以核心素養為導向的錯題教學

馬洪超

【摘要】我們知道，錯題教學是數學教學中的重要環節.學生通過錯題教學，能夠加深對知識的理解，提高分析和解決問題的能力，從而提升學科的核心素養.學生在解答問題時，解題正確，固然可喜，而解題出現錯誤，也不需要可悲.因為教師可將其作為最好的學習素材，和學生一起找到錯誤的原因，從而使學生的認知得到升華.正如心理學家蓋耶所言：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”下面筆者通過分享自己的教學實踐對此進行探討.

【關鍵詞】基本不等式;最值;定值;錯題教學

人教A版數學必修5（以下簡稱教材）第三章第4節“基本不等式ab≤a+b[]2”中指出ab≤a+b2（a>0，b>0）是一個基本不等式，其在解決實際問題中有廣泛的應用，其是解決最大（小）問題的有力工具.因此，本節課的重點（亦是難點）之一，就是讓學生初步學會利用基本不等式求最值.我們通過解決教材第111頁例1的兩個問題，能夠由基本不等式進一步總結出以下推論：

設x，y∈N+，x+y=S，xy=P，

（1）如果P是定值，則當且僅當x=y時，S有最小值2P.

（2）如果S是定值，則當且僅當x=y時，P有最大值S24.

我們知道，利用基本不等式求最值，除了x，y必須是正數外，還要注意兩個方面：一個是要使積或者和是定值，另一個是要使等號成立的條件能夠得到滿足.這里，教師要意識到，這些在教師看來很“顯然”的注意事項，學生卻未必這樣認為，就像會游泳的人對不會游泳的人說，應該怎樣手腳配合、怎樣換氣一樣，他們很可能對此一知半解，似懂非懂.為此，筆者設置了如下一道例題：

這種解法是錯誤的，雖然在意料之中，但筆者認為應該抓住這個機會，讓學生從錯誤中吸取經驗.于是，筆者迅速把兩種解法抄在黑板上，問：“同學們，這兩種解法給出的結果不一致，顯然至少有一個是錯誤的，對嗎？”多數學生經過短暫的思考，達成一致，認為解法2有問題.這還不夠，筆者繼續發問：“誰能說說解法2到底錯在哪里了？”此時，學生開始熱烈討論，積極發言.甚至，學生甲由于找不到解法2的問題在哪，又在懷疑解法1有問題，但二者不一致的結果使其陷入了困惑之中.

學生乙對于解法2錯誤的原因是這樣解釋的：“如果將4xx-3看作是一個函數，即設g（x）=4xx-3（x>3），那么g（x）=4+12x-3在（3，+∞）上是遞減的，顯然沒有最小值.因此雖然有f（x）≥2g（x），但f（x）的最小值不能用g（x）的最小值來求.”

筆者馬上發問：“既然這樣，我們如果把條件改成3

學生乙陷入沉思，學生丙馬上指出27不對并說：“因為當x=7時，f（7）=8，此時f（7）>2g（7）=27，不等式沒能取到等號，也就取不到這個最小值了.”

筆者對學生丙的說法給予了肯定，接著將解法2進行了如下編號：

接下來，筆者請學生逐步檢查，找出到底哪個環節的推理是錯誤的.有的學生認為是②，有的學生認為是④，但很快被大家一一否定，從而把目光聚焦在了從④到⑤的推導上.由④能否得到⑤呢？筆者指出之前學生乙的“函數思想”很好，不妨讓這個問題更加直觀——畫圖像！筆者打開多媒體，利用幾何畫板，很快就得到了y=f（x）和y=2g（x）的圖像如下：

此時，學生恍然大悟，原來，y=f（x）的圖像的確恒在y=2g（x）的上方，當x=4時，解法2的步驟②中的基本不等式取到等號，這個結論本身是沒有錯的，從圖像上看，它描述的是y=f（x）與y=2g（x）的圖像的切點，但是，這并不是y=f（x）的最低點，所以不能用這樣的方法求f（x）的最小值！筆者引導學生再進一步思考，同樣是使用了基本不等式，為什么解法1就是正確的呢？顯然，區別在于解法1的不等式右邊是一個定值（常數）：x+4x-3≥2（x-3）·4x-3+3=7.

設h（x）=7，作出圖像：實際上，當湊出了定值，不等式一邊為常數，其圖像是一條水平的直線，這條直線與y=f（x）的圖像的切點也必然同時是該圖像的最低點！所以，這就解釋了我們為什么要在求最值的時候想辦法“湊定值”.

學生豁然開朗，愉悅之情溢于言表，那是解除了困惑的釋然，是探尋到真理的成就感.喬治·波利亞說：“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面.通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的思路，學生可以鞏固他們的知識和發展他們的解題能力.”實際上，不單是針對正確的解法，對于自己或他人錯誤的解法的糾正與反思，往往更能夠深化理解，發展思維.

我們常說：知其然，還要知其所以然.在這里，我們不妨再加上一句：知其不然，也要知其所以不然.

【參考文獻】[1]馬旭光.“說錯題”教學：課堂因錯誤而精彩[J].小學教學設計，2016（32）：62-63.

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[3]俞杏明.也談基本不等式求最值的一個教學困惑的突破[J].中學數學研究，2017（7）：25-26.

[4]李建華.普通高中課程標準實驗教科書A版·數學5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.