看八省聯(lián)考卷 解鎖導(dǎo)數(shù)壓軸

曹鳳山

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題往往因?yàn)殡y度太大而讓人吐槽，又因?yàn)榻夥`活背景深刻而魅力十足，更由于價(jià)值高而讓人既愛(ài)又恨難以割舍.這類問(wèn)題高考將會(huì)如何考，如何備考、求解是大家比較關(guān)心的問(wèn)題之一.

八省聯(lián)考，相信各位同學(xué)都“親自”參與.這次超大規(guī)模的聯(lián)考，你發(fā)揮得怎樣呢？壓軸題拿了多少分？

新題速遞（2021·八省聯(lián)考卷）已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當(dāng)x＞-時(shí)，f(x)≥0；

（2）若g(x)≥2+ax，求a.

分析對(duì)于（1），有些同學(xué)“習(xí)慣性動(dòng)作”直接求導(dǎo)：f′(x)=ex-cosx+sinx，發(fā)現(xiàn)f′(x)=0 沒(méi)有辦法求出零點(diǎn)，也不能判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，要求出函數(shù)f(x)的最小值簡(jiǎn)直天方夜譚.宣布這是一道難題，與自己無(wú)緣！

實(shí)際上，觀察函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx的結(jié)構(gòu)，含有指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx，cosx（而且熟悉sinx+cosx=根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，①x≥時(shí)，即x≥時(shí)f(x)≥0一定成立，只要證明在上f(x)≥0.

看到這些函數(shù)能想到什么？

指數(shù)函數(shù)ex單調(diào)遞增，特值點(diǎn)（0，1），正弦、余弦函數(shù)的有界性、周期性.

（當(dāng)然，這里的范圍大一些也沒(méi)有關(guān)系，如x≥1 時(shí)ex≥e＞2≥sinx+cosx，f(x)≥0更明顯成立，也不用再合一變形）

不能全部解決也不放棄局部解決！

雖然研究范圍壓縮了，求最值的思路還是同樣不能實(shí)現(xiàn).

再審讀問(wèn)題，本題是證明！不是求最小值問(wèn)題.從證明視角出發(fā)，可以對(duì)待證明的形式ex-sinx-cosx≥0加以分析.聯(lián)想解題經(jīng)驗(yàn)，為了求導(dǎo)后不再含有指數(shù)函數(shù)ex，可以適當(dāng)變形.

敲黑板

前面不能求零點(diǎn)的根本原因在于含有指數(shù)函數(shù)ex.

令p(x)=，，由p′(x)==0得到x=0，即函數(shù)p(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以p(x)≤p(0)=1.

抽絲剝繭，分而治之，步步為營(yíng)終得解.

綜合①②③，有f(x)≥0.

（2）若g(x)≥2+ax，即h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax≥0，由于h′(x)=ex-sinx+cosx-a含有參數(shù)，更難以確定零點(diǎn)、單調(diào)性等.

不少同學(xué)喜歡分離參數(shù)，嘗試一下肯定無(wú)功而返，游走于“解題套路”很難解決這些不按模式命制的試題.

注意觀察函數(shù)特點(diǎn)，有h(0)=0，又函數(shù)h(x)的圖象是連續(xù)曲線，h(x)≥0，

所以x=0 應(yīng)該是函數(shù)h(x)的極小值點(diǎn).

由h′(x)=ex+cosx-sinx-a，得h′ (0)=2-a=0，所以a=2.

下面再證明充分性.

當(dāng)a=2 時(shí)，h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，

觀察導(dǎo)函數(shù)的特征，與函數(shù)f(x)極其類似，再求導(dǎo)，h′′(x)=ex-cosx-sinx.

又因?yàn)閔′(0)=0，所以函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞-時(shí)，h(x)≥h(0)=0.

而當(dāng)x≤-時(shí)，所以h(x)=ex+sinx+cosx-2-2x≥0成立.

得證.

從以上求解過(guò)程分析我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題：

1.試題以核心知識(shí)為主線，基礎(chǔ)知識(shí)必須掌握牢固.

壓軸題突出函數(shù)的主線，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考，如本題中要充分利用指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx，cosx的性質(zhì)，極小值的概念，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系等.基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖，備考與解題過(guò)程中要時(shí)時(shí)注意“回歸數(shù)學(xué)原點(diǎn)”.

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題具有綜合性.

既有知識(shí)、技能的綜合考查，如本題綜合考查指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)等，更注意數(shù)學(xué)思想方法的考查，如轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等，對(duì)運(yùn)算及邏輯推理要求也較高.

3.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題核心在于研究、利用函數(shù)性質(zhì).

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)思想是第一位的，導(dǎo)數(shù)只是研究函數(shù)性質(zhì)的工具，不能濫用求導(dǎo)，不能喧賓奪主.試題求解的靈活性在于，研究的函數(shù)對(duì)象不一定是直接給定的形式，要根據(jù)課本學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)模型、依據(jù)解題基本經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)模式識(shí)別等合理選擇函數(shù)形式，或者采取移項(xiàng)、乘、除、乘方、開方等手段改變研究對(duì)象的形式.

4.認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)工具的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn).

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具，但是也要認(rèn)識(shí)到這一工具的優(yōu)勢(shì)：可以研究較為復(fù)雜的函數(shù)，可以研究函數(shù)的局部性質(zhì)（直白點(diǎn)就是處理一些特殊點(diǎn)（附近）的性質(zhì)），這類問(wèn)題一般會(huì)有一些比較特殊的位置，要格外認(rèn)真觀察，充分利用，如本題中的x=0，在2020 全國(guó)高考試卷中，山東卷、全國(guó)一卷最后一題都是同樣的特點(diǎn).

5.從題型結(jié)構(gòu)出發(fā)解題.

這類解答題不少是“階梯性問(wèn)題”，即第一步是后續(xù)解題的臺(tái)階，利用前面的結(jié)果就可以拾階而上，而不是每一小問(wèn)都重起爐灶，如本題在解決（2）的過(guò)程中要充分利用（1）的結(jié)果.

同時(shí)，對(duì)于壓軸問(wèn)題求解，不能期望一蹴而就，還要有信心、有毅力、有耐心.要注意考試策略的靈活運(yùn)用，考場(chǎng)最實(shí)惠的策略是多拿分，對(duì)于壓軸題可以缺步解答、跳步解答、部分解答等等，如本題（1）通過(guò)函數(shù)性質(zhì)分析已經(jīng)可以解決大部分問(wèn)題，在（1）的結(jié)論基礎(chǔ)上，（2）也可以解決一部分等等.