數列應用題、創新題

一、單項選擇題

1.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

2.（2020·湖北荊門高三模擬）斐波那契數列，指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數學上，斐波那契數列{an}定義如下：a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N），隨著n的增大，越來越逼近黃金分割，故此數列也稱黃金分割數列，而寬與長的比符合黃金比的長方形稱為“最美長方形”.已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是（ ）

A.20厘米 B.19厘米

C.18厘米 D.17厘米

3.設有窮數列{an}的前n項和為Sn，令稱Tn為數列a1，a2，…，an的“凱森和”，已知數列a1，a2，…，a2020的“凱森和”為4042，那么數列-1，a1，a2，…，a2020的“凱森和”為（ ）

A.4036 B.4037

C.4038 D.4039

4.（2020·全國Ⅱ卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ）

（第4題）

A.3699塊 B.3474塊

C.3402塊 D.3339塊

5.0—1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1，a2，…，an，…滿足ai∈{0，1}（i=1，2，…），且存在正整數m，使得ai+m=ai（i=1，2，…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足ai+m=ai（i=1，2，…）的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為m的0—1 序列a1，a2，…，an，…，C（k）=是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0—1序列中，滿足C（k）≤（k=1，2，3，4）的序列是（ ）

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

二、多項選擇題

6.對于數列{an}，若存在數列{bn}滿足則稱數列{bn}是{an}的“倒差數列”，下列關于“倒差數列”描述正確的是（ ）

A.若數列{an}是單調遞增數列，則其“倒差數列”不一定是單調遞增數列

B.若an=3n-1，則其“倒差數列”有最大值

C.若an=3n-1，則其“倒差數列”有最小值

D.若an=1-則其“倒差數列”有最大值

7.將n2個數排成n行n列的一個數陣，如圖.該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列，每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列（其中m＞0）.已知a11=2，a13=a61+1，記這n2個數的和為S.下列結論正確的有（ ）

（第7題）

A.m=3

B.aij=（3i-1）×3j

D.S=n（3n+1）（3n-1）

三、填空題

8.（2020·山西高三月考）無窮數列=aq+1，則稱{an}為“和諧遞進數列”.若{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1{an}為“和諧遞進數列”，Sn為其前n項和，且a1=1，a2=2，a4=1，a6+a8=6，則S2021=________.

9.（2019·清華附中高三月考）對于各數互不相等的整數數組（i1，i2，…，in）（其中n是不小于3的正整數），若?p，q∈{1，2，…，n}，當p＜q時，有ip＞iq，則稱ip，iq為該數組的一個“逆序”，一個數組中所有“逆序”的個數稱為該數組的“逆序數”，如數組（2，3，1）的逆序數等于2.

（1）數組（5，2，4，3，1）的逆序數等于________.

（2）若數組（i1，i2，…，in）的逆序數為n，則數組（in，in-1，…，i1）的逆序數為________.

四、解答題

10.（2021·湖南株洲高三一模）由整數構成的等差數列{an}滿足a3=5，a1a2=2a4.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}的通項公式為bn=2n，將數列{an}，{bn}的所有項按照“當n為奇數時，bn放在前面；當n為偶數時，an放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求數列{cn}的前4n+3項和T4n+3.

11.（2020·上海徐匯區模擬）對于數列{an}，設數列{an}的前n項和為Sn，若存在正整數k，使得恰好為數列{an}的一項，則稱數列{an}為“P（k）數列”.

（1）已知數列1，2，3，x為“P（2）數列”，求實數x的值；

（2）已知數列{an} 的通項公式為an=試問數列{an}是否是“P（k）數列”？ 若是，求出所有滿足條件的正整數k；若不是，請說明理由.