滑塊碰撞次數(shù)與圓周率π的聯(lián)系

李開瑋

(廣東理工學(xué)院,廣東 肇慶 526100)

圖1 問(wèn)題示意圖

1 問(wèn)題提出

如圖1所示,水平光滑的地面上放置小木塊m,大木塊M,左端是固定的墻壁,初始時(shí)刻m靜止,M以初速度v0向左運(yùn)動(dòng),將與m發(fā)生碰撞,之后m獲得速度向左運(yùn)動(dòng),將與墻壁發(fā)生碰撞反彈,設(shè)所有碰撞均沒(méi)有動(dòng)能損失,求碰撞次數(shù)．

解析:首先分析最簡(jiǎn)單情況,若兩滑塊質(zhì)量相等m=M,則M向左運(yùn)動(dòng)第1次與m碰撞,根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒,大木塊將把速度傳遞給小木塊,而自身靜止,m將以v0向左運(yùn)動(dòng),直至與墻壁第2次碰撞,速度反向向右,大小不變,之后向右運(yùn)動(dòng),與M第3次碰撞,同樣的道理,碰撞后,m停止,M以v0向右運(yùn)動(dòng)．碰撞次數(shù)一共為3.

若M≠m呢,總碰撞次數(shù)將是多少?接下來(lái)利用速度相空間法跟蹤兩滑塊碰撞過(guò)程,求解出碰撞次數(shù)．

2 速度相空間法

當(dāng)兩滑塊質(zhì)量不相等時(shí),設(shè)M/m=k,以水平向右為正方向,設(shè)第n次碰撞后,m與M速度分別為un和vn,初始速度即為0和v0,當(dāng)m與M速度向右,且m速率小于等于M速率時(shí),碰撞結(jié)束,若第n次碰撞為兩滑塊間碰撞,則根據(jù)動(dòng)量守恒、能量守恒有

mun+Mvn=mun-1+Mvn-1，

將兩滑塊碰撞前后速度用矩陣運(yùn)算表示可得

(1)

若第n次碰撞為小滑塊與墻壁間碰撞,則小木塊速度反向,大木塊速度不變,表示成矩陣運(yùn)算為

(2)

利用(1)、(2)迭代運(yùn)算及碰撞結(jié)束時(shí)的限制條件,可以編寫計(jì)算程序,統(tǒng)計(jì)出碰撞次數(shù),作者也編寫了一個(gè)MATLAB程序用于計(jì)算碰撞次數(shù),代碼如圖2所示．計(jì)算結(jié)果如表1所示,通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)碰撞次數(shù)與π的聯(lián)系．

圖2 MATLAB代碼

表1 碰撞次數(shù)隨著k的變化

圖3 速度相空間軌跡示意圖

mu1+Mv1=Mv0=C.

(4)

坐標(biāo)移動(dòng)到B點(diǎn),根據(jù)(4)式有AB斜率為

(5)

第1次碰撞后,m將向左并與墻壁發(fā)生碰撞,速度反向,而M速度不變,因此第2次碰撞后速度坐標(biāo)與B點(diǎn)關(guān)于水平軸對(duì)稱,位于圓上C點(diǎn),之后發(fā)生第3次碰撞為兩滑塊間碰撞,同樣根據(jù)動(dòng)量守恒得到類似(4)的等式

mu3+Mv3=mu2+Mv2=C.

(6)

(7)

由圓的幾何知識(shí):一段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角是圓周角的2倍,可知

(8)

(9)

(10)

3 總結(jié)

本文通過(guò)速度相空間的方法巧妙的求解了碰撞次數(shù),將力學(xué)過(guò)程幾何化,直觀清晰,這也反映了物理與數(shù)學(xué)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)之美．