一道三角題的多重“收益”

華東師范大學第二附屬中學 高三（6）班 邱 天

寒假要減少走親訪友，我只能來拜訪這些對我不離不棄的“趣題兄弟”.不曾想還真的有意外收益呢.

表面看來非常有意思：已知條件都是余弦相關形式，且各出現兩次，而欲證則是純角的形式，三個角可以組成一個三角形.

問題1：設α,β,γ均為銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαc osβc osγ=1.求證：α+β+γ=π.

難點所在：題設中共有三個字母變量，由于不知道α,β,γ之間的數量關系，故而僅僅利用三角恒等式來推導結論，解題方向是不明確的.

收益1：問題1 的分析與證明

注意到條件中等式左邊是完全對稱式，可以選擇某一個（如cosγ）為變量（主元），以另外兩個（cosα,cosβ）為參數（輔元），于是原等式可視為關于cosγ的一元二次方程

cos2γ+(2cosαc osβ) cosγ+cos2α+c os2β-1=0.①

方程的判別式Δ=4cos2αc os2β-4(c os2α+cos2β-1).

敲黑板

思維受阻時，不妨做目標分析.

接下來如何化簡整理判斷式？

思維受阻，分析目標：

要證α+β+γ=π，即γ=π-α-β.

而余弦函數在(0,π)上單調遞減，由條件知γ,π-α-β∈ (0,π)，

故只要證cosγ=cos(π-α-β)，

即證cosγ=-cos(α+β)=②

而方程①的根為cosγ=考慮到α,β,γ均為銳角，故cosγ=與②式比較知，只需證Δ=4sin2αs in2β.

思路總結：一方面將條件視為一元二次方程來分析，另一方面從要證的結論倒推，“從兩邊推中間”，將問題1 的解決聚焦于判別式的化簡.

至此思路已經完全打通，但感覺意猶未盡啊！由于計算不太煩雜，我做了點符號上的變化，幾番探索終得收獲：

收益2：問題1 的等價形式

等價問題：設α,β,γ均為鈍角，且cos2α+cos2β+cos2γ-2 cosαc osβc osγ=1.求證：α+β+γ=2π.

分析1：令α0=π-α,β0=π-β,γ0=π-γ，則α0,β0,γ0均為銳角.

條件等式等價于

cos2α0+cos2β0+cos2γ0+2 cosα0cosβ0cosγ0=1.

意外之喜：任老師在獲悉我研究的這道題后，向我推薦了唐立華老師的《向量與立體幾何》一書，于是有了“分析2”這個意外之喜.

由問題1 的結論，知α0+β0+γ0=π，即α+β+γ=2π.

分析2：設三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC的長度分別為a,b,c，三條側棱兩兩所成的面角分別為α,β,γ，則體積為③

當1-cos2α-cos2β-cos2γ+2 cosαc osβc osγ=0時，三 棱錐體積V=0，此時三棱錐頂點P落到底面△ABC內部（即三棱錐的高為0），于是α+β+γ=2π.

欣喜之余：雖然是“誤打誤撞”，但不得不說，以三棱錐體積（的極端情形）作為橋梁，溝通條件中的三角等式與目標結論α+β+γ=2π，反映了數學分支之間豐富而有趣的內在聯系.

另外，“老套路”逆命題是否也成立呢？

收益3：問題1 的逆向問題

逆向問題：已知α+β+γ=π，求證：cos2α+cos2β+cos2γ+2 cosαcosβcosγ=1.

利用三角恒等式，即可得到下面的證明.

cos2α+cos2β+cos2γ+2 cosαcosβcosγ-1=cos2α+cos2β+cos2γ+[cos(α+β)+cos(α-β)]cosγ-1,

由條件α+β+γ=π ?γ=π-α-β,故

至此大功告成，酣暢淋漓.多重“收益”，成就滿滿！

當然，“強行”引入正弦，在△ABC中，令γ=π-C，也有相關結論：sin2A+sin2B+cos2C-2sinAsinBcosC=1.