基于永磁體磁場的數值計算與仿真分析研究

蘭州交通大學土木工程學院 楊祿權 孫子陽 周志奇

引言

隨著新的永磁材料的應用領域不斷擴大，人們對永磁體磁場的探討更加關注。目前,對永磁材料磁場分布的研究方法有理論研究和實驗研究。茍曉凡等人[1]根據分子環流模型和畢奧-薩伐爾定理,對僅在一個方向均勻、完全充磁的矩形永磁體,導出了一塊及多塊磁體按極性相反并列放置時的磁場解析表達式。李鑫等人[2]根據等效電流模型得出了永磁體位于坐標原點時的磁場分布。然而由理論研究方法所求得的結果往往缺少試驗數據的驗證，因此結果的正確性難以得到驗證。宋浩等人[3]運用實驗和COMSOL（“靜磁場，無電流”的應用模式）模擬給出了相對放置的永磁條、具有磁回路結構的磁軛磁極、環形磁體的磁場分布。馬俊等人[4]運用實驗方法研究了不同輔助永磁體厚度的磁場分布。在理論研究中，常采用數值計算法和有限元法來計算永磁體的磁場強度，因此對于數值計算和有限元方法的研究是非常有必要的。

本文根據等效電流模型及安培分子環流定律，運用基于剩余磁通密度Br的Comsol multiphysics軟件與基于面電流密度Js的Fortran程序分別研究了圓柱形永磁體與矩形永磁體的磁場分布，對比分析了永磁體剩余磁通密度Br與面電流密度Js的優越性。

1 永磁體模型的建立

1.1 Fortran計算原理

假設永磁體內部分布著密度為J的分子電流，外部分布著密度為Js的表面電流。如果磁介質整體勻稱，則由同一性可知，在磁介質內的任意位置都存在著兩個相鄰的分子環流，由于它們擁有等大反向的電流，所以其磁場相互抵消，但截面邊界處的分子電流不被抵消。因此，磁體上所有分子環流可等效為沿截面邊界的環形電流，而無體電流。

根據安培分子環流定律可知：將永磁體視為無數個電流環組成，則空間任一點的磁場可認為是各個電流環分別在該點產生的磁場強度的疊加。建立柱坐標系（P，ф，Z），其簡單模型如圖1所示：

其中，dBx、dBy、dBz是電流環在P（x,y,z）處產生的磁場分別在x、y和z方向的分量。

根據畢奧-薩伐爾定律：

這里μ0=4π×10-7牛頓/安培2，為真空磁導率。

則永磁體對空間任一點P（x,y,z）產生的磁場為：

其中，h為永磁體的高度。

已知永磁體的磁場計算公式，可以采用精度較高且較常用的Simpson積分法進行求解。在Fortran的積分命令流中，通過重復調用Simpson積分命令來實現磁場的計算。則采用復化Simpson求積公式計算定積分：

將區間［a,b］逐次分半，令

則復化Simpson求積公式為：

在計算二重積分時，數值積分的處理辦法為：

根據永磁體的磁場公式以及Simpson積分法編制Fortran程序求解永磁體的磁場強度。其中，積分精度為10-6，積分子程序允許的最大步數為20。

1.2 Comsol multiphysics計算原理

Comsol multiphysics軟件是一款專業的有限元數值分析軟件，在仿真永磁體的磁場強度時，通過Comsol multiphysics軟件的AC/DC模塊下的“磁場，無電流”物理場求解。外部環境設定為：溫度T=293.15K，絕對壓強Pa=Iatm，由于靜磁場中沒有電流的存在，因此可以使用標量磁勢的方法來解決。由公式H=-△Vm和△*B=0就可以求出磁鐵周圍的磁場分布。

由上述Fortran的計算原理可知，若已知永磁體的等效電流密度J8，則永磁體的剩余磁通密度為：

其中，Br為剩余磁通密度，真空磁導率μ0=4π×10-7，為面電流密度。

則剩余磁通密度與磁場之間的本構關系為：

2 結果討論與分析

根據上述永磁體的磁場計算原理，運用Fortran程序和Comsol multiphysics軟件分別計算圓柱形永磁體和矩形永磁體的磁場強度，并與實驗結果作對比，分析討論基于兩種不同軟件計算永磁體的磁場強度時，永磁體的剩余磁通密度和面電流密度的優越性。

2.1 基于圓柱形永磁體的結果分析

首先，我們采用In-Gann Chen et al.(1992)實驗[5]中圓柱形永磁體的參數：RPM=9.525mm，HPM=6.35mm，JS=7820A/cm進行數值模擬與仿真計算，得到永磁體表面（霍爾探頭距永磁體表面的最小距離為1mm）橫向磁場Bz的空間分布。

圖2 永磁體橫向磁場分布圖

圖3 圓柱形永磁體磁場強度空間體箭頭

圖2 為圓柱形永磁體橫向磁場分布，可以看出：圓柱形永磁體磁場的模擬結果、仿真結果及實驗結果吻合很好，表明計算程序以及Comsol multiphysics軟件仿真計算的可靠性。圖3為圓柱形永磁體的磁場強度空間體箭頭分布，可以看出：磁感應線從圓柱形永磁體的N極出發閉合回到S極，不僅證明了磁通連續性原理也充分驗證了等效電流模型計算的正確性。

將計算結果與In-Gann Chen et al.(1992)實驗的數據作對比，其對比數據如下表1所示：

表1 圓柱形永磁體表面橫向磁場

表1 為圓柱形永磁體的橫向磁場的實驗結果分別與模擬結果和仿真結果對比分析表，從中可知：模擬結果與實驗結果的相對誤差很小，平均相對誤差為2.30%；仿真結果與實驗結果的相對誤差也很小，平均相對誤差為2.77%。但是仿真結果與實驗結果的相對誤差平均值較大于模擬結果與實驗結果的相對誤差平均值。

2.2 基于矩形永磁體的結果分析

這里，我們采用劉宏娟[6]論文里的實驗中矩形永磁體的參數：長度a=50mm，寬度b=10mm，高度h=5mm，面電流密度Js=4πk（其中k=49677.11A/m）進行數值模擬與仿真計算，得到永磁體表面（距永磁體表面60mm）中心部位的橫向磁場Hz隨寬度的空間分布，將模擬結果與仿真結果與劉宏娟論文里的實驗數據作對比，其對比數據如下表2所示：

表2 矩形永磁體表面橫向磁場

表2 為矩形永磁體的橫向磁場的實驗結果分別與模擬結果和仿真結果的對比分析表，從中可知：模擬結果與實驗結果的相對誤差很小，平均相對誤差為-3.57%；仿真結果與實驗結果的相對誤差也很小，平均相對誤差為5.17%。但是仿真結果與實驗結果的相對誤差平均值較大于模擬結果與實驗結果的相對誤差平均值。

3 結論

本文基于Fortarn程序和Comsol multiphysics軟件分別探討了圓柱形永磁體與矩形永磁體的橫向磁場分布，并與實驗結果作對比，通過分析兩種模型的模擬結果和仿真結果與實驗結果的相對誤差，討論了永磁體剩余磁通密度Br與面電流密度Js的優越性。結論如下：

（1）本文首先給出了Fortran程序與Comsol multiphysics軟件計算的兩種永磁體磁場強度的計算方法，并給出了兩種方法之間的聯系。

（2）基于永磁體面電流密度Js的磁場強度的模擬結果的相對誤差小于基于永磁體剩余磁通密度Br的磁場強度的相對誤差，表明永磁體基于面電流密度Js的磁場強度比基于剩余磁通密度的磁場強度更可靠。