抽象概念教學要重視探究概念的生成過程

韋愷華

【摘要】新課標提出抽象概念的教學要關注概念的實際背景與形成過程.基于觀察、實踐、探索、思考、歸納等數學探究活動的開展，不僅能幫助學生理清概念的來龍去脈，還能使學生在探究過程中積累發現問題、研究問題的經驗，從而感悟數學思想方法.

【關鍵詞】無理數;逼近思想;數學探究活動

數學概念刻畫客觀事物的本質特征，很多教師在數學概念的教學中直接給出概念的定義，讓學生記住定義，再花大量時間對定義進行應用.這樣的教學忽視了對概念生成過程的探究，學生機械地憑記憶接受這些知識，全然不知其中蘊含的數學知識的發生過程，更難以體會到數學本身的價值，這對學生今后的數學學習以及思維能力的發展會產生不利的影響.下面筆者以蘇科版七年級上冊“有理數與無理數”中無理數概念的教學片段為例，闡述如何在抽象概念教學中開展一系列的探究活動，從而培養學生解決問題的能力.

一、課前思考：教學內容前置及原因分析

1.考慮學生的認知能力

學生在學習的過程中對數的認識不斷更新.小學階段他們已經接觸到正數和負數的概念，知道整數包括正整數、0、負整數，分數包括正分數、負分數，且只需要在整數集合中添加“分數”就得到了“有理數”.事實上，采用這種描述外延的方式來定義有理數并不能真正揭示有理數的本質特征，而且沒有明顯的思維提升.其實，所有整數都可以寫成分母是1的分數，因此，可以定義有理數是一切能寫成分數形式m[]n（m，n是整數，且n≠0）的數.這樣根據概念的本質來定義有理數，體現了知識在深度方面的提升，突出了初中數學知識與小學數學知識在思維上的不同，能加深學生對有理數本質的理解，同時為定義無理數做下鋪墊，提供了方便.

2.考慮知識之間的關聯

數學本質上是一個整體，不同知識之間存在著不可忽視的聯系.教材在七年級下冊安排了解一元一次不等式的內容，如不等式x+1>4的解集是x>3，對應在數軸上：3的位置是一個空心圈，與“3”對應的點右邊的所有點表示的數都是這個不等式的解集.如果學生這時提出問題：“3”右邊的數都是有理數嗎？答案顯然是否定的.我們知道數軸上的點對應的也可能是無理數，“3”右邊的數可能是有理數，也可能是無理數.若不將無理數概念的教學前置，就無法回答學生提出的問題.

從上述兩個方面分析，不難看出無理數概念的前置對學生初中階段的數學學習是非常必要的.

二、拋出問題

在學習了有理數的定義“能夠寫成分數形式m[]n（m，n是整數，且n≠0）的數稱為有理數”后，我們通過計算、探究發現：有限小數和循環小數都可以轉化為分數，它們都是有理數.教師可以設置這樣的問題——“是不是生活中遇到的所有數都是有理數呢”“有沒有除了有理數以外的數呢”，激發學生強烈的好奇心，增強他們對新知識的探索欲望.

三、探究無理數概念的生成過程

在實際教學中，學生能舉出π、0.3142537…等數，并有人通過運算發現這些數都不能轉化成分數形式，因此它們不是有理數.學生在這一過程中積極思考，不斷論證，充分鍛煉了數學思維.那么，這些數到底是什么數呢？生活中有這樣的數嗎？教師進一步追問，引發學生積極投入思考.

【實踐】拼圖游戲：請同學們拿出準備好的兩個邊長為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿圖中虛線剪開，設法重新拼成一個大正方形.大家動手試一試，并請一名同學把自己拼的圖在黑板上展示出來.

問題：這個大正方形的面積是多少？為什么？

說明：通過拼圖活動，學生可以感受無理數產生的實際背景及其存在的合理性，培養動手操作能力和合作精神.通過直觀的展示及對“問題”的探究，學生培養“數學地思考問題”的習慣.對于這個問題，學生能很輕易地解決，這也會讓他們對接下來的問題探究充滿信心.

【探索】如果大正方形的邊長為a，那么a2=2，你知道邊長a是多少嗎？

問題1：a是整數嗎？為什么？

問題2：a是分數嗎？為什么？

問題3：a是有理數嗎？

說明：在實際教學中，學生通過思考、交流無法說出a具體是多少，探索活動旨在讓學生認識到現實生活中確實存在他們不了解的數，發現“有理數”并不能滿足實際生活的需要.對于問題1，學生能做出解答：因為12=1，22=4，所以1

【思考】根據探索活動，我們知道a不是整數，也不能化為分數的形式，說明a不是有理數，那么a到底是怎樣的一個數呢？它到底有多大呢？

說明：簡單的提問引發學生更深層次的思考.在實際教學中，教師要鼓勵學生尋求不同的方法來探索，從而更加深入地理解無理數概念.教師引導學生進行估值，嘗試通過小數運算對a進行定量研究：1.5×1.5=2.25，1.4×1.4=1.96，采用逼近的方法，得1.4

可見，a是一個無限小數，它總是介于兩個有限小數之間，但永遠找不到一個有限小數等于a.在這個經歷數的擴充的過程中，學生不僅能感受數學的逼近思想，還可以體會“無限”的過程，發展自身的數感.

【歸納】前面提到的π是小學階段學過的圓周率，它的值是3.141592653589….

問題1：請你說說a的值與π的值有哪些共同點，并歸納出無理數的概念.

問題2：你能寫出幾個也具有這些特點的數嗎？

問題3：π[]4是無理數嗎？為什么？

說明：問題1旨在讓學生自己在探索活動的基礎上歸納總結出無理數的特點“都是無限小數，且小數點后的排列無‘循環規律”，從而揭示出無理數的本質屬性：無限不循環小數叫作無理數.這里將無理數概念的提出安排在對a進行定量分析后，有助于學生理解和記憶無理數的概念.而問題2則是考查學生對無理數概念的掌握情況，學生可以構造出像0.1010010001…、-0.1010010001…這樣的無理數.教師在實際教學中應鼓勵學生發散思維，對寫出的答案進行同伴互查.問題3是實際教學中錯誤率很高的一道題目，學生直接觀察其外在形式得出結論“這是有理數”，而忽視了有理數概念中提出的分數形式中分子、分母需是整數的要求.設置該問題是希望幫助學生認清有理數和無理數概念的本質區別，能正確識別并判斷某些數是否為無理數，訓練學生的思維判斷能力.此題也讓很多學生明白了這樣一個道理：學習不能浮于表面，要透過現象看本質.

【閱讀】閱讀材料，了解“無理數”的發展史.

說明：教師通過講述“無理數”的發展史，讓學生了解發現無理數的曲折過程，初步了解通過數學家的不斷努力，無理數的家族實際上要比有理數的家族龐大得多，逐步消除學生頭腦中“無理數很少”的感覺，從而讓學生體會到數學美在我們的生活中無處不在.

四、傳統的無理數概念呈現方式

一般來說，講無理數就需要講平方根.下面筆者以上述問題中所研究的大正方形的邊長a為例，簡要說說如何利用反證法證明a是無理數.

假設 a是有理數，則它可以寫成最簡分數p[]q（p，q是整數，p與q互質）的形式，于是2=a2=p2[]q2，即p2=2q2，由于2q2是偶數，所以p也是偶數，不妨設p=2x，可得4x2=2q2，即q2=2x2，而2x2是偶數，所以q應是偶數，這樣p，q都是偶數了，它們的公約數是2，與p，q互質矛盾.由此可見，a不是有理數，而是無理數，人們通常將它記為2.

說明：這里采用反證法對2是無理數進行了嚴格證明，可以閱讀材料的方式供有興趣的學生閱讀，讓部分學生初步感悟反證法的思想.

結 語

a2=2中的a是實實在在存在的數.上述對a的探究，從判斷其存在性入手，到對其定性分析，再到定量分析，最終歸納總結出 a具有的屬性.這種安排體現了數學學習和研究的方法，即在數的發展中，面對新的數時我們通常會提出如下疑問：它存在嗎？它會是我們原先認識的數嗎？它具體會是多少呢？這種數學的研究方式是推進數學不斷發展的原動力，教師日常要將這種方法滲透于教學的全過程.

上面的整個探究過程充分考慮了學生的實際認知水平，巧妙地借助圖形直觀，通過實踐、探索、思考、歸納讓學生感受 a不能化為分數的形式，揭示了無理數的客觀存在及其本質屬性——無限不循環小數.不難看出，這比借助平方根抽象的數學運算要直觀得多.“實踐”中培養了學生的動手能力，“探索”中訓練了學生的理性思維，“思考”中滲透了逼近思想，“歸納”中提升了學生的概括能力，“閱讀”中豐富了學生的數學文化.這樣的設計不僅能幫助學生掌握無理數的概念，同時能讓學生在觀察、比較、思考、論證的一系列思維過程中感悟數學知識，為今后進一步學習數集的擴張打下基礎，培養了學生思維的有序性.

數學概念的教學不應該停留在簡單地讓學生去識記、讓學生利用概念去解決一些實際問題的層面，而應該在教學中引導學生探究這些概念的本質，激勵他們積極參與教學活動，體驗概念的生成過程，從而真正理解概念，正確地應用概念.同時，教師要在概念的教學過程中激發學生的探究欲望，引導學生認識到學習數學的意義，學會“數學地思考問題”，形成解決數學問題的方法和能力，提高學生學習數學的熱情.學校的數學教育不單單是傳授數學知識，更重要的是對學生思維的能力進行培養.教師在課堂上引導學生經歷動手實踐、猜想、探究、驗證、運用等完整的學習過程，不僅能培養學生對數學的興趣，也能培養他們的合作與鉆研精神，為他們今后的學習打下堅實的基礎.

【參考文獻】[1]萬榮慶.僅僅讓學生記住這些 “規定” 就夠了嗎？——對 “規定a0=1（a≠0）” 的教學設計與思考[J].中學數學教學參考（中旬），2010（08）：2-3.