人工智能專業“高等數學AI”課程教學探討
——以安徽工程大學為例

張 玥,鄒 健,張 偉,王傳玉

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

1956年“人工智能”概念于被首次提出。2006年起深度學習技術在語音和圖像識別上的成功表現標志著人工智能已從智能向著智慧快速發展。目前，我國已成為全球擁有數量位居全球第一的人工智能行業專利和第二的人工智能企業。但是我們需清醒地認識到人工智能的總體發展還面臨著人才短缺這一制約其技術發展和應用落地的巨大挑戰。人工智能人才體系存在供需不平衡、頂尖人才缺口大、結構分布不均衡、引進難度高和技術倫理教育偏弱等短板。2017年，我國政府發布《新一代人工智能發展規劃》，將對人工智能的教育提升到戰略層面；2018年，教育部發布了《高等學校人工智能創新行動計劃》，從高等教育領域推動落實人工智能發展；2019年教育部公布了《2018年度普通高等學校本科專業備案和審批結果的通知》，首批35所高校獲批建設“人工智能”新專業，安徽省僅有安徽工程大學獲得“人工智能”新專業建設資格。

人工智能是一門廣泛的交叉和前沿科學，旨在模擬人的意識和思維過程[1]。安徽工程大學在人工智能專業的人才培養目標中強調學生應具有良好的數學基礎、計算機科學和人工智能等的相關知識和技能，具備與其他學科融合及創新應用并解決實際問題的能力。“高等數學”是人工智能專業通識必修數學課之一，是新生入學的第一課。該課程的學習可以使學生受到必要的高等數學教育，對該專業學生科學素養的形成和后期的專業學習至關重要。該校人工智能專業數學教學團隊由省級教學名師王傳玉教授帶隊，在走訪調研和聽取多方專家意見的基礎上，依據《工程認證標準》制定了人工智能專業的“高等數學AI”、“線性代數AI”等數學課程的教學大綱。通過“高等數學AI”課程的一年教學實踐，團隊針對該課程的教學現狀及其存在的問題探討了教學改革的一些具體對策，為人工智能專業后期數學課程教學的順利開展提供參考，豐富了如何培養學生處理在應用人工智能技術時所面對的千變萬化數學問題的能力這一教育問題的解決方法。

1 “高等數學AI”課程教學的現狀

“高等數學”是理工科大學生必修的數學基礎理論課，是人們在從事高新技術及知識創新中必不可少的工具，具有高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛應用性等特點。它的內容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學和社會科學，成為現代文化的重要組成部分。通過該課程的學習，可以幫助學生在掌握較完整的高等數學基本知識的同時，培養抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力、綜合運用能力和數學語言及符號的表達能力。

安徽工程大學人工智能專業的“高等數學AI”課程在教學前已制定了符合該專業培養方案的課程教學目標和課程教學大綱。針對本校學生的實際狀況，選用的教材是中國科學技術大學出版社出版、費為銀教授等編寫的“高等數學”[2]第二版。從師資配備上，選用既有數學專業學歷背景又有從事與統計分析軟件相關的課程教學經歷的教師進行授課。從課程內容上看，由于有了與統計分析軟件相關的課程教學經歷，授課教師依據制定的教學大綱和所選教材，在完成既定章節講授的同時結合專業需要對授課內容進行了嘗試性的調整。從教學手段上，基本還是教師課堂講授為主，課堂組織學生討論比較少，課程內無任何實驗教學環節。考核成績由三方面組成：期末考試的卷面成績占50%，平時成績占30%，月考的卷面成績占20%，月考和期末考試采用統考方式，月考采用機考，平時成績由考勤情況、課堂提問及書面作業三方面綜合獲得。

2 “高等數學AI”課程教學過程中存在的問題

2.1 課程教學目標設置沒有凸顯人工智能專業特色

目前依據各專業對數學要求高低的不同，安徽工程大學分別開設了“高等數學I”、“高等數學II”、“高等數學III”和“高等數學AI”四類高等數學課程。“高等數學III”課程的授課對象是文科類各專業學生(如工商管理、國際經濟與貿易、人力資源、建筑學等)，“高等數學II”課程的授課對象是數學要求較低的工科類專業學生(如服裝設計與工程、應用化學等)，“高等數學I”課程的授課對象是數學要求較高的工科類專業學生(如土木工程、測控技術與儀器、軟件工程等)，“高等數學AI”課程的授課對象僅是人工智能專業的學生。“高等數學AI”課程教學目標定位、教學大綱制定以及教學內容和重難點設計基本延用“高等數學I”的。華為創始人任正非認為“人工智能就是統計學”，這表明人工智能專業對數學的要求應等同于數理專業的高度。此外，人工智能是研究如何利用外部數據使計算機具有與人類似甚至超卓的推理、學習等能力的科學，人工智能不是局限于人腦的邏輯思維，而是借助計算機實現思維的技術應用，因此對“高等數學I”課程的教學若沿用數理專業傳統的以邏輯推演為主的教學是遠遠不夠的。

2.2 課堂講授內容沒有跟上新時代發展的步伐

目前“高等數學AI”課程的課堂講授內容包括函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分、定積分、定積分的應用、向量代數與空間解析幾何、多元函數微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數、微分方程等。教師在制定教學授課計劃時仍然基本沿用傳統的工科高等數學的教學內容框架，局限于基礎性概念的解析、強調各種難度與類型的習題訓練、偏向于解決數學和物理應用問題所運用的數學思想和方法的講解。在應用案例的講解中過于強調邏輯性和理論性，沒有實驗教學環節，沒有及時更新和增加在“新工科”和“大數據”背景下高等數學在各領域中的應用案例，在應用問題的講解中忽視了算法設計思想的滲透和人工智能思想的融入。

2.3 教學手段安常守故，教學方法應用流于表面

在國家將“互聯網+”提升到戰略層面上時，教育的信息化已邁上更加高效的發展階段。然而“高等數學AI”課程的教學仍然采用板書和PPT教學，即授課教師在課堂上通過黑板板書輔助制作的PPT對教學內容進行講解。課堂教學仍以教師講授為主導，學生基本上只是被動地接受所學知識，即使教師在授課時應用了啟發式等教學方法，課堂上還是學生沉默、氣氛沉悶。教師教學的關注點是數學的概念和定理，忽視了學生是否知道所學的數學概念和定理能解決什么問題，也就是學生并不明白學到的知識用在哪兒；教師教學的重點放在定理的證明方法和習題解析，忽視了學生是否掌握運用所學到數學方法怎么解決在大數據和人工智能時代的實際問題，也就是學生對數學建模的認識程度僅局限于較為淺層的表面；教師通過學生的課后作業和提問來為學生解惑，忽視了引導學生認清產生問題的根本到底是什么，也就是學生不能主動地探究自己的知識體系中的惑到底是什么。這些勢必會導致課堂上的師生互動會出現“冷場”的尷尬局面。

2.4 對學生的考核方式不全面，不能真實反映學生的綜合素質

安徽工程大學“高等數學AI”課程的考核方式包括平時成績、月考和期末考試。期末考試仍處于試卷考試的階段，命題范圍由教師制定，命題重點放在對學生基本理論的熟悉和掌握程度的考核，這將導致同學們可以僅憑考前突擊就能取得不錯的期末成績，更令人擔憂的是讀死書的同學也可取得名列前茅的成績。月考是借助智夫子機考平臺完成的。月考的實施從一定程度上端正了學生的學習態度，激發了學生的學習主動性，提升了學生的學習效果。但是，這僅僅加大了學生的刷題量，而對學生專業能力的培養卻收效甚微。平時成績由課堂考勤和作業完成情況組成，學生只要按時上課、認真完成老師布置的作業就可以取得不錯的平時成績。因此，目前采取的這種考核方式僅達到激發學生學習主動性這一目標，至于學生對知識掌握的深度、廣度、靈活運用程度和解決實際問題的能力，尤其是在大數據智能化時代基于大數據分析的數學建模能力都是很難檢測出來的。

3 “高等數學AI”課程教學改革的建議

3.1 精確定位教學目標

結合《工程認證標準》和人工智能專業的特色,“高等數學AI”課程的教學目標應定位于“多元化”的培養[3]，強調對學生的數學知識的深度和廣度以及數學建模思想的培養。南京大學人工智能學院成立時，院長周志華教授就明確了數學對人工智能專業的重要性，人工智能專業對數學的要求堪比數學專業。因此，“高等數學AI”課程要培養學生具有良好的數學基礎和數學素養，要求掌握微積分中的基本概念、基本理論和論證方法以及具備較強的演算能力和綜合運用數學知識的能力。同時，人工智能專業作為熱門的新工科專業，在知識的橫向拓展上要求學生通過本課程的學習能夠了解在大數據人工智能時代數學在人工智能研究領域的計算機視覺和語音識別等領域中的應用；通過講解數學在生物特征識別和語音識別等中的應用案例和進行配套的數學實驗，培養學生數學建模思想和提升學生數學建模的能力。

3.2 依據教學目標設計教學內容

根據“高等數學AI”課程的教學目標，參考數學專業的“數學分析”[4]和工科專業的“高等數學I”，“高等數學AI”課程教學內容設計應注意三點：一是，在不降低學生對數學基礎理論學習要求的同時重視數學概念在近似計算中的應用，尤其是在大數據人工智能時代中的應用背景。在“高等數學I”教學內容的基礎上，要求學生掌握微分、泰勒公式在近似計算中的應用，掌握求方程近似解的牛頓切線法，理解曲率的概念、了解曲率在新工科中的應用，掌握定積分的數值計算，掌握極值問題中最小二乘法，了解含參變量積分、場論初步和流形上微積分學。這些內容的增加一方面幫助學生夯實數學理論基礎，另一方面，通過配合適當的案例，能夠將數學建模的思想很好地融入進去，實現對學生進行有效的數學思維和數學建模訓練。二是，緊貼大數據人工智能時代的科技發展新成果，及時更新教學內容。現如今，大數據和人工智能已被提升到國家戰略層面，無論是相關的理論研究還是在應用場景的產業落地都可以成為課堂教學的鮮活素材，豐富教學內容。因此，授課教師必須改變一本書的教學模式，掌握人工智能技術的最新動態和研究進展，對授課內容的更新跟上科技創新發展的速度。三是，增加一定比例的數學實驗教學。人工智能是一個強應用導向的學科，要求培養的人才不但基礎理論扎實，還要具有解決復雜工程問題的工程思維能力和創新創業能力。在“高等數學AI”課程的教學中插入一定的專題實驗：微分近似計算在運營指標分析中的應用、近似求解代數方程、定積分及其應用、周期信號的傅里葉級數分解等，可以將理論與實踐相結合，降低數學知識的枯燥感，提高數學課堂的吸引力，實現數學建模思想的滲透與建模方法的實戰培訓以及創新意識和創業能力的培養。

3.3 豐富教學方法，打造生動課堂

堅持“學生中心”的教學理念[5]，用與時俱進的教學內容可以吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，但是要讓學生的這份興趣變成奮斗的目標來追求，還需要老師在教學方法上不斷創新。

我們的課堂構建要從封閉性、被動型轉向開放性、主動型。這種開放和主動是要求教師有目的地引導學生積極主動地完成學習任務，更好地提高課堂教學質量。在對于高等數學中關鍵概念的講解，教師可以在課堂教學中利用啟發式教學，使得學生從被動接受知識轉化為主動思考、探索和準確找到自身問題的癥結。

案例：對函數的理解

問題提出：請同學們談談你對函數的認識。

學生的回答：

學生1的答復是函數定義的詳細內容；

學生2的答復是對數函數；

學生3的答復是函數的奇偶性……

教師的回復：同學1從函數的定義談了自己對函數的理解，那么在函數的定義中三要素又是什么？通過三要素可以引出集函數(概率)，隱函數，積分變上限函數，復變函數里的多值函數；同學2談了在基本初等函數中令自己印象最深的函數，教師可以從對數函數的性質，引出求導運算的對數求導法和極大似然估計中的對數似然函數等；對于同學3的回答，教師可以從同學們中學階段學到的函數性質講到導數在討論函數性質方面的應用以及函數的分析性質進而引出高等數學的極限運算這一重要的工具。

顯然不管對知識理解的深度如何，都可以從這一問題的某一方面找到答案，從而起到活躍課堂氣氛的效果。但是，這里有幾點需要注意，一是，問題針對的知識點一定要在本課程中占有舉足輕重的地位。二是，問題的設置一定要便于學生發散思維，可以激發學生從不同角度理解知識點。三是，教師的引導至關重要。學生們的回答往往會慣性地利用高中的知識看待問題，教師要引導和啟發學生多角度審視問題，并從中找到自己的答案，盡管答案可能是局部和片面的。四是，對于學生的回答，教師要會抓住它的可取之處，因勢利導地引出我們需要傳授給學生的知識點，增強學生的自信心，幫助學生全面準確地掌握概念。

我們要改變“一本書的大學”[6]這一教學現狀。課堂教學可以憑借知識講授+案例分析+成果展示的模式融入數學的最新動態和研究成果或者數學在人工智能領域中圖像識別、語音識別等的應用，拓寬學生視野，啟發學生思維；再配套一定比例的實驗教學，讓數學的理論知識不在“晦澀難懂”，使得學生對數學概念的理解更加深刻，解決學生面對應用無從下手、高分低能的教育問題。

案例：從高階偏導到圖像的局部信息

在計算機視覺中，為提高目標識別精度需要從目標圖像中提取刻畫圖像局部信息的特征——高階空間導數和對旋轉、縮放等幾何變換和非線性形變干擾具有很強魯棒性的特征——微分不變量。對于一幅灰度圖像I(x，y)經過高斯濾波后得到其在尺度空間的表示L(x，y)，那么表示L(x，y)的直到二階的空間導數形成目標的形狀特征——2-階5-jet。而拉普拉斯(lap)和Hessen矩陣的行列式(detHess)都是目標的二階微分不變量特征，梯度幅值(mag)是唯一的一階微分不變量。

尺度空間的表示L(x，y)定義為：

L(x，y)=g(x，y；σ)*I(x，y)，(x，y)∈(0，256)×(0，256)，其中高斯核

表示L(x,y)的α+β階空間導數Lxαyβ(x,y;σ)定義為：

Lxαyβ(x,y;σ)=σα+β?xαyβL(x,y;σ),σ>0.

由此得到2-階5-jet：

(Lx(x,y;σ),Ly(x,y;σ),Lxx(x,y;σ),Lxy(x,y;σ),Lyy(x,y;σ).

微分不變量特征：

該案例是在講解高階偏導數概念的基礎上，通過實驗實施和實驗結果展示讓同學們對偏導數的理解不只是停留在理論層面、公式的演繹推理和計算，還有其在自己所從事的專業領域中的應用。這里需要注意的是課下作業一定要配套，要求學生自己動手完成相應的實驗并提交實驗結果。這樣，通過教師課堂講授和課下學生完成作業潛移默化地滲透數學建模模的思想，提高學生的學習興趣和動手能力。

圖1 建筑物圖像的微分特征：2-階5-jet、一階微分不變量和二階微分不變量

3.4 改革考核方式，提高學生綜合素質

對學生的考核不能重分數輕能力。考核內容不僅包括學生對知識的熟悉和掌握程度，還應該涵蓋學生運用知識解決問題的能力和實驗的實踐能力的考察。考核成績可由四方面組成：期末考試的卷面成績占40%，平時成績占25%，月考的卷面成績占10%，實驗考核成績占25%。對學生的考核不能重結果輕過程。目前采取的考核方式，只要學生按時上課、作業成績優等和考前突擊，至于聽課效果如何、作業是否獨立完成和是否真正具備良好的實踐能力，都無法考察。因此在平時成績評定中注重學生的課堂表現和學習態度，要結合學生課堂回答問題和活動參與狀況。對學生的考核不能重統一輕差異。在問題的回答中要鼓勵學生的發散思維，在實驗中要鼓勵學生的創新性，因此在平時成績中課堂表現占15%，學習態度和出勤率各占5%；實驗成績中創新性15%，實驗成果和完整性各占5%。