基于APOS理論的一致連續函數概念教學探析

王俏敏

【摘要】函數的“一致連續性”是數學分析中極具抽象性的一個基本概念，而函數一致收斂性概念本身的強抽象性導致學生在理解上有一定的困難.本文以APOS理論為依據，設計數學概念教學的四個階段：（1）創設問題情境，引出新知識;（2）展示探究過程，理解概念;（3）構造對象實體，把握概念性質;（4）建立深層圖式，形成概念體系.希望能幫助學生理解一致連續函數這一抽象概念.

【關鍵詞】APOS理論;連續函數;一致連續函數;ε-δ定義

一、引 言

函數的“一致連續性”反映了函數在某一給定區間上的整體性質，是數學分析中極具抽象性的一個重要概念，它有助于研究函數的變化趨勢及性質，同時在微積分以及其他學科中常常被用到，是微積分學的理論基礎.

二、APOS理論

APOS理論堅持一個原則，即一個數學概念的本質與它在個人頭腦中的發展有著密切的關系.根據APOS理論，個體依序建構了心理活動、程序和對象，最終組織成用以理解問題情境的圖式結構.

操作階段是指個體或學習者通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數學對象，一個數學概念就開始形成了.

過程階段是指當一個人重復和反思一個行為時，它可能內化為一個心理過程.過程是一種心理結構，它執行與內化的活動相同的操作，但完全在個人的頭腦中，因此使她或他能夠想象執行轉換而不必外顯式地執行每個步驟.

對象階段，如果個體或學習者意識到一個過程是一個整體，意識到轉換可以作用于這個整體，并且可以構造這樣的轉換，那么我們說個人已經把這個過程壓縮成一個認知對象.

圖式階段，雖然這些結構描述了個體如何構建單一轉換，但一個數學主題通常涉及許多動作、過程和對象，需要將它們組織起來并連接到一個緊湊的框架中，這個框架就是圖式.

三 基于APOS理論的函數一致連續性的教學設計

操作階段——創設問題情境，引出新知識

第一步：復習函數在某點連續的概念，根據定義證明下題.

定義1 設函數在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有|f（x）-fx0|<ε，則稱函數f（x）在點x0連續.

例1 證明函數f（x）=1x在區間（0，1）上連續.

證明 任取x0∈（0，1），對任意的ε>0，由于x→x0，不妨限制x-x0x02.要使f（x）-fx0=1x-1x0=x-x0xx0<2x20x-x0<ε，只需取δ=min x02，x202ε，則當x-x0<δ，總有|f（x）-fx0|<ε，故f（x）在x0連續.由x0的任意性可知f（x）=1x在區間（0，1）上連續.

教師引導學生復習和總結：在這個定義中關鍵是理解δ的存在性，能否理解δ的存在性、找到合適的δ是學生對函數連續性理解出現層次分化的一個關鍵點.在復習舊知識的過程中出現了一個應用連續函數定義證明的過程，這實際上是連續函數的圖式階段.APOS理論強調了個體現有的數學概念圖式在新知識建構中的重要作用.

第二步：新的問題情境，引出新知識——函數的一致連續性.

問題1：對于定義1中的δ，如果固定ε，那么對于不同的x0，δ是否一樣？

借助曲線f（x）=1x的圖像，取兩個不同的點x1，x2，其中x1靠近x=0點，x2遠離x=0點，同時保證|f（x）-f（x1）|<ε，|f（x）-f（x2）|<ε，即函數值的變化范圍都為ε.如此容易觀察出在兩點處所對應的δ不同，δ的取值除依賴于ε之外，還與點x有關.這樣的實例使學生認識到在某點連續的概念中所存在的δ的大小不僅依賴于ε而且依賴于點x的位置.此處教師可借助幾何畫板等軟件以動態的形式展示出來，幫助學生獲得直觀的認識.

問題2：既然每一個x都有相應的δ與之對應，那么如果x取遍整個區間I，是否會存在一個公共的δ>0，使得對任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）| <ε呢 ？

學生容易從圖像中發現，當x∈（0，1）時，x越趨近于0，函數值變化越大，而且δ越來越小且無限接近0，即找不到公共的δ>0，也即對于例1中的連續函數來說，找不到一個公共的δ>0，使得對任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）| <ε.

問題3：是否存在“使δ的取值只與ε有關而不受x0的位置限制”的連續函數？引出函數一致連續（較強的概念）的定義.

根據APOS理論，在操作階段，學生需要完成一系列外顯的指令來改變數學對象，而函數的一致連續性這個數學概念的形成，是對已有數學概念——函數連續性的進一步抽象概括.所以，教師首先從函數的連續性復習引入，并且在此階段，創設了一系列的問題情境，通過問題情境的呈現讓學生感受新概念，引起學生對新概念的思考，為后續獲得函數一致連續性概念打好了基礎，同時為進入APOS的下一階段做好認知準備.

過程階段——展示探究過程，理解概念

第三步：通過具體問題形成對函數一致連續性的直觀認識.

問題5：我們找到了這樣一個連續函數，δ的取值不受x0的位置限制而只與ε有關，那么是否能找到問題2所說公共的δ>0呢？

學生經過上一階段對公共的δ>0的尋找，可以直接在腦海里想象到f（x）=1x在[c，+∞）（c>0）的圖像相對平緩，而且經過上一階段的動態展示，對該函數圖像有了了解，可以明確當x越靠近c（c>0）時，函數值變化越大，同時δ越來越小，但在接近0的同時會存在一個最小值，也就是可以找得到公共的δ>0.

此時可以借助數形結合思想向學生說明公共的δ（ε）的含義.我們不妨就此問題進行講解：在例2中，δ除了可以取最小值δ0=c2ε外，還可以取δ1=2c2ε，δ2=3c2ε，…，而c2ε是最小值，不難發現，當|x-x0|<δ0<δ1<δ2<…時，有|f（x）-f（x0）|<ε.

依據APOS理論，在過程階段，學生借助幾何直觀，對特定函數圖像進行觀察、比較、分析、歸納等一系列的數學活動探究過程，可以從具體的外顯觀察活動過渡到內隱的抽象分析過程，加深其對函數一致性概念本質的認識和理解.

對象階段——構造對象實體，把握概念性質

第四步：形成對概念的整體認識，把握概念的實質，賦予嚴格的形式化和符號化定義.

問題6：類比連續函數的ε-δ定義，給出函數一致連續性的定義.注意：此時的兩點是任意兩點，δ是適合于I上所有的點x的公共區域.

定義2 設f（x）為定義在區間I上的函數.若對任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續.

第五步：通過舉例證明，鞏固概念理解.

問題7：你能用準確嚴格的數學符號語言表達函數非一致連續的定義嗎？

定義3 設f（x）為定義在區間I上的函數.若存在一個ε0>0，對任意的δ=δ（ε）>0，存在x′，x″∈I，且|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|≥ε0，則稱函數f（x）在區間I上非一致連續.

根據APOS理論，在對象階段，學生需要判斷函數的一致連續性和非一致連續性，故應該對上一階段抽象出的概念的一些本質特征“公共的ε>0，對于任意兩點，只要它們的距離小于δ=δ（ε），就可使|f（x′）-f（x″）|<ε”賦予形式化和符號化的定義——定義2，進而使它壓縮成為一個具體的對象，然后學生運用它來判斷（非）一致連續性或一致連續性的性質等.

圖式階段——建立深層圖式，形成概念體系

第六步：總結連續與一致連續的關系與區別，構成知識網絡.

問題8：用類似于定義2的表述方式給函數在區間連續下定義，從對比的角度深入理解兩個概念.

定義4 設函數f（x）在區間I上有定義.任取x0∈I，若對任意的ε>0，總存在δ（ε，x0）>0，使得當|x-x0|<δ時，有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱函數f（x）在區間I上連續.

（1）函數一致連續性是一個整體概念，而連續性是局部概念.

（2）函數一致連續性可推出函數連續，但函數連續不一定一致連續，因此一致連續性是更強的概念.

（3）兩個概念的本質區別在于δ，一致連續定義中存在的δ與x∈I的選取無關，是公共的，而連續性概念中的δ與所選取的x∈I有關.也就說如果能找到公共的δ，則連續性進一步轉化為一致連續性.

根據APOS理論，在圖式階段中，學生需要建構新概念與已有概念之間的聯系.在此階段，學生對連續性與一致連續性進行聯系與比較，而學生之前已經將連續性與函數極限等概念形成了聯系，進而對概念又有了進一步深入的理解，并構成圖式，為后續新概念的學習作好準備.

從認知心理學的角度出發，APOS理論揭示了學習者主動建構數學概念的過程，展示了學生理解數學概念的認知發展階段，因而本文運用APOS理論對函數一致連續性概念進行教學設計分析，借此幫助學生學習復雜的或抽象的數學概念，弱化學生在學習理解過程中遇到的思維障礙點，進而讓教師可以更具針對性地進行教學.

【參考文獻】[1]彭艷芳.關于函數“一致連續性”的教學探究[J].黃岡師范學院學報，2017（6）：65-67.

[2]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]Ed Dubinsky，Kirk Weller，Michael A .Mcdonald，Anne Brown.Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity： An Apos-Based Analysis： Part 1[J].Educational Studies in Mathematics，2005（3）：335-359.

[4]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5]王玉磊，李彩娟，付宗魁，李金偉.對函數一致連續性教學的探討[J].數學學習與研究，2018（24）：5.

[6]吳華，周鳴.GeoGebra環境下基于APOS理論的數學概念教學研究：以導數概念為例[J].數學教育學報，2013（02）：87-90.