火星巡視器動力學建模研究與仿真平臺實現

徐 顥，居鶴華，余 萌，顧 朋

（1.南京航空航天大學航天學院，南京210016；2.北京控制工程研究所，北京100190）

目前，火星已經成為世界上各個國家主要的探索對象[1]。火星巡視器上裝載了多種科學儀器，是人類執行火星表面探測任務的重要載體。由于火星表面環境具有復雜性與不確定性，巡視器應具備穿越各種崎嶇地形的能力，從而保證火表探測工作的可靠性[2]。例如：美國的“機遇號”火星巡視器因車輪陷入沙土而無法動彈[3]；“好奇號”火星巡視器自2012 年8 月登陸火星至2013 年10 月執行科學探測任務期間，車輪本體結構破損嚴重[4]。因此，針對防止巡視器發生結構性破壞以及巡視器的運行狀態等問題，國內外學者對行星巡視器的運動學、動力學等問題進行了大量深入的研究。

Yoshida 等[5]從輪土力學和鉸接體動力學兩方面出發研究了行星車的動力學問題，建立了懸架機構的動力學仿真模型；以車輪滑移率為狀態變量，在行星車試驗臺上進行了實驗研究。為了研究在崎嶇地形中的高速移動機器人的行為控制方法，Iagnemma 等[6]開發了一套動力學軟件，該軟件采用四階龍格庫塔法求解以“牛頓?歐拉”分析動力學方法建立的非線性多階常微分方程，并以四輪移動機器人為例，進行了仿真和實驗。Lindemann[7]通過動態測試模型（Dynamic test model, DTM）評估了火星巡視器在模擬火星環境中的移動特性，同時在ADAMS 軟件中建立了巡視器的動力學模型并給出了仿真結果。居鶴華等[8]研究了六輪搖臂式月面巡視器在復雜月面環境下的動力學建模問題，采用牛頓?歐拉法建立了巡視器動力學模型，利用開發的三維仿真平臺對建立的動力學模型進行了驗證。目前為止，國內針對行星巡視器動力學的相關研究較少，仍依賴于ADAMS、ODE、Vortex 等商業或開源動力學軟件進行二次開發，缺少自主理論和相關技術研發，難以滿足復雜的行星表面環境探測的工程需求。

針對復雜火星表面環境及高自由度的火星巡視器動力學建模問題，本文引入了運動鏈符號系統，其具有偽代碼的功能，易于計算機編程，計算效率高；同時，本文方法可以動態地建立巡視器的動力學方程，其具有完全參數化、分層迭代式的優點。

1 火星巡視器結構

一類典型火星巡視器的三維模型如圖1 所示。巡視器采用主動式搖臂結構，是在被動式搖臂的基礎上，在左、右主臂與差速器輸出端之間以及左、右副臂與各自的主臂之間各加裝一個控制關節，從而實現主臂與車體、副臂與主臂的角度控制功能。車體上的差速器保證其出軸與本體的角度大小相等，方向相反。巡視器6 個驅動輪均具有舵機，則該主動式搖臂結構具有16 個獨立的自由度。6 個驅動輪的舵機、主臂關節、副臂關節及差速器均具有絕對編碼器，驅動輪轉動速度由相對編碼器進行測量，用作里程計。巡視器還具有4 個單自由度的太陽翼、1 個2 自由度的數傳天線及1 個3 自由度的桅桿等。

圖1 火星巡視器三維模型Fig.1 3D model of the Mars rover

在機器人工程中，首先定義坐標系，然后通過工程測量確定坐標系間的關系，最后以該坐標系為參考進行機器人的運動學及動力學分析。巡視器的軸間運動關系同樣需要通過與它們固結的坐標系進行度量。

為了便于分析，本文采用自然坐標系描述巡視器的軸間關系。巡視器移動系統自然坐標系如圖2 所示，當系統處于初始位置時，只需建立慣性系以及各軸上的參考點，其他運動軸坐標系也自然確定，而不必為每一運動軸確定各自的體坐標系。

圖2 巡視器各部件的體坐標系編號與部件英文縮略標志符一一對應，原點均位于部件質量中心，x、y、z 表示坐標軸，下標i 和c 分別表示系統慣性系和車體系；下標lr、rr 分別表示左、右主臂，lb、rb 分別表示左、右副臂；三位下標編號的首位縮略標志l 或r 分別表示左或右部件，第二位縮略標志f、m、r 分別表示前、中、后部件，第三位縮略標志w表示車輪、d 表示方向機，例如lfd 表示左前方向機，lfw 表示左前輪，以此類推；坐標軸xc、yc軸及zc軸分別指向巡視器正前方、正左側及正上方。

圖2 巡視器移動系統自然坐標系Fig.2 Natural coordinate system of the rover mobile system

2 火星巡視器動力學建模研究

2.1 基本符號定義

本文以運動鏈符號演算系統為基礎[9]，通過精確的符號定義以解決高自由度系統符號規范的問題。為方便閱讀，下面對本文出現的相關符號及公式做簡單說明。

基本定義：在運動鏈符號演算系統中，具有偏序的屬性變量或常量，在名稱上包含表示偏序的指標，包含左上角及右下角指標或者右上角及右下角指標；而它們的方向總是由左上角指標至右下角指標。

符號定義如下：

圖3 軸l 的閉子樹Fig.3 Closed subtree of Axis l

（2）任何復合的運動副可由兩個基本運動副組成，即轉動副與平動副，分別用R 和P 來表示。

表1 符號定義Table 1 Symbol definition

2.2 火星巡視器動力學建模

火星巡視器動力學建模分為兩個步驟。首先，采用有向Span 樹[9]表征巡視器的拓撲關系，本質上反映軸與軸的連接關系以及軸間運動量的參考關系與作用關系；隨后，遍歷火星巡視器的軸鏈拓撲結構有向Span 樹，完成巡視器的動力學建模。

(1)建立火星巡視器拓撲關系

火星巡視器的運動學與動力學依賴于其拓撲關系分析，本文采用有向Span 樹來表征巡視器的拓撲關系，即忽略巡視器各部分結構的尺寸，僅考慮運動副和相互連接關系而組成的結構，用Span樹的節點編號表達動力學系統的運動副。火星巡視器的有向Span 樹如圖4 所示。

火星巡視器通過運動軸的連接確定了一個運動鏈，該鏈是有序的運動軸的集合，記22 軸巡視器移動系統的運動鏈為A=(0,1,2,…,22]。

圖4 火星巡視器軸鏈有向Span 樹Fig.4 Directed Span-tree of the Mars rover axis-chain

(2)建立火星巡視器動力學方程

一個多自由度的火星巡視器系統可視為一個多軸剛體系統即iL，由轉動副與平動副組成，下面將推導其拉格朗日遞歸方程。一般的拉格朗日方程表示為

式中

由式(1)得多軸系統拉格朗日方程

動力學系統iL 的平動動能及轉動動能分別表示為

考慮式(2)和式(3)，即有

至此，已完成能量對關節速度及坐標的偏速度計算。

至此，已完成對時間t 的求導。

由偏導數鏈規則可知[9]

根據式(18)偏導數關系，將式（12，15～17）代入式(9)，可以推導出軸l 的拉格朗日遞歸動力學方程如下

由式(19)可知，對于多軸系統iL，遍歷火星巡視器的軸鏈拓撲結構有向Span 樹即可完成對巡視器的動力學建模。由此可見，針對高自由度的火星巡視器動力學建模問題，本文的動力學方法可以動態地建立基于運動軸的有向Span 樹，具有完全參數化、分層迭代式的優點，較傳統的牛頓?歐拉法、拉格朗日法、凱恩法[11?13]及目前國際上的6D 空間算子代數法[14?15]具有更低的計算復雜度；同時，該方法引入了運動鏈符號系統，具備了偽代碼的功能，使得計算機編程更加簡單，計算效率高于傳統的拉格朗日遞歸法，適用于高自由度、可變拓撲的機器人動力學建模問題。

在建立系統動力學方程后，緊接著就是方程求解的問題，此為本文后續的工作重點，根據文獻[9]，可將式(19)更進一步表達為規范型方程，并進行多軸系統動力學求解，對此本文不再展開討論。

3 輪土力學與輪式系統移動維度研究

輪土作用力是輪式多軸系統移動的動因，利用輪土力學知識預測火星巡視器的車輪?土壤相互作用性能，對巡視器的輪土作用力識別、動力學控制具有重要意義。Bekker 輪土模型目前應用廣泛，但該模型沒有定義驅動輪與土壤相互作用過程中相關物理參數的參考系。因此，本文將鏈符號系統引入經典Bekker 輪土模型，以提高其準確性。

3.1 Bekker 輪土力學

Bekker[16]輪土力學模型是專門為彈塑性土和剛性驅動輪設計的作用力模型，該模型建立基于水平地形及重力方向載荷。

(1)輪土作用幾何關系

圖5 輪土模型幾何關系Fig.5 Geometrical relationship of terramechanics model

根據圖5 所示幾何關系，可得

則輪速v 表達為

(2)改進的輪土應力模型

根據文獻[17]，可得正應力σ(z)及剪應力κ(z)的表達式，Yoshida 等[18]應用法向最大應力角θm、泥土進入角θ1、輪半徑r、滑移率將σ(z)及κ(z)的表達式修改為

式中：S(θ)和C(θ)分別代表θ 的正弦與余弦；其他的輪土參數如表2 所示

表2 輪土參數Table 2 Terramechanics parameters

給定輪土參數及滑移率，由式(27)得到θm，由式(24)及 式(25)分 別 得σm及κm；然 后，由 式(26)得σ1(θ)，σ2(θ)，κ1(θ)及κ2(θ)。

由正應力分量σ(θ) ?C(θ)、剪應力分量κ(θ) ?S(θ)及式(24)至式(26)，得到輪地接觸點Ol對輪的正壓力表達式

可以證明正壓力Nllˉ是關于進入角θ1的單調函數，即

(3)牽引力、牽引力矩及側向力

圖6 滑移角Fig.6 Slip angle

式中：A 為輪地 接觸面（m2）；為 滑 移 角；B 為 常 數（1/rad）；為正壓力（N）。

3.2 輪地接觸約束方程

理想的輪地接觸可視為接觸副，該接觸副僅約束了關節速度而不是位形，故接觸副存在單邊約束，即輪地正壓力總大于等于零。

記u″矢量空間為接觸副u″Ok″的約束矢量空間，它是u 的子空間，u″位形空間除維度不同外，與矢量空間u 基本一致。因此，可以定義約束副u″Cu。

接觸副u″Ok″的約束要求體u″不能刺入體k″中，故有

記接觸面法向支撐力為u″Sfk″S，接觸條件為

由式(33)至式(35)表明接觸副約束是不等式方程組。

下 面 建 立 接 觸 副u″SOk″S的 單 邊 約 束 方 程。考慮接觸副u″SOk″S，接觸點記為u″S，接 觸力記為，接觸點位置記為uru″S。接觸副u″SOk″S是特殊的運動副u″Skk″S，其 中 一 個 平 動 軸 受 單 邊 約 束，轉 動 軸 受控。記u″對k″施 加 的i|u″Sτk″S或i|u″Sfk″S為 廣 義 約 束力，i|u″JuS及i|k″JkS為 廣 義 約 束 雅 可 比 矩 陣。考 慮 單位質量及轉動慣量，則有

式中

由式(33～39)得

至 此，式(40～42)建 立 了 接 觸 副u″SOk″S的 單 邊約束方程。顯然，輪地接觸的前向牽引力及側向力是正壓力的函數，輪地作用的合力與正壓力成正比。因此，該合力也是單邊作用力，通過一個單邊約束方程表征。

基于上述Bekker 輪土力學代數方程及式(19)，可得完整的巡視器動力學模型，其中包含與25 個軸對應的25 個動力學方程、與一個差速器對應的一個約束方程及與6 個輪地接觸點對應的6 個輪地接觸單邊約束方程。

4 仿真平臺實現

基于VS2013 軟件中的MFC 框架，采用C++語言開發了火星巡視器三維可視化仿真平臺，在仿真平臺中，建立了模擬地形場景及一類典型火星巡視器三維模型。仿真平臺主要動力學參數中，巡視器車體質量127 kg，相對于本體系的三軸主轉動慣量為[40,40,40] kg·m2，車輪質量為3.674 kg，主轉動慣量為[2,2,2] kg·m2，其余部件的質量和轉動慣量較小。以如圖7 和圖8 所示的火星表面模擬環境為場景，進行可視化仿真分析，巡視器可根據期望的移動路線、速度及加速度移動，同時在期望路徑上完成原地轉向、直線移動、圓弧運動等基本行為。

圖7 巡視器沿曲線行駛Fig.7 Rover trajectory:curvature steering

圖8 巡視器原地轉向Fig.8 Rover trajectory:circling around

圖9～14 給出了巡視器在圖7 模擬場景下的運動狀態及對應的方向機力矩、角度，車輪角速度、力矩，巡視器姿態及速度曲線圖。其中，每幅圖的點劃線、虛線及實線分別與火星巡視器部分結構的前、中及后部件對應。

圖9 方向機力矩Fig.9 Steering gear torque

圖10 方向機角度Fig.10 Steering gear angle

圖11 車輪角速度Fig.11 Angular velocity of wheel

圖12 驅動輪力矩Fig.12 Wheel torque

火星表面重力加速度設為3.72 m/s2，圖9～14表明巡視器由起始至5.0 s 時的動力學過程，包含500 仿真步，每步10 ms。圖9 表明巡視器在行駛過程中方向機力矩變化較大，這是車輪接觸崎嶇地形導致的結果。圖10 表明兩側方向機角度變化幅度較小，因為前5 s 內火星巡視器剛開始與地面接觸。圖11 表 明 左 側 車 輪 角 速 度 由-2.0 (o)/s 至2.1 (o)/s變 化，右 側 車 輪 角 速 度 由-1.2 (o)/s 至2.1 (o)/s 變化；且右側車輪角速度變化幅度大于左側，符合轉向特性。圖12 反映6 個車輪所受到輪土力矩隨著輪土作用而逐漸變化，且輪土支撐力之和小于巡視器在火表加速度下的總重力。圖13 和圖14 反映了巡視器的前5 s 姿態坐標是(200,200,0)，且巡視器以約0.1 m/s 速度前進時三軸的平動速度及轉動速度，其中巡視器的偏航角變化較大，這是由于巡視器在崎嶇的火表地形沿曲線行駛，前側驅動輪較后側驅動輪的沉陷量大，反映了地形模擬的真實性。

由于火星表面環境具有復雜性與不確定性，傳統的被動六輪搖臂-轉向架火星巡視器只能被動地適應地形，在不確定強的地表不能進行自我調節，例如：巡視器行駛在松軟地形時易發生車輪沉陷等問題。本文巡視器采用主動式搖臂結構，具有主臂與車體、副臂與主臂的角度控制功能，例如：在復雜的火表中，通過巡視器懸架的主動變形，改變了巡視器移動系統的質心相對位置，可以實現車體高度調整、抬輪、“蟹形”移動等，增加了對不確定性地表的適應能力，更加適合巡視器探測崎嶇復雜地形。

圖13 巡視器姿態Fig.13 Attitude of the Mars rover

圖14 巡視器速度Fig.14 Speed of the Mars rover

5 結 論

針對中國未來行星表面探測任務的復雜性與不確定性，本文對火星巡視器動力學原理進行了研究。首先對火星巡視器的結構進行介紹并采用自然坐標系統描述巡視器移動系統。然后對本文的基本符號進行定義，建立了巡視器的樹形拓撲結構，應用鏈符號系統推導了多軸拉格朗日方程，計算能量對關節速度和坐標的偏速度及對時間的導數，遍歷巡視器拓撲結構即可完成巡視器的動力學建模，該動力學方法具有完全參數化、分層迭代式的優點。接著，通過改進的輪土應力模型，得到輪地作用力和力矩，同時建立了輪地作用接觸副的約束方程，用于后續巡視器動力學建模。最后，在開發的可視化仿真平臺對巡視器模型進行測試。結果表明，巡視器可以根據期望的速度及加速度移動，同時可在平坦或崎嶇地形完成原地轉向、直線、圓弧移動等基本行為，體現了本文動力學方法的有效性與優越性，對中國未來行星車動力學研究及仿真軟件的開發具有借鑒意義。