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數列應用題、創新題

2021-03-31 13:35:08
新世紀智能(數學備考) 2021年3期

一、單項選擇題

1.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:“遠看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈( )

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

2.(2020·湖北荊門高三模擬)斐波那契數列,指的是這樣一個數列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,在數學上,斐波那契數列{an}定義如下:a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N),隨著n的增大,越來越逼近黃金分割,故此數列也稱黃金分割數列,而寬與長的比符合黃金比的長方形稱為“最美長方形”.已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米,則該長方形的長大約是( )

A.20厘米 B.19厘米

C.18厘米 D.17厘米

3.設有窮數列{an}的前n項和為Sn,令稱Tn為數列a1,a2,…,an的“凱森和”,已知數列a1,a2,…,a2020的“凱森和”為4042,那么數列-1,a1,a2,…,a2020的“凱森和”為( )

A.4036 B.4037

C.4038 D.4039

4.(2020·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊,下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9塊,已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )

(第4題)

A.3699塊 B.3474塊

C.3402塊 D.3339塊

5.0—1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1,a2,…,an,…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整數m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為m的0—1 序列a1,a2,…,an,…,C(k)=是描述其性質的重要指標,下列周期為5的0—1序列中,滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是( )

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

二、多項選擇題

6.對于數列{an},若存在數列{bn}滿足則稱數列{bn}是{an}的“倒差數列”,下列關于“倒差數列”描述正確的是( )

A.若數列{an}是單調遞增數列,則其“倒差數列”不一定是單調遞增數列

B.若an=3n-1,則其“倒差數列”有最大值

C.若an=3n-1,則其“倒差數列”有最小值

D.若an=1-則其“倒差數列”有最大值

7.將n2個數排成n行n列的一個數陣,如圖.該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列,每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,記這n2個數的和為S.下列結論正確的有( )

(第7題)

A.m=3

B.aij=(3i-1)×3j

D.S=n(3n+1)(3n-1)

三、填空題

8.(2020·山西高三月考)無窮數列=aq+1,則稱{an}為“和諧遞進數列”.若{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1{an}為“和諧遞進數列”,Sn為其前n項和,且a1=1,a2=2,a4=1,a6+a8=6,則S2021=________.

9.(2019·清華附中高三月考)對于各數互不相等的整數數組(i1,i2,…,in)(其中n是不小于3的正整數),若?p,q∈{1,2,…,n},當p<q時,有ip>iq,則稱ip,iq為該數組的一個“逆序”,一個數組中所有“逆序”的個數稱為該數組的“逆序數”,如數組(2,3,1)的逆序數等于2.

(1)數組(5,2,4,3,1)的逆序數等于________.

(2)若數組(i1,i2,…,in)的逆序數為n,則數組(in,in-1,…,i1)的逆序數為________.

四、解答題

10.(2021·湖南株洲高三一模)由整數構成的等差數列{an}滿足a3=5,a1a2=2a4.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若數列{bn}的通項公式為bn=2n,將數列{an},{bn}的所有項按照“當n為奇數時,bn放在前面;當n為偶數時,an放在前面”的要求進行“交叉排列”,得到一個新數列{cn}:b1,a1,a2,b2,b3,a3,a4,b4,…,求數列{cn}的前4n+3項和T4n+3.

11.(2020·上海徐匯區模擬)對于數列{an},設數列{an}的前n項和為Sn,若存在正整數k,使得恰好為數列{an}的一項,則稱數列{an}為“P(k)數列”.

(1)已知數列1,2,3,x為“P(2)數列”,求實數x的值;

(2)已知數列{an} 的通項公式為an=試問數列{an}是否是“P(k)數列”? 若是,求出所有滿足條件的正整數k;若不是,請說明理由.

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