基于混合變量規劃的雷達最優搜索方法

陶 慶，張勁東，邱旦峰

(南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京 210016)

0 引言

對遠距離目標進行空中防御時，為捕獲目標，雷達需要長時間處于開機狀態，這樣無異于會增加雷達暴露的幾率。為了避免該情況發生，在實際作戰時，一般都是由預警機協同作戰，對空域進行預搜索。在目標達到地面雷達搜索范圍時打開雷達，并根據預警機所提供的引導信息進行小范圍的搜索，以實現目標的快速捕獲[1]。因此，如何有效地利用引導信息來提高相控陣雷達的搜索效率成為了研究的關鍵。

就目前而言，關于相控陣雷達搜索這一研究方向已經有許多研究成果。文獻[2]基于近空高超音速目標防御的背景，根據目標運動狀態確定最短的跨屏距離和最少的雷達掃描次數。對于有預警信息的小范圍引導搜索，文獻[3]分別在單目標和多目標情況下建立目標平均發現時間模型，通過合理地分配波束的照射時間來優化搜索性能。以上研究皆沒有考慮搜索過程中波位照射順序對雷達搜索性能的影響。對此，文獻[4]通過將全局信息增益最大的波位作為下一時刻雷達需要搜索的波位來確定搜索順序，降低虛警概率對雷達搜索效率的影響的同時提高雷達搜索檢測性能，但因其計算量較大導致耗時過多且每個波位駐留時間是均勻分配的。

本文結合以上研究工作，同時對波位的搜索順序以及各波位上雷達的波束駐留時間進行優化，使得雷達搜索效率最大化。將目標平均發現時間作為評判雷達搜索性能的標準，以各個波位的駐留時間為連續變量，結合整數規劃的思想，將搜索順序表示為離散變量，建立搜索資源最優分配模型，并采用拉格朗日乘子法對該混合規劃模型求解。仿真結果表明，本文方法不僅能保證高搜索效率，還能同時得到各波位的最優搜索數據率以及搜索順序。

1 引導信息下的搜索模型

1.1 搜索區域模型

對于協同作戰來說，預警機先進行大空域搜索，發現目標后向雷達提供目標的位置信息，此時相控陣雷達可根據預警機提供的引導信息在小范圍內進行搜索，從而較快地檢測出目標。但是預警機所提供的信息一般都會伴隨著隨機誤差和系統誤差。在此假定引導信息的誤差統計特性已知，假設預警機所提供的目標方位及俯仰向的位置信息為(θEp,θAp)，目標的真實位置信息為(θE0,θA0)，則可得到

(θE0,θA0)=(θEp,θAp)+(εE,εA)

(1)

式中，(εE,εA)表示引導信息的誤差，假設其滿足f(εE,εA)二維聯合分布。通常情況下，引導信息下的搜索區域的確定要遵守一定的原則，即該區域不可過小，搜索區域太小會導致該區域中并無目標，亦不可過大，太大會浪費雷達資源在無目標的區域，導致引導信息失去意義。因此引入目標出現置信度ι，其定義為目標出現在搜索區域Ω中的概率，即[4]

(2)

需要注意的是，搜索區域確定時需要使得方位向與俯仰向的范圍相當，以避免出現其中一個方向范圍過大而另一個方向過小的情況。考慮到置信度法求解搜索區域時計算過于復雜，在此選用置信度法的一個特例，3倍均方差法來簡化求解搜索空域。根據概率論內容，假設變量x以及均方差σ服從高斯分布，則有

P(|x|<3σ)=99.7%

(3)

因此，根據預警信息所給的位置，對方位以及俯仰向前后各取3倍均方差的距離構成一個正方形區域，取該正方形的外接圓作為搜索區域即可保證目標落入此區域的概率足夠大。

1.2 目標出現概率模型

在通過3倍均方差法確定最佳的搜索區域之后，需要根據雷達的波束寬度，在搜索區域內進行合理的編排。由于雷達波束在球面坐標系中存在波束展寬效應[5]，而這一現象在正弦坐標系下不復存在，因此需要進行坐標系轉換，將搜索區域以及雷達波束由雷達球面坐標系轉換成正弦坐標系來進行波位編排。對于雷達球面坐標系中一點(E,A)轉換到正弦坐標系下坐標(α,β)，其轉換公式為

(4)

式中,T為雷達陣面傾角。

為了使波位可以盡可能地覆蓋搜索區域且不會造成因波位重疊而導致的資源浪費。本文選擇交錯波束編排方式來對搜索空域進行編排[6]。假設編排后的總波位數為N，Ωk表示為第k號波位。想要獲得波位的出現概率pk就需要在每個波位范圍內對引導誤差概率密度分布函數f(εE,εA)進行積分，同時忽略波束內部的差別。這樣一來會對目標出現概率的計算帶來一定的誤差，并且計算過程相對復雜。因此本文采取統計方法來計算各波位中目標出現的概率。計算過程如下：

步驟1： 在雷達球面坐標系下，隨機產生Q個服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標。

步驟2： 將Q個目標的坐標轉換到正弦坐標系中，對于編排好的波位，記Qk(k=1,2,…,N)為落在第k號波位內的目標數。

當Q的取值越大，通過上述過程所得到的目標出現概率越接近于真實值。至此即可得到引導信息下的搜索空域確定以及各波位的目標出現概率。波位編排具體流程如圖1所示。

圖1 波位編排流程圖

2 引導信息下雷達最優所搜算法

2.1 目標平均發現時間模型

對于傳統的搜索方式，雷達一般將資源平均分配給每個波位進行照射，這樣就會導致部分資源會浪費在目標出現可能性低的波位中，以至于發現目標所用的時間較長。對此，就需要將資源合理地分配給每一個波位，從而縮短目標被發現的時間。

假設目標出現在第k號波位上，此時可得雷達對目標的平均發現時間[7]為

(5)

式中，tk為雷達在第k號波位上的駐留時間，Tpri為脈沖重復周期，Tr表示搜索幀周期。此時總的平均搜索時間可以表示為

(6)

Pdk表示第k號波位上的檢測概率。假設目標為Swerling Ι型且虛警概率為Pfa，此時Pdk可由下式計算得到：

(7)

式中,SNRk為第k號波位上的回波信噪比。假設雷達發射功率為Pt，根據雷達方程，雷達接收的回波功率可表示為

(8)

(9)

式中，k0為玻耳茲曼常數，B為發射信號的帶寬，FN為雷達接收機噪聲系數，T0為標準室溫。實際情況下，目標一般都會自身攜帶干擾機或者借助支援式干擾機，向雷達施加干擾信號(本文以壓制干擾為例)，嚴重降低雷達接收端SNR，從而干擾雷達對目標的檢測，達到自衛的目的。本文以雷達接收SNR降低程度表示壓制干擾的強度，則可得到對應壓制干擾條件下脈沖積累后的信噪比為

(10)

式中,Jk表示第k號波位受到的干擾強度。

2.2 基于混合變量規劃的雷達最優搜索算法

通過上節所提模型可以求得各個波位的最優駐留時間。但無法確定搜索空域下最優的波位搜索順序。針對該問題，本文借用整數規劃的思想，引入搜索順序變量δk,j=1/0，分別表示第k號波位的搜索次序是否為j，其中k=1,2,…,N,j=1,2,…,N。為了更好地理解，我們隨機定義了一組搜索順序，以N=6為例，如表1所示。

表1 搜索順序變量分配

由表1可知，δ2,1=1可表示雷達對第2號波位第一個進行照射，以此類推可得到其他波位照射順序的表示。并且可以發現表中的每一行有且僅有一個順序變量為1，每一列也有且僅有一個順序變量為1，這就可以分析得到順序變量δk,j的約束條件，即

(11)

(12)

將式(12)代入式(6)來替換其中的Tk，可得到總的包含搜索順序變量的目標平均發現時間：

(13)

綜上所述，雷達搜索順序可由效率矩陣和式(13)共同決定，可得到相控陣雷達最優搜索模型如下：

(14)

式中，δk,j為離散的整數變量,tk為連續變量，η為搜索過程占用總的雷達時間的比例，T_resourse為雷達總的時間資源。對于這種混合變量模型，本文引入NCP函數方法，將0-1離散變量經過轉換變為等價的非光滑方程，進一步使用凝聚函數法對其進行光滑化[9]。再使用連續變量的優化方法對模型進行求解。離散變量δk,j的轉化過程如下：

(15)

(16)

該優化模型共有N2+2N+1個等式約束，在此令C1=Φ1,1，C2=Φ1,2,…,CN2=ΦN,N，CN2+1=u1, …，CN2+N=uN，CN2+N+1=v1，…，CN2+2N=vN，CN2+2N+1=?。即可把約束問題轉化為無約束的增廣拉格朗日乘子法來求解問題，得到增廣拉格朗日函數:

(17)

表2 拉格朗日乘子法求解流程

3 計算機仿真試驗

為了體現本文算法的有效性，本節設計了兩種場景：其一為目標的干擾落在搜索區域內，這種情況下可將區域內各波位受到的干擾強度等效為相等；其二為目標的干擾落在搜索區域外，此時區域內各波位受到的干擾強度由波位與干擾的相對位置決定。在不同的雷達時間資源下針對兩種場景比較本文所提算法與均勻順序搜索方法所得到的平均發現時間。

3.1 仿真參數

本次仿真以某一相控陣雷達為例，雷達的系統參數如表3所示，雷達的陣面傾角T=15°，陣面法線指向的方位角為80°，雷達搜索波束的寬度為3°×3°，雷達的總的時間資源T_resourse=4 s，Tpri=0.001 s，搜索資源比例η=0.5，即總時間資源的一半用來搜索。目標向雷達施加的干擾強度J=16 dB，在此假設兩個場景，場景一為目標施加的干擾處于搜索區域內部，場景二為目標施加的干擾處于搜索區域外部，靠近搜索區域最左側。其分布如圖2所示。兩種場景下預警機向雷達提供的引導信息均為：目標在雷達球坐標系下的位置為(16°,24°)，目標與雷達距離為50 km。引導信息的位置誤差為(εE,εA)，分別為方位向與俯仰向上相互獨立的零均值高斯白噪聲，誤差標準差均為2°。

表3 雷達系統仿真參數

3.2 仿真結果分析

基于以上參數，首先要對搜索區域進行確定，根據3倍均方差法可以確定出目標落入置信度為99.7%的搜索區域，再將該區域轉換到正弦坐標系中，采用常用的交錯編排方式在該區域中進行波位編排并對波位進行編號，結果如圖2所示。隨機產生1 000個服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標并將其轉化到正弦坐標系如圖3所示，通過前文提到的統計法可以求得目標在各個波位上的出現概率,如表4所示。

圖2 搜索區域與波位編排

圖3 隨機目標在各波位的分布

表4 各波位的目標出現概率

根據前面假設的兩種干擾場景，可以通過計算分別得到兩種場景下各個波位所受到的干擾強度，結果如圖4所示。在得到各波位的目標出現概率之后，采用本文所提算法進行優化，分別在兩個場景下計算得到每個波位上的回波信噪比和最佳波束駐留時間以及最優的波束照射順序如圖5、圖6和圖7所示。

圖4 兩種場景下各波位的干擾強度

圖5 兩種場景下兩種方法優化后的SNR

圖6 場景1下的搜索資源分配與搜索順序

圖7 場景2下的搜索資源分配與搜索順序

對上述過程進行500次蒙特卡洛仿真實驗，計算得到場景1下目標的平均發現時間為Topt_1=0.788 2 s，相對而言，通過順序搜索算法計算得到的平均發現時間Tave_1=1.088 5 s，場景2下兩種算法計算得到的平均發現時間結果分別為Tave_2=1.011 5 s，Topt_2=0.701 s，兩種場景下均勻搜索方法均大于最優搜索算法優化所得結果，體現了本文算法的有效性。

由圖5可知，由于場景1中各波位所受干擾強度相同，影響時間資源分配的因素主要為目標出現概率，因此該場景下優化后只有4號波位的SNR大于均勻順序搜索方法得到的SNR。而場景2中由于各波位受到干擾強度不同，各波位分配的時間資源由檢測概率和出現概率共同決定，因此場景2下本文算法優化后大部分波位的SNR都大于均勻搜索方法。

通過對比圖6和圖7可知，場景2下3號波位所分配的時間資源占比相對于場景1有明顯提高，這是由于場景2中干擾位于3號波位左側導致搜索區域內各波位受到干擾強度不均勻，結合圖4可知 3號波位受到的干擾強度相比于其他波位要大，為了對抗干擾，雷達對其所分配的時間資源也相對較多，體現了本文算法可針對不同場景對時間進行動態分配。

為了更好地驗證本文算法所提供的高搜索效率，將針對兩種場景在不同的搜索資源比例下與傳統的順序搜索算法進行對比試驗，結果如圖8和圖9所示。

圖8 場景1下兩種算法平均發現時間比較

圖9 場景2下兩種算法平均發現時間比較

由圖8和圖9可知，相比于傳統順序搜索方法，本文方法在兩個場景中的各個搜索資源比例下所得到的目標平均發現時間更小。此外，隨著搜索資源比例的提高，兩種方法計算得到的目標平均發現時間不斷減小，并且本文算法相對于傳統方法的優化程度也隨之縮小。這也從側面說明在資源受限的情況下，本文所提算法的有效性更高。對比圖8和圖9可知，場景2下兩種方法所得到的平均發現時間要小于場景1，這是因為干擾位于搜索區域外，導致各波位的干擾強度要小于場景1中的情況。且在搜索資源比例較低的情況下，場景2中本文算法相較于均勻順序搜索算法，優化效果比場景1要好。證明了本文算法對場景的變化具有較好的適應性。

4 結束語

本文針對預警機引導信息下相控陣雷達快速搜索問題，首先根據引導信息確定搜索區域以及波位編排，其次計算各個波位的目標出現概率，最后以目標平均發現時間為標準，提出了基于混合變量規劃的雷達最優搜索方法，該方法同時對各波位的波束駐留時間以及照射順序進行優化。仿真結果表明，本文方法可以快速地搜索到目標并且可得到各波位最佳駐留時間以及最優搜索順序。證明了該方案具有有效性的同時，還體現出其對場景變化具有一定的適應性。