定積分的概念及其應(yīng)用

胡林

【摘要】隨著科學(xué)的進(jìn)步和文化的普及，學(xué)習(xí)方法成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要元素之一.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，學(xué)習(xí)方法尤為重要.而定積分是常用的一種解決問題的方法，則探究定積分解決問題的思路成為必須.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);分割;定積分

定積分是微積分學(xué)里很重要的內(nèi)容，它不僅在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用，而且在物理學(xué)中也有很多應(yīng)用.那么，定積分的概念以及其應(yīng)用有怎樣的聯(lián)系呢？定積分的定義表達(dá)式怎樣向積分表達(dá)式進(jìn)行切換呢？

一、定積分概念的產(chǎn)生

由上可知，我們通過特殊的分割方法，運(yùn)用分割、求積、求和、求極限可以求出圖形的面積.很顯然，分割的方式以及取點(diǎn)的方式還有很多，計(jì)算還會(huì)更加復(fù)雜，那么，這樣的一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程可以有代替的方法嗎？

我們通過驗(yàn)證，可以找到這樣的方法，就是牛頓-萊布尼茨公式.我們可以對(duì)前面的問題的計(jì)算表達(dá)式設(shè)定新的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式∫10exdx，該表達(dá)式稱為定積分表達(dá)式，這樣就有了定積分的概念.

那么，定積分概念中的元素怎么與定積分表達(dá)式中的元素建立聯(lián)系呢？用定積分思維解決的問題怎樣用定積分表達(dá)式表示呢？

我認(rèn)為可以有如下步驟：

定積分表達(dá)式建立可以分為三個(gè)步驟：

1.確定積分變量

在定積分定義思維中，第一步是分割，那么，分割的對(duì)象就是積分變量.

2.確定積分上、下限

上、下限由積分變量所在的區(qū)間確定.

3.確定被積函數(shù)

在積分表達(dá)式中，被積表達(dá)式=被積函數(shù)×d積分變量.

則前面的問題可寫成：平面圖形的面積=∫10exdx=ex10=e-1.

二、定積分的應(yīng)用

下面，我們通過案例來體會(huì)一下上面的建立定積分表達(dá)式的三個(gè)步驟：

2.1 定積分在幾何上的應(yīng)用

2.1.1 用定積分求平面圖形的面積

綜上可知，利用數(shù)學(xué)思維解決問題的過程是從分析到解決的過程，這個(gè)過程在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中，更多的是以模型的方式出現(xiàn)，即數(shù)學(xué)思維模式化.因而，當(dāng)理解了解決某種類型問題解決的數(shù)學(xué)思想以后，我們?nèi)绻芤杂洃浀姆绞絹斫鉀Q問題，就可以提高解決問題的效率.以上，就是通過案例以及思維步驟來體會(huì)定積分模式化思維的應(yīng)用.

三、定積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的現(xiàn)狀及存在的問題

3.1 定積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的現(xiàn)狀

定積分的微元思想在實(shí)際應(yīng)用中，可以求平面圖形的面積、求立體幾何的體積、求曲線的弧長(zhǎng).《高等數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)分析》教材中都有該部分內(nèi)容.

3.2 定積分存在的問題

在很多教材中，對(duì)于定積分表達(dá)式的建立，給出的思維步驟過于抽象，學(xué)生不能在問題解決的過程中寫出正確的定積分表達(dá)式，這是很多數(shù)學(xué)內(nèi)容構(gòu)建方面存在的問題.對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思維已很復(fù)雜和抽象，再去理解數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)的思維就更難了.

四、定積分的發(fā)展趨勢(shì)

4.1 教材內(nèi)容語言表達(dá)方式

定積分的微元思想在具體問題中呈現(xiàn)時(shí)，應(yīng)在實(shí)例表達(dá)中明確以下幾點(diǎn)：

1.指出微元是誰.

2.指出微元計(jì)算公式是什么.

3.指出怎么求微元計(jì)算公式中的成員.

4.2 教材內(nèi)容呈現(xiàn)的方式

將實(shí)際問題作為案例來呈現(xiàn)，使內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而不是空中樓閣.

4.3 教師的教學(xué)語言改革

數(shù)學(xué)教師都是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言訓(xùn)練中成長(zhǎng)的，在教學(xué)過程中，也常用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行教學(xué)，而對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，這種語言就像天書，云里霧里，難以理解.故在教學(xué)中，教師應(yīng)將語言形象化、語言邏輯化，以貼近學(xué)生的語言進(jìn)行教學(xué)，例如：微元是長(zhǎng)方形，微元計(jì)算是長(zhǎng)×寬，若分割x，則寬為dx，長(zhǎng)為上面曲線的縱坐標(biāo)-下面曲線的縱坐標(biāo)，標(biāo)記為y上-y下.語言是人類交流的方式，教師與學(xué)生交流時(shí)，理所當(dāng)然要以學(xué)生語言形式進(jìn)行教學(xué)，并在此基礎(chǔ)上，再將語言數(shù)學(xué)化.

【參考文獻(xiàn)】[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002.