基于Kriging-RSM框架結構整體承載能力抗震可靠度分析*

狄生奎， 張 寶， 王立憲

(蘭州理工大學 a. 甘肅省土木工程防災減災重點實驗室， b. 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心， 蘭州 730050)

現階段，結構可靠度的研究主要還停留在構件層次上，由于結構體系可靠度更能真實反映結構可靠性，應對結構體系可靠度進行研究.但結構體系可靠度求解仍存在結構失效模式難以識別和失效模式間相關性難以處理等問題[1-3]，對其求解具有較難的操作性.因此，開展關于結構體系可靠度近似計算方法的研究具有重要意義.

結構整體可靠度是應用結構整體極限狀態方程近似計算得到的，但結構整體極限狀態方程通常是非線性的，甚至是高度隱式的，這就造成了一次二階矩法等傳統顯式計算方法不能直接用于計算.由于地震作用的隨機性和復雜性以及抗震設計的重要性，結構整體抗震可靠度一直是結構整體可靠度的研究重點，眾多專家學者對此開展了大量研究，可以大致將計算結構整體抗震可靠度的研究方法分為兩類：1)應用傳統響應面法[4]和蒙特卡洛法[5]計算結構整體抗震可靠度；2)應用隨機Pushover分析法[6]獲取結構整體極限狀態方程中隱式因素的前二階統計信息，再結合矩法、改進的廣義一次可靠度方法和改進的高階矩法對鋼筋混凝土框架結構整體抗震可靠度進行計算分析[7].上述計算方法均將有限元分析與可靠度理論有效地結合在一起，深入系統研究結構抗震整體可靠度，并獲得大量實用的研究成果，但同時存在計算過程過于復雜、效率不高等問題.本文將Kriging與RSM結合提出一種計算簡單、效率高的計算結構整體抗震可靠度新方法.

本文應用Kriging-RSM算法對結構整體承載能力極限狀態下的鋼筋混凝土框架結構整體抗震可靠度進行計算分析.根據所選取的樣本點，建立鋼筋混凝土框架結構有限元模型，進行非線性推覆分析選取結構基底剪力，應用Kriging-RSM算法計算承載能力極限狀態下的鋼筋混凝土框架結構整體可靠度.

1 結構整體承載能力極限狀態方程

將結構極限基底剪力VS作為結構整體抗震承載能力，并將結構底部的水平地震作用FE作為結構整體地震作用需求，建立結構整體承載能力極限狀態方程，即

Z=g(VS，FE)=VS-FE

(1)

式中，VS和FE均為隨機變量.

1.1 極限基底剪力

結構極限基底剪力VS與結構構件的極限承載力、材料本構關系、結構各構件的相關性、抗力與荷載間的相關性、荷載路徑、結構型式等因素有關.一般將結構極限基底剪力VS用一組影響因素隨機向量X=[X1，X2，…，Xn]T來表示，即

VS=h(X)=h(X1，X2，…，Xn)

(2)

對于結構基底剪力的數值模擬存在以下問題：1)高度非線性.結構極限基底剪力VS與眾多不確定因素有關，尤其在結構進入非線性破壞階段，VS將會更加復雜，非線性程度更高.2)隱式函數.由于結構極限基底剪力VS高度復雜性導致其多半是一個隱式函數.

1.2 地震作用概率模型與統計分析

地震作用FE可利用單自由度振動反應譜表示為等效靜力隨機模型[8]，其表達式為

(3)

式中：G為結構的等效總重力荷載；D為附加隨機因子；α為地震影響系數；Am為最大地面加速度；g為重力加速度；β(T，ξ)為動力放大系數.

文獻[8]表明，確定烈度的隨機地震作用FE服從極值I型分布，其表達式為

FE=(f|I=J)=exp{-exp[-ν(f-u)]}

(4)

式中：f為概率密度函數；J為烈度；ν和u為分布參數，其表達式為

(5)

其中，μJ和δJ分別為第J烈度隨機地震作用的平均值和變異系數.

2 Kriging-RSM算法建立

2.1 Kriging模型

Kriging模型是由回歸計算模型和非參數模型隨機過程聯合組成.相比于其他模擬工具，Kriging模型是一種更具有“統計性”的數值模型，比單個參數化模型具有更強的預測能力與精度，這使得Kriging模型所模擬結果的有效性不依賴于隨機誤差的存在，即已知信息中是否包含噪聲信息不會影響Kriging模擬結果的有效性程度.隨機過程z(x)的協方差數學表達式為

E[z(x)z(w)]=σ2R(θ，ω，x)

(6)

式中：σ2為過程方差；R(θ，ω，x)為樣本點ω與x之間的空間相關函數；θ為高斯相關函數的關鍵參數.通過優化θ能夠調節樣本點之間的相關性，對Kriging數值模型的模擬精度有著至關重要的作用.

利用己知樣本響應值Y的線性組合模擬任意給定樣本的響應值，為了保證擬合的無偏性，即真實值與模擬值差值的均值必須為零.因此，依據拉格朗日方程并由最小二乘法可以得出Kriging模型多項式參數與方差的似然最大估計表達式，進而得到Kriging預測模型，即

(7)

式中：r(x)為樣本點之間空間相關函數；β*為多項式參數；γ*可以通過方程Rγ*=Y-Fβ*求取，F為樣本點設計函數，R為樣本點之間空間相關函數.

由于Kriging模型多項式參數β*和方差估計值σ2均與相關函數R(θ，ω，x)中的參數θ有關，因此，參數θ對Kriging模型的模擬有著重要影響.為了尋找θ的最優解可以通過似然最大估計法，使對數似然函數取得最大問題轉化為最小優化問題，即

(8)

本文采用的優化算法是DACE(design and analysis of computer experiments)工具中自帶的優化算法(模式搜索法)，所選用的相關函數為高斯函數.

2.2 響應面法

RSM主要用于解決未知極限狀態函數的可靠度求解問題，其原理是利用多項式函數模擬真實未知的極限狀態函數，將對未知極限狀態函數求解轉化為對顯式多項式極限狀態函數求解.采用不含交叉項的二次多項式表示目標極限狀態函數，即

(9)

式中：x1，x2，…，xn為輸入值；a，b1，b2，…，bn，c1，c2，…，cn為待定系數，總共為2n+1個參數.采用式(9)模擬目標極限狀態函數時，工作量小，且具有收斂快、穩定性好和精度高的優點.

RSM在可靠度問題求解中，一般采用式(10)對樣本點進行取值，即

xi=μxi±λσxi

(10)

式中：xi為設計樣本點；μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值與方差.參數λ的取值將直接影響RSM的收斂性、計算精度和效率.若λ取值過大則使得樣本點的取值范圍過大，失效點有較高概率落于計算取值范圍之內，但RSM模擬效果將會較差；若取值過小則使得樣本點的取值范圍過小，失效點不在計算取值范圍之內的概率較大.

本文應用RSM計算可靠度時，為了保證其具有較高的精確度，將驗算點重新作為樣本點進行多次迭代計算.因此，選取參數λ的值為2，這樣既可以保證失效點具有較高的概率落在樣本點的取值范圍之內，又保證了RSM具有良好的模擬效果.

2.3 Kriging-RSM算法

Kriging模型雖然可以精確有效地模擬隱式函數，但Kriging模型并不能提供所模擬函數的顯式表達式.因此，Kriging模型往往不能直接用于工程結構可靠度的求解，很難利用一次二階矩法等需要顯式方程的可靠度計算方法求解結構可靠度.本文利用Kriging模型模擬結構極限狀態方程，為RSM提供足夠的樣本點，再通過RSM求解Kriging模型所模擬的結構極限方程的可靠度.

利用Kriging模型預測結構的極限基底剪力VS，其表達式為

VS=predictor(xi)

(11)

式中：xi=[fc0，Ec，fy，E]T，fc0為混凝土軸心受壓峰值強度，Ec為混凝土彈性模量，fy為鋼筋的屈服強度，E為鋼筋的彈性模量；predictor為Kriging模型DACE工具箱提供的預測函數.

將結構極限基底剪力VS模擬結果代入結構整體承載能力極限狀態方程，可得

Z=g(VS，FE)=predictor(xi)-FE

(12)

將式(12)編寫至RSM算法中，應用RSM計算結構可靠度.

2.4 基于結構靜力抗震可靠度計算

利用Kriging-RSM與RSM結合有限元分析方法，計算結構靜力抗震可靠度，具體流程如圖1所示.

圖1 算法流程

將xi=[fc0，Ec，fy，E]T的均值作為第一次計算的設計驗算點，利用中心復合設計方法產生樣本點，將設計樣本點輸入至有限元模型中進行Pushover分析.根據分析結果選取基底剪力，利用Kriging-RSM與RSM分別計算結構靜力抗震可靠度.若計算結果不收斂，將計算得出的驗算點作為下次計算的設計驗算點，并重新計算，直至計算結果收斂為止.其中，計算過程的收斂準則為

Δ=(Betai-1-Betai)/Betai

(13)

式中，Betai為第i次計算的結構可靠度指標值.

3 算例與可靠度指標分析

3.1 算 例

表1 各可靠度計算方法計算結果

為進一步探究Kriging-RSM算法的可行性，應用Matlab軟件繪制Kriging-RSM所擬合的極限狀態方程曲面，RSM所擬合的極限狀態方程曲面以及真實極限狀態方程曲面，結果如圖2所示.

圖2 極限狀態方程擬合曲面圖

由圖2可知，相對于RSM所擬合的極限狀態方程曲面，Kriging-RSM的擬合結果在整體上更接近真實的極限狀態方程，表明Kriging-RSM較RSM具有更好的擬合精度.但在局部上，Kriging-RSM擬合的曲面有微小的褶皺和不平滑，其范圍大致在X2取值大于200 mm處.這是因為隨著迭代計算次數的增加，新增的樣本點取值主要在165 mm附近，造成X2取值大于200 mm的區間缺少樣本點，模擬效果較差.

3.2 結構建模與分析

針對一棟三層三跨的鋼筋混凝土框架結構，選取其中同一軸線對應的一榀平面框架進行建模分析.結構的立面及梁柱截面配筋圖如圖3所示(單位：mm).具體設計信息包括：基本雪壓為0.3 kN/m2，標準層活荷載為2.0 kN/m2，標準層恒荷載為4.5 kN/m2，屋頂活荷載為0.5 kN/m2.抗震設防烈度為8度，設計基本地震加速度為0.2g，場地土為Ⅱ類.應用OpenSees軟件建立有限元模型，混凝土采用Concrete01材料，鋼筋采用Steel02材料，采用柔度法纖維梁柱單元.對模型進行震型分析，檢查模型的正確性后對結構進行Pushover分析.

圖3 框架立面及梁柱配筋圖

建立有限元模型所需要的相關材料隨機變量統計參數[9]如表2所示.

表2 材料隨機變量統計參數

表3為不同水平地震FE隨機變量的統計參數.為了考慮不同水平地震FE對結構整體可靠性的影響，設計基本地震加速度依據規范取值為0.1g、0.15g、0.2g、0.3g、0.4g，變異系數取為0.3.

表3 不同水平地震FE隨機變量的統計參數

3.3 基于Kriging-RSM與RSM算法可靠度及靈敏度分析

根據上述隨機變量參數信息，應用中心復合設計方法產生樣本點，建立OpenSees有限元模型進行Pushover分析.可靠度指標的計算結果如表4所示，各隨機變量的驗算點和靈敏度的計算結果分別如圖4～5所示.

表4 基于Kriging-RSM和RSM的可靠度指標

由表4可知，結構整體可靠度指標隨著水平地震作用的增大逐漸下降，并且下降趨勢逐漸減緩，且Kriging-RSM與RSM計算得出結構整體抗震可靠度指標較為接近，兩種算法最大差值僅為0.002 9.表明結構失效概率隨著水平地震作用的增加而增加，進一步驗證Kriging-RSM算法對隱式極限狀態方程下結構整體抗震可靠度指標求解的可行性.

由圖4可知，混凝土軸心受壓峰值強度、混凝土彈性模量、鋼筋屈服強度、鋼筋彈性模量的驗算點隨著設計基本地震加速度的增加而增加，且逐漸逼近于其各自的均值.其中，鋼筋屈服強度增加幅度最大，其次是混凝土軸心受壓峰值強度.而地震作用的驗算點隨著設計基本地震加速度的增加而減小，也是逐漸逼近于其均值.總體來說，在全部隨機變量中地震作用的驗算點變化幅度最大，其次是鋼筋屈服強度.說明隨著設計基本地震加速度的增加，各材料隨機變量驗算點逐漸增大以抵抗地震作用，而地震作用的驗算點超出其均值的量是逐漸減小的.

圖4 基于Kriging-RSM和RSM結構驗算點

圖5 各水平地震作用下結構各隨機變量靈敏度

由圖5可知，Kriging-RSM與RSM計算得出各隨機變量的靈敏度值也十分接近.在各不同設計基本加速度下，地震作用始終是對結構可靠度指標影響最為顯著的因素.在結構材料隨機變量中，鋼筋屈服強度對結構可靠度指標影響最大，其次是混凝土的峰值強度，其他隨機變量對結構整體可靠度指標有一定影響，但影響效果較小，可以忽略不計.

隨著設計基本地震加速度的改變，各隨機變量靈敏度均有一定的變化，但這些變化基本上可以忽略不計.這表明在其他條件一定時，設計基本地震加速度不會引起各隨機變量靈敏度的改變.靈敏度正負取值情況表明混凝土軸心受壓峰值強度、混凝土彈性模量、鋼筋屈服強度、鋼筋彈性模量為抗力類型隨機變量，地震作用是荷載類型的隨機變量.

表5為算例中Kriging-RSM與RSM所需的有限元模擬次數.由表5可知，采用Kriging-RSM進行結構整體可靠度計算相比較RSM減少52.5%的計算次數，有效地減少了有限元模擬次數和計算時間，更適合于實際工程應用.對比表4可知，兩種算法計算結構的整體承載力極限狀態變量可靠度指標具有良好的一致性.兩種算法的主要差別在于：Kriging-RSM算法基于各隨機變量，可以較好地反映各隨機變量對結構功能函數的影響，不需要重復搜索結構的驗算點，具有較好的全局模擬效果，計算簡單快捷；而RSM算法具有較好的局部模擬效果，收斂速度良好，且具有較好的精度[10].

表5 基于Kriging-RSM和RSM算法的有限元模擬次數對比

4 結 論

本文將Kriging-RSM與Pushover有限元分析方法相結合，計算了鋼筋混凝土框架整體承載力極限狀態下的抗震可靠度與靈敏度，并得出以下結論：

1) 對比蒙特卡洛法、JC法、RSM以及Kriging-RSM關于同一數值算例可靠度指標計算結果，驗證了Kriging-RSM能夠高效準確地計算隱式極限狀態方程下的可靠度指標.

2) 對比鋼筋混凝土框架結構整體抗震可靠度的Kriging-RSM與RSM計算結果，發現兩種方法的計算結果基本一致，最大差值為0.002 9，進一步驗證了Kriging-RSM計算可靠度的可行性，且Kriging-RSM相對于RSM方法，能夠減少一半的有限元分析次數，有效地提高了計算效率.

3) 在各隨機變量中，地震作用對結構整體可靠度指標的影響最大，其次是鋼筋屈服強度；而混凝土軸心受壓峰值強度對結構整體可靠度指標具有一定影響，其他因素對結構整體可靠度指標的影響可以忽略不計.設計基本地震加速度能夠影響結構整體可靠度指標值，但基本不會改變各隨機變量的靈敏度.