物的反省，它不僅能夠直接獲取問題間的結構，還能將提取到的結構概括到不同情境中去，這一抽象只有在個體發展到形式運算階段才能具備.學生進入高中后，思維已從具體思維發展到抽象思維，且得到了相當大的發展，可根據命題結構、模型關系、演繹方式等解決問題.因此，這一時期是學生智力發展的質變時期，也是數學抽象素養發展的關鍵時期.

3 從認知神經學的角度來認識數學抽象

如何評定教育對象的心理素質和特征，直到今日還主要是教育家們的經驗之談，缺乏系統的科學基礎.腦的認知功能包括知覺、注意、記憶、語言和思維以及智能和意識等心理過程.若將認知心理學和神經科學成果用于人腦認知功能的研究，可形成認知神經科學.認知神經科學的研究目的在于闡明認知活動的腦機制，即人類大腦如何調用其分子、細胞、腦組織等組件去實現各種認知活動.在我國，認知神經科學的總體定位是以高級認知功能發展變化為主，以學習和腦的可塑性為核心問題，圍繞學習的一般規律和機制以及特殊領域學習的認知與腦機制開展認知神經科學研究，為我國基于腦科學的教育質量的提升、人力資源的開發和認知障礙的矯治等提供依據，從而促進兒童、青少年的智力和心理健康發展，提升我國人民素質和綜合國力.從認知神經學的角度來認識數學抽象就是數學抽象認知活動中的腦機制反應.大腦對數學抽象的第一層是視網膜神經元傳遞視覺信息，不同神經信號從不同的樹突傳入細胞體，由細胞體進行選擇性整合，選擇性整合得到最初的抽象信息;大腦對數學抽象的第二層是細胞集群的同步激活擴散，具有相似功能的神經元聚集成柱狀結構，與其他神經元區分開來;大腦對數學抽象的第三層是信息傳遞在不同的皮質區上對不同對象特征進行反應，構建起相互間的聯系;大腦對數學抽象的第四層是神經信息的選擇性整體擴散，發生在不同皮質區的聯系，從而將其要素關系推廣到一般.

4 數學抽象的水平層次分析

PISA已在2003年和2012年以數學素養作為主要測評對象，PISA2021年將再次以數學素養為主要測評對象，且在2019年5月公布了數學素養的測評框架，框架總體上沒有重大變化，但在內涵 、建構等方面做了適當調整，總體展現出時代發展的特色和社會發展需求.PISA的測試量表可將學生的精熟度劃分為6個等級水平;在考查上注重學生的主觀性，測評將知識作為理解數學本質的手段，將實際問題抽象成數學問題，衡量學生解決實際問題的過程，操作起來完整性強、目標突出、具有較好的可操作性.《普通高中數學課程標準（2017年版）》對數學抽象的闡述：數學抽象是對數量關系和空間形式的抽象，從而得到數學研究對象的素養，并將抽象水平進行了層次劃分，體現出數學抽象不僅是一種能力更是將其作為一種素養來看待，但說服力不強.由此，數學抽象的水平層次是從人們普遍認可的皮亞杰認知論和科學的認知神經科學入手，借鑒PISA數學素養和《課標（2017年版）》對數學抽象的描述，通過學習遷移得出的.

水平一 數學抽象的第一個層次為感知.感知就是能在熟悉的情景中了解抽象的數學問題，了解命題條件、結論及數學語言的表達，可稱為感知層次.這在認知論中就是主體在客體中感知提取信息，由以往經驗獲得問題的基本信息，屬于認知論中的經驗抽象;從認知神經科學來看就是視網膜神經元傳遞情境里的視覺信息，將不同神經信號從不同的樹突傳入細胞體，經細胞體進行選擇性整合后得到最初的條件、結論等信息.

水平二 數學抽象的第二個層次為顯現.從認知神經科學來看數學抽象的顯現水平，就是感知階段得到的最初信息促使細胞集群的同步激活擴散，使具有相似功能的神經元聚集成柱狀結構來區分其他神經元，顯示出與其他神經元的不同，在認知發展論中顯現就是抽取出來的客體對主體影響時所表現出來的特定屬性抽象活動，可看作顯現層次.顯現就是數學抽象對具體情境、問題的初步表現形式，具體表現有：用恰當例子解釋簡單數學命題，理解命題條件和結論，展現數學思想方法，進行簡單數學運算，抽象數學結構等.

水平三 數學抽象的第三個層次為聯系.這一層次是在關聯情景中抽象出一般數學概念和規律，構建相關知識間的聯系和數學知識體系，可運用數學語言進行表達、推理和論證，可稱聯系層次.對應在認知神經科學中就是信息傳遞在大腦不同皮質區上對不同對象特征做出的反應，由不同抽象特征建立起相互間的聯系;認知發生論可將數學抽象的聯系層次看成是由低層次抽取出來的內容投射到高層次，在高層次上進行組織與建構，促進相互聯系.

水平四 數學抽象的第四個層次為整合.這一層次的抽象可稱為整合層次，整合從字面上看是把不同類型、不同性質的事物組合在一起，使它們成為一個整體.數學抽象的整合層次是運用數學語言表征抽象出綜合情景中的數學問題，然后提煉出一類問題的通性通法及表達出問題所蘊含的思想，從而使得數學抽象能夠明確地意識到操作中的協調關系，能將結果進行明確的形式化.其在認知神經科學中就是神經元信號有選擇性整體擴張，形成不同皮質區的聯系，從而將其各要素關系推廣到一般.由此，數學抽象的整合層次為數學抽象形成系統結構，是數學思想方法、系統結構、語言表征等要素的整合.

水平五 數學抽象的第五個層次為反饋.這一層次是在復雜情景中運用數學原理解決問題，認知具體現象、表達自然對象和社會現象，可稱為反饋層次.上面四個層次得到數學抽象的四個基本操作步驟，抽象后需要從理論的高度來分析問題和深化問題，使問題本身的意義得到拓展和延伸，還有抽象結果需要應用于社會解決復雜問題，解釋自然現象和社會現象，促使數學抽象得到進一步提升，這就體現出數學抽象在現實生活中的研究價值.其在認知發展理論中就是抽象產物的反省思維.反饋不僅能夠獲得問題之間的結構，還需將提取到的結構概括到不同情境中去.

5 總結

此研究借鑒前人的理論、國際學生評估項目和《課標（2017年版）》中對數學抽象的描述，通過對數學抽象過程的分析，得到數學抽象的5個水平層次，具體為：感知層：能在熟悉的情景中了解抽象的數學問題，了解命題條件、結論及數學語言的表達;顯現層：是數學抽象對具體情境、問題的初步表現形式，如用恰當例子解釋簡單數學命題，展現數學思想方法，進行簡單數學運算，抽象數學結構等;聯系層：在關聯情景中抽象出一般數學概念和規律，構建相關知識間的聯系和數學知識體系，可運用數學語言進行表達、推理和論證;整合層：運用數學語言表征抽象出綜合情景中的數學問題，能提煉出一類問題的通性通法及表達出問題所蘊含的思想;反饋層：在復雜情景中，運用數學原理解決問題，認知具體現象、表達自然對象和社會現象.前四個層次完成了某一具體數學抽象過程，但抽象之后需要從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展和延伸，這就體現出了反饋這一層次.總之，這一數學抽象思維水平層次，有利于衡量學生數學抽象狀況，結合其可設計有針對性的教育教學活動，從而培養學生的數學抽象能力，提高學生的數學抽象素養.