基于MATLAB和TOPSIS法的齒輪齒條轉向器的參數優化＊

曹飛紅，趙海軍，朱威沖

（1.碧桂園控股有限公司廣東皓耘科技有限公司，廣東 佛山 528311；2.天津職業技術師范大學汽車與交通學院，天津 300222）

1 前言

轉向系統是用來保持或者改變汽車行駛方向的機構，在汽車轉向行駛時，保證各轉向輪之間有協調的轉角關系，機械轉向系依靠駕駛員的手力轉動轉向盤，經轉向器和轉向傳動機構使轉向輪偏轉。有些汽車還裝有防傷機構和轉向減振器[1]。齒輪齒條式轉向器由轉向軸做成一體的轉向齒輪和常與轉向橫拉桿做成一體的齒條組成。與其他形式的轉向器相比，齒輪齒條轉向器最主要的優點：結構簡單、緊湊；殼體一般采用鋁合金或鎂合金壓鑄而成，轉向器的質量比較小，傳動效率高達90%。齒條背部靠近小齒輪處還有調節彈簧，可自動消除齒間間隙，還可以提高系統剛度，減小工作時的沖擊和噪聲[2]。許多工程技術人員進行了齒輪齒條式轉向器的優化，劉向麗進行了齒輪齒條式轉向器的 CAD建模，并進行了CAE分析[3]，張瑛進行了轉向機最大齒條力的分析與優化[4]。即使到目前普遍采用電動助力轉向系統，齒輪齒條式轉向器在轉向系統教學演示、現場培訓及后市場服務中仍發揮重要作用[5][6]。本文首先建立齒輪齒條式轉向器結構、使用條件、受力等參數關系，然后介紹TOPSIS法的原理，最后以工程案例進行詳細的齒輪齒條轉向器的具體參數。

2 理論基礎

2.1 參數關系

轉向器的設計，需要求出作用在方向盤上的手力Fh、轉向器的傳動比iw、轉向器力傳動比ip、轉向阻力矩MR、轉向阻力Fw、轉向盤轉動的圈數n、主銷偏移距a、內、外轉向偏轉角β、α，以及最小轉彎半徑R等。

轉彎半徑R與轉向輪的內、外偏轉角之間存在以下關系式（1）。

最小轉彎半徑在2L＜R＜2.5L之間。主銷偏移距a不能選得太大，亦不能選得太小，初定范圍為45≤a≤55。

轉彎半徑與外轉角的關系式如下（2）。

由內外偏轉角與最小轉彎半徑的理想關系式（1）可得到內轉角β與最小轉彎半徑之間的計算如公式（3）。

首先通過最小轉彎半徑在2L到2.5L之間，步長為10作為一個大循環，其次通過主銷偏移距a在45到55這個范圍內做一個嵌套循環，主銷偏移距的步長為 1，尋找同時滿足（2）、（3）關系式，且符合α＜β的條件下的最小轉彎半徑R、主線偏移距a，如果滿足以上的條件就輸出α、β、a、R。

初步計算出了最小轉彎半徑R、主銷偏移距a、最大外轉角α、最大內轉角β，最小轉彎半徑R、主銷偏移距a、最大外轉角α、最大內轉角β可作為下一步求解作用在方向盤上的手力Fh、轉向器的傳動比iω等數據的已知條件。

1）計算轉向系統的轉向阻力矩MR如公式（4）。

取胎壓p=0.2Mpa，胎與路面間的滑動摩擦因素f=0.7，G1=0.3G，貨車滿載時的前軸轉向軸負荷一般取汽車滿載系數的0.3。

計算轉向系統的阻力Fw如公式（5）。

2）計算轉向器的傳動比iω如公式（6）。

計算作用在方向盤的手力Fh如公式（7）。

2.2 TOPSIS算法基礎

TOPSIS是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根據有限個評價對象與理想化目標的接近程度進行排序的方法，是在現有的對象中進行相對優劣的評價。TOPSIS法是一種逼近于理想解的排序法，該方法只要求各效用函數具有單調遞增或遞減性就行。TOPSIS法是多目標決策分析中一種常用的有效方法，又稱為優劣解距離法。通過計算結果可知，滿足條件的數據有很多組，沒法確定哪一組是同時滿足轉向輕便性和轉向靈敏性、機動性最好的一組數據，故需要用到TOPSIS法對上述數據進行排列，找到一組最優的數據，即在綜合情況下，轉向系統的輕便性、靈敏性、轉彎的機動性最好的一組數據。計算的方法步驟如下所示。

1）用向量規劃的方法求得規范決策矩

設多屬性決策問題的決策矩陣A-（aij）m×n，規范決策矩陣B-（bij）m×n，計算公式如下如公式（8）。

構造加權規范矩陣C-（cij）m×n，設由決策人給定的權重向量設為w=[w1，w2，…wn]T則cij=wj.bij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）。

2）確定正理想解C*和負理想解C0

設正理想解C*的第j個屬性值為Cj*，負理想解C0的第j個屬性值為Cj0，則正理想解

負理想解

計算各方案到正理想解C*與負理想解C0的距離

備選方案di到正理想的解的距離如公式（9）。

備選方案di到負理想的解的距離如公式（10）。

3）計算各方案的排序指標值

3 案例計算

某微型卡車軸距L=3300mm，輪距B=1400mm，滿載時的重量G=3t，胎壓p=0.2Mpa，轉彎半徑為2L＜R＜2.5L，主銷偏移距為 40mm≤a≤60mm，作用在方向盤上最大的手力Fh＜200N，卡車轉向盤從中間位置轉動每一端圈數小于3圈，即0＜n＜6。

通過Matlab把上述的式子編成程序，程序如下所示[7]：

clc

clear

data=load("C:UsersdellDesktopjisuanshujushujuyi.txt")；%導入數據

A1=data(:,3)； %內輪轉角

A=data(:,2)； %外輪轉角

B=A1+A； %求內外輪轉角之和

a=data(:,1)； %主銷偏移距

G=0.3*3000*10； %計算滿載時的前軸負荷

P=0.2； %輪胎氣壓

D=425； %方向盤的直徑

t=0.97； %傳動效率

MR=(0.7/3)*sqrt((G^3)/P)； %計算原地轉向阻力矩

Fw=MR./a； %計算輪胎上的阻力

A2=cosd(A1)；

for n=4.2:0.1:5.2

iw=(n*360)./B,%轉向盤的圈數從4.2到5.2變化計算轉向器的角傳動比

Fh=（2*MR）./（D*iw*t），%轉向盤的圈數從4.2到5.2變化計算作用在方向盤上的手力

在計算作用在方向盤上的手力Fh、轉系器的傳動比iω時，由于轉向盤的最大轉動圈數無法確定，故在編程的時候，以轉向盤轉動的圈數作為一個for循環，轉向盤最大轉動圈數n設定的值從4.2變化到5.2，步長為0.1，再通過把內、外偏轉角內、外偏轉角數據帶入進去計算，最后算得作用在轉向盤上的手力Fh、轉向器的傳動比iω、轉向盤的最大轉動圈數n等。

通過Matlab編程，把計算得到最小轉彎半徑R、轉向器的傳動iω、作用在方向盤手力Fh進行數據標準化處理，即進行向量歸一化。

把初始值歸一化處理后，最小轉彎半徑R、轉向器的傳動比iω、作用在方向盤的手力Fh的權重按 0.1、0.45、0.45的比例選取，即主要考慮轉向系統的輕便性與靈敏性，其次再考慮到汽車的轉彎機動性。計算結果通過排序，得出最優結果如表1所示。

表1 轉向系統主要參數

由表1可知，最終的最小轉彎半徑是6910mm、主銷偏移距為 50mm、最大外轉角為 28.75°、對應的內偏轉角為33.72°、轉向盤最多轉動的是4.8圈，符合貨車轉向盤轉動最大圈數小于6的設計要求。轉向器的傳動比是27.66，符合轉向器傳動比大于23小于32的設計要求。作用在方向盤的手力為78.14N，符合作用在方向盤的最大手力不超過128N的設計要求。汽車的轉向阻力為8909.55N，轉向系統的力傳動比為228.05。

4 結論

通過Matlab編程，運用TOPSIS法評價，在主要考慮汽車轉向輕便性與轉向靈敏性的大條件下和兼顧轉彎機動性的情況作用下，作用在方向盤上的手力、轉向器的傳動比、最小轉彎半徑的權重按0.45、0.45、0.1的比例選取，通過具體案例確定了齒輪齒條轉向器角傳動比、最小轉彎半徑、主銷偏移距、外輪轉角、內輪轉角、轉向盤最大轉動圈數、作用在方向盤上的手力。