關于質數的一些簡單探討

易照雄

【摘要】 從小于20的八個已知質數出發，由數值計算去嘗試尋找質數（包括孿生質數）的公式與簡便方法;也可結合混沌理論中的費根鮑姆常數以及與質數關系密切的布朗常數，通過應用自然對數和常用對數，再經由數值計算尋找一個估算質數個數的經驗公式.

【關鍵詞】質數;偽質數;贗質數;自然對數;常用對數;費根鮑姆常數;布朗常數

一、關于質數的公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7

質數（或稱之為素數）是指只能被1和其自身所整除的自然數.而合數則是指通過若干個質數相乘所構成的、可以被拆分的自然數.正是在這個意義上，人們將質數視為數學中的“原子”.分析已知的質數不難看出，所有兩位及兩位以上的質數的個位數只能是1，3，7，9，無一例外.而個位數為0，2，4，5，6，8的自然數，也均無一例外為合數.數值計算表明，所有大于10的質數都可以由公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7給出.只不過該公式在給出所有質數的同時也給出了相當數量的合數，并不全都是質數，實際上，質數也僅僅只是其中的一部分甚至是一小部分而已.這里，當我們把自然數N（n）代入上述公式后，如果得到的n值為整數，我們就說自然數N（n）可以通過“6n”測試.而由此得到的自然數N（n），我們則稱之為 “6n”質數.我們也可以將公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7改寫成N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7，這樣的公式包含了10以內的四個質數：2，3，5，7.至于2×3重復出現了兩次，牽強的解釋可能是由2，3可以構建5和7，因而2，3顯得比5和7更具基礎性一些.

由上面的表2可知，部分個位數為1，3，7，9的自然數，實際上并不是質數，而是一大類可以通過 “6n”測試的合數，如91，143，187，169，我們暫且將這類屬于“6n”質數的自然數稱為偽質數.我們依次并連續運用上面（1）（2）那樣的方法，就可以去掉所有類似的非質數（包括偽質數）.這里，我們把建立在公式N（n）=2×3n+5和N（n）=2×3n+7的基礎上并進一步“篩掉”所有非質數的方法，暫且稱為“新篩法”.我們通過這樣的“新篩法”，就有可能篩掉公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7所帶來的包括偽質數在內的所有的非質數，最終找到我們所要找尋的質數.不難看出，隨著n的增大，一方面上述公式給出了真實的質數，同時也給出了越來越多的非質數，從而導致最終實際給出（存在）的質數越來越稀少.

二、贗質數公式 N（n）=2×3n+3，N（n）=2×3n+9

另外一大類不能通過上面所謂 “6n”測試的自然數，如21，87，117，141，177，561，1023，16383，10234029，其個位數也是1，3，7，9，這和前面的偽質數相同.因其仍然為合數，所以我們暫且稱之為贗質數.贗質數可從兩個連續的“6n” 質數的算術均數中得到，且所有的贗質數都可以被3整除，即被稱為贗質數的這類合數都具有最小的質因數3，或者說兩個n值不同但連續的“6n”質數之和都可以被6整除.即：

這樣的公式N（n）=6n+3和N（n）=6n+9就是由公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7而得到的贗質數的計算公式.有趣的是，同一贗質數可以出現在這樣的兩個公式中，只不過這時n取兩個不同但連續的值.例如：561，可以同時有： 6×93+3=561，6×92+9=561，但其他類似的公式卻沒有這樣的情形出現.很顯然：

相較于其他類似的公式，比如上面的N（n）=2n+1，N（n）=2n+3和N（n）=3n+1，N（n）=3n+2以及N（n）=4n+1，N（n）=4n+3而言，公式N（n）=2×3n+5與N（n）=2×3n+7給出的計算值不但不包括任何偶數，也不包括任何贗質數，且所包含的非質數也是這類公式中最少的.而孿生質數（即雙生質數）在公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7中都具有同一個n值.“篩掉”所有非質數及與非質數取相同n值的質數，如25以及與25取相同n值3的質數23，185以及與185取相同n值30的偽質數187，91以及與91取相同n值14的質數89;再“篩掉”孿生偽質數，如119和121.經過這樣的篩選，剩下來的就全都是孿生質數了.

另外，如果我們說質數是一切數的 “原子”，合數是由若干個質數相乘得到的，那么公式N（n）=3n+1，N（n）=3n+2似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的質數的“原子”，也即任意一個大于等于5的質數都是由若干個2和3相加來構成的.還有，5和7出現在前面去掉非質數的“新篩法”中，也即5和7都參與“6n” 質數中的部分非質數的構建，但2和3卻沒有出現在前面去掉非質數的“新篩法”中，這似乎也說明了2和3在質數中的基礎性地位和作用.

我們從上面的討論中不難看出，對于個位數是1，3，7，9的自然數，可以分成三大類： 質數、能通過“6n” 測試的偽質數以及不能通過“6n”測試的贗質數，偽質數和贗質數本質上都是合數.我們以小于20的八個質數尤其是三對孿生質數（5和7，11和13，17和19）為基礎，應用本文以上所給出的尋找質數的“新篩法”，就可以很容易得到100以內的所有質數.在這個“新篩法”的基礎上似乎可以進一步找到小于任意一個自然數（比如本文中的200）的所有質數，這似乎至少在原則上來講是可行的和可能的.至于識別任意一個自然數是否為質數或偽質數，我們在這里并不能給出類似于費馬小定理的費馬素性測試那種簡單有效的方法.我們只知道個位數為0，2，4，5，6，8的自然數及贗質數（其個位數為1，3，7，9）都不是質數.盡管我們在原則上似乎可以“篩掉”所有的偽質數，但這里并沒有給出能判定任意一個個位數是1，3，7，9的自然數是否為質數或偽質數的簡便方法.

三、費根鮑姆常數α和δ、布朗常數B2與質數分布可能存在的聯系

我們上面簡單討論了如何去找尋質數和如何識別偽質數以及怎樣認定贗質數.與質數密切相關的另一個問題就是質數的分布.作者由于對物理學的一些基本問題的關注和探討，聯想到混沌理論中的費根鮑姆常數是否會和質數分布規律存在一定的關系.若從長久以來大家一直都知曉的小于給定值N的素數個數的估算公式 π（N）≈NlnN 出發，將上述兩個費根鮑姆常數以及與質數密切相關的布朗常數B2（B2≈1.902160578）聯系起來進行綜合考量，并經過反復的數值計算，可以得到如下一個小于給定值N的質數個數的估算公式：

顯而易見，上述估算質數個數的公式所給出的計算結果，與相應的真實值是符合得比較好的.這個公式中包含了自然對數、常用對數以及混沌理論中的兩個費根鮑姆常數，還有與質數密切相關的布朗常數B2以及圓周率π.不過，用以上這些只涉及初等數學的想法與方法去探討和對待在自然數中尋找質數、估算質數個數這樣的老問題，也許是很有趣的，但是否正確和有意義則只能由相關的專家學者去評判了.

【參考文獻】1.陳仁政.說不盡的π[M].北京：科學出版社，2005.

2.（美）約翰·德比希爾.素數之戀[M].陳為蓬，譯.上海：上海科技教育出版社，2014.

3.（英）馬庫斯·杜·索托伊.悠揚的素數[M].柏華元，譯.北京：人民郵電出版社，2019.