含變化電動勢電路中電容充放電過程的求解方法

徐地虎

(江蘇省錫山高級中學，江蘇 無錫 214174)

固定電源給電容器充電過程以及能量轉化得到了很好的研究，[1-3]但對于含變化電動勢電路中電容充放電過程,以及處理相關電路的方法暫時沒有很好的總結，在此通過求解含變化電動勢電路中電容充放電過程，并得到相關物理量隨時間的變化關系，最后總結處理這類電路的基本方法.

1 變化電動勢電路中電容器的充電

圖1 變化電動勢電路中電容器的充電示意圖

例1.如圖1所示，兩無限長光滑平行金屬導軌間距為L，質量為m的金屬棒MN垂直跨在導軌上，且與導軌接觸良好，整個裝置處在垂直于紙面向里的勻強磁場中，磁感應強度為B.電容器的電容為C，除電阻R外，導軌和導線的電阻均不計.現給金屬棒MN一個初速度v0，使金屬棒MN向右運動，求極板電量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時間變化，動量p與電荷量Q之間的關系以及電路穩定后的狀態.

分析：初始時金屬棒向右運動產生感應電動勢，回路中有充電電流對電容器充電，兩極板電量增加，極板間電壓增大，同時金屬棒受到安培力而減速，電動勢減小，當金屬棒中產生的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，電路中的電流為0，電路穩定.

解析：以向右方向為正方向，設t時刻金屬棒的速度為v，加速度為a，電路中電流為I，電容器兩端的電荷量為Q，則電容器兩端電壓為

(1)

金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢

E=BLv.

(2)

整個電路中有

IR=E-U.

(3)

利用電流的定義式

(4)

對金屬棒受力分析有

(5)

由(4)、(5)式可得

(6)

對(6)式兩邊積分，t=0時，Q=0，v=v0可得

BLQ=m(v0-v).

(7)

由(7)式可知

p=mv0-BLQ.

(8)

將(1)、(2)、(4)、(7)式代入(3)式，整理可得

(9)

解方程(9)式，代入初始條件t=0，Q=0，有

(10)

將(10)式代入(4)式有

(11)

將(9)式代入(7)式有

(12)

(13)

系統穩定時，即t→，可得

(14)

If=0，

(15)

(16)

af=0.

(17)

通過求解得到了充電過程中Q，I，v，a隨時間t變化以及p隨Q變化關系如圖2所示.

圖2 充電過程中Q，I，v,a隨時間t變化及p隨Q變化圖

在電容器的充電過程中，極板電荷量逐漸增加，充電電流逐漸減小，棒的速度逐漸減小，加速度也逐漸減小，動量逐漸減小且電荷量成線性關系.最終穩定時，極板電荷量不變，棒做勻速直線運動.

2 變化電動勢電路中電容器的放電

圖3 變化電動勢電路中電容器的放電示意圖

例2.如圖3所示，兩無限長光滑平行金屬導軌間距為L，質量為m的金屬棒MN垂直跨在導軌上，且與導軌接觸良好，整個裝置處在垂直于紙面向里的勻強磁場中，磁感應強度為B.電容器的電容為C，除電阻R外，導軌和導線的電阻均不計.初始時電容器極板帶電荷量為Q0，金屬棒MN初速度為0，求極板電荷量Q、電路電流I、棒的速度v和加速度a隨時間變化，動量p與電荷量Q之間的關系以及電路穩定后的狀態.

分析：初始時電容器放電，金屬棒受安培力向右運動，同時金屬棒向右運動產生反向電動勢，回路中電流減小，金屬棒速度增大，加速度減小，當金屬棒中產生的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，電路中的電流為0，電路穩定.

解析：以向右方向為正方向，設t時刻金屬棒的速度為v，加速度為a，動量為p，電流中電流為I，電容器兩端的電荷量為Q，則電容器兩端電壓為

(18)

金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢

E=BLv.

(19)

整個電路中有

IR=U-E.

(20)

電流方向如圖3所示，利用電流的定義式

(21)

對金屬棒受力分析有

(22)

由(21)、(22)式可得

(23)

對(6)式兩邊積分，t=0時，Q=Q0，v=0可得

p=mv=BL(Q0-Q).

(24)

將(18)、(19)、(21)、(24)代入(20)式，整理可得

(25)

解方程式(25)，代入初始條件t=0，Q=Q0，v0=0有

(26)

將(26)代入(21)式有

(27)

電流為負，表示的是電流方向從上自下經過導體棒.

將(26)式代入(24)式有

(28)

(29)

系統穩定時，即t→∞，可得

(30)

If=0,

(31)

(32)

af=0.

(33)

通過求解得到了放電過程中Q，I，v，a隨時間t變化以及p隨Q變化關系如圖4所示.

在電容器的放電過程中，極板電荷量逐漸減少，充電電流逐漸減小，棒的速度逐漸增大，加速度也逐漸減小，動量逐漸增大且與電荷量成線性關系.最終穩定時，極板電荷量不變，棒做勻速直線運動.

圖4 放電過程中Q,I,v，a隨時間t變化及p隨Q變化圖

3 含變化電動勢電路中電容充放電過程的求解方法

以上通過解析法求解含變化電動勢電路中電容充放電過程，得到了物理量隨時間的變化關系，并總結了求解此類問題的基本思路和方法.通過解析得到該類電路中各物理量隨時間的變化關系、有助于對師生深入理解電路中電容器的充放電過程和物體的運動過程，同時為教師在設置相關試題參數時提供了參考.