弱撞擊對接機構動力學特性建模

陳傳志，汪 捷，陳金寶，鄧衛華，崔繼云

（1.南京航空航天大學航天學院，南京211106；2.深空星表探測機構技術工業和信息化部重點實驗室，南京211106；3.航天東方紅衛星有限公司，北京100094）

弱撞擊對接機構（Low impact docking mecha?nism, LIDM）是當前空間交會對接任務中最具潛力的新型對接機構之一，為中國未來的載人航天工程、探月工程以及國際空間站的建立與對接等提供很大的應用價值[1]。為保證空間對接機構在任務過程中精準地完成捕獲對接，對于空間對接機構在捕獲階段工況下的動力學建模與分析是十分有必要的。通過系統建立的動力學模型，可以從理論上研究力與力矩對于運動之間的關系，掌握運動下驅動力的變化幅度，了解捕獲階段的運動學關系，為后續的動力學機械特性研究與尺寸優化設計等提供基礎。

早期的航天器對接任務并沒有考慮對接機構的具體結構形式，只是單純地把對接機構當成一個鉸鏈或是彈簧阻尼等去考慮，例如Grubin[2]將航天器視為剛體，而對接機構直接視為一個接觸點，分析了對接過程中不同階段的接觸力大小。隨著對接動力學的發展，后續的學者逐步開始考慮對接機構本身對于交會對接任務中的影響，例如Ward等[3]在二維平面中分析了在不同的初始對接工況下，“錐?桿”式對接機構圓錐導引面對于捕獲階段的作用。國內學者對于對接動力學的研究起步于20 世紀80 年代。洪嘉振等[4]在多體系統的碰撞動力學、柔性多體系統動力學的建模理論、變拓撲多體系統動力學等研究領域做出重要貢獻，最早利用經典碰撞理論分析了空間對接。陳占濤[5]開展了異體同構周邊式液壓對接機構的動力學分析，并分析了帶有撓性附件的剛體飛船對對接碰撞的動力學響應研究。近些年來涉及對接機構的建模，多是針對不同類型的對接機構在捕獲、對接碰撞、剛性鎖定階段的多剛體動力學方程建模、仿真與試驗設計。關英姿等[6]分析了航天器對接過程中的緩沖階段，建立接觸力模型并將周邊式對接機構看作等效緩沖彈簧阻尼系統建立動力學模型。時軍委等[7]以神舟飛船的對接機構為研究對象，介紹了工程領域中研制階段仿真的任務規劃，給出了對接機構在仿真分析過程中的捕獲緩沖參數設計、數字樣機、對接過程動力學仿真評估、試驗驗證與模型修正，以及對接動力學試驗等。王曉雪[8]基于拉格朗日方程對一類非合作衛星目標對接捕獲機構建立了動力學模型。尤超藍等[9]以內翻式的異體同構周邊式對接機構為研究對象，分析了機構在對接捕獲階段的三體力元模型。李隆球等[10]設計了一種輕小型三臂型非合作目標衛星對接機構并進行了相關運動學與機械臂的動力學分析。

空間弱撞擊對接機構利用力反饋柔順控制技術代替傳統的差動式緩沖組件，可以說，其柔順控制技術的基礎在于完整的捕獲動力學模型上，控制系統的數字模型可以由動力學模型直接提供。為了保證空間對接機構在任務過程中精準地完成捕獲對接，需要研究空間對接機構在捕獲階段工況下的動力學建模過程。本文基于空間弱撞擊式對接機構的構型特征，利用拉格朗日方程建立其捕獲動力學方程，了解捕獲階段的力與運動的傳遞關系。利用MATLAB 計算出相關的動力學參數，并與ADAMS 聯合，驗證了模型的正確性。驅動力的計算分析研究對于弱撞擊對接機構本體的機械結構、控制系統研發優化等工作提供理論與數據支持，為論文后續優化設計與控制算法提供基礎的數字模型。

1 運動學模型建立

1.1 弱撞擊對接機構結構概述

弱撞擊式對接機構在機械結構上包含了負載環（Load sensing ring, LSR）、六維力傳感器、驅動臂系統、電磁捕獲系統等，如圖1 所示。LIDM 擁有一個六自由度動平臺，即對接環，通過控制6 根執行推桿的伸出量來完成期望的對接環位姿。

圖1 弱撞擊對接機構Fig.1 Low impact docking mechanism

六維力傳感器實時監控捕獲階段的碰撞力/力矩,并以作用于LSR 質心處的時變載荷形式反饋。因此，將捕獲過程中弱撞擊對接機構處產生的碰撞力簡化為作用于對接環質心處的時變載荷。

1.2 負載傳感環的位置姿態描述

描述弱撞擊對接機構的機構參數，抽象結構簡圖分別如圖2 和3 所示。建立兩個坐標系{a}和{A}：動坐標系{a}固定在負載傳感環上，基坐標系{A}固聯于基環上。具體表述如下：機構的基座平臺與LSR 對接環分別分布有6 個虎克鉸，相應上下鉸鏈連接有驅動臂執行推桿。每根執行推桿包含有一個移動副?，F以基座平臺的中心點O 建立基坐標系O?XYZ，Z 軸垂直基座平臺的基準平面指向LSR，X 軸與Y 軸在基座平臺基準平面，構成右手坐標系。以LSR 環心O1為中心，建立隨體坐標系O1?X1Y1Z1，Z 軸平行LSR 縱向對稱軸朝外，與X 軸和Y 軸構成右手坐標系。記O?XYZ 6 個鉸鏈點為A1～A6，O1?X1Y1Z16 個 鉸 鏈 點 為a1～a6，這12 個 鉸鏈點在各坐標系中是固定的?，F為研究方便，令A1～A6處于半徑為R0的外接圓上，a1～a6處于半徑為r0的外接圓上，且相鄰較近的一對鉸鏈點與中心的結構角分別記為js、jx，且沿中心對稱分布。

圖2 弱撞擊對接機構坐標系Fig.2 Coordinate system of low impact docking mechanism

圖3 結構簡圖Fig.3 Structure diagram

{a}在{A}中的位置由位置向量P=[x, y, z]T表示，即{a}的基點在{A}中的位置表示。{a}在{A}中的姿態由旋轉矩陣θ=[α, β, γ]T表示?？柕そ铅?、β、γ 的物理意義：將{a}的初始姿態與參考系{A}重合，首先將{a}繞X 軸轉α 角，再繞Y 軸轉β 角，最后繞Z 轉γ 角。因為三次旋轉都是相對于固定坐標系{A}而言的，故得相應的旋轉矩陣R 如下

同時負載傳感環的位姿參數矩陣可以表示為

1.3 驅動臂的位置姿態描述

LIDM 各驅動臂分支結構組成相同，為更清晰地描述僅取一個驅動臂分支完成運動學分析，單驅動臂分支的結構模型如圖4 所示。O 為LIDM 基座的中心，O1為LSR 的中心，ai與Ai分別為驅動臂電動推桿與LSR 和電動缸與基座的鉸接中心。在驅動臂電動推桿、電動缸的質心位置建立參考坐標系O3?X3Y3Z3和O2?X2Y2Z2。參考坐標系O3?X3Y3Z3和O2?X2Y2Z2各個軸平行，其中Z2和Z3軸沿驅動臂軸線方向由根部鉸鏈點指向頂部鉸鏈點，X2和X3軸平行于虎克鉸鏈的旋轉軸，Y2和Y3軸符合右手法則。

圖4 驅動臂坐標系簡圖Fig.4 Driving arm coordinate system diagram

現在需求出驅動臂電動推桿、電動缸質心坐標系到基坐標系的旋轉變換矩陣Ti。由于參考坐標系O3?X3Y3Z3和O2?X2Y2Z2各個軸平行，則旋轉變換矩陣是一致的。

這里從1.1 節的坐標系規定中可以得出，由動坐標系相對基坐標系的姿態易得相應驅動臂所在方向上的單位向量ui

式中：P 為{a}相對于{A}中的位置矢量；ai為頂部鉸鏈點在{a}中的坐標表示；Ai為根部鉸鏈點在{A}中的坐標表示；R 為對應的旋轉矩陣。

這里單位向量ui與驅動臂電動推桿、電動缸質心坐標系的Z 軸同向，可以看成是由在基坐標系下沿Z 軸的單位向量eZ繞某一旋轉軸旋轉一定角度來得到相應的單位向量ui。

旋轉角度由兩向量的點乘獲得

旋轉軸由兩向量的叉乘獲得

將Li單位化即可得到其相對于基坐標系的方向余弦p1、p2、p3。

由方向余弦與轉角信息可以求得歐拉參數

方向余弦矩陣可以由歐拉參數表示

1.4 驅動臂伸縮速度與負載傳感環之間的運動學關系

ai為頂部鉸鏈點在{a}中的坐標表示，Ai為根部鉸鏈點在{A}中的坐標表示。驅動臂的方向矢量li滿足

將式（8）展開可以得到

驅動臂當前伸縮長度表示為

驅動臂與負載傳感環之間的速度關系可以由一個運動雅克比矩陣表示[11]

1.5 驅動臂頂部鉸鏈點速度、角速度與負載傳感環之間的運動學關系

負載傳感環姿態角參數α、β、γ 采用了卡爾丹角描述方法，其對時間的倒數并不是平臺的角速度，但它們之間有式（13，14）成立[12]

式中ω0表示負載傳感環在{A}中的空間角速度。

因此，以負載環質心為參考點，各驅動臂頂部鉸鏈的速度可由負載環的質心速度與相對角速度合成表示

式中v0為負載環質心速度。

如果設第i 根推桿的角速度為ωi，第i 根推桿的桿長為li，以根部鉸鏈為參考點，各驅動臂頂部鉸鏈速度又可以表示為

顯然，式(15)和(16)等價，通過聯立可以得到

不考慮驅動臂推桿繞自身軸線的轉動，則有

成立。

對式(17)左右同時叉乘單位向量ui，并代入式(18)進行化簡，可以得到各驅動臂推桿角速度表達式式中：ui為對應驅動臂的單位向量；vsi為對應頂部鉸鏈的速度矢量；li為對應驅動臂的長度大小。注意：該角速度是在基坐標系下的形式。

1.6 驅動臂電動推桿、電動缸桿質心在基坐標系下的位置矢量與質心速度

這里將驅動臂分成電動推桿和電動缸兩部分來考慮:設置參數，電動缸的長度為lx，電動推桿的長度為ls，且質量分別為mx和ms，電動缸質心到根部鉸鏈距離為lex，電動推桿質心到頂部鉸鏈距離為les。

電動缸質心位置矢量

電動推桿質心位置矢量

電動缸質心速度

電動推桿質心速度

2 動力學模型建立

動力學方程采用拉格朗日求解，空間先不考慮勢能，需要求解LIDM 的動能和廣義慣性力，把對接機構分解為2 個子系統來分別考慮，即負載傳感環和6 根驅動臂。首先在基坐標系下，推導這兩個子系統的動能，推導廣義慣性力，然后來推導整體的動力學方程。

2.1 負載傳感環的動能與勢能

根據式(13)可知負載傳感環的空間運動角速度為ω0，則負載傳感環的平動和轉動的機構動能K0為

式中：m0為負載傳感環的質量；p 為負載環質心在基坐標下的位置矢量；I0為負載傳感環相對于{a}的轉動慣性張量；ω0為負載傳感環相對于基坐標系{A}下的角速度。

將式(13)代入式(24)并處理矩陣關系，簡化過程略，直接給出關系式如下

式中M 為一個6×6 的矩陣

負載傳感環勢能表達式非常簡單，即

2.2 負載傳感環的動能與勢能

這里將驅動臂分成電動推桿和電動缸兩部分來考慮:設置參數，電動缸的長度為lx，電動推桿的長度為ls，缸體、桿的質量分別為md和ms。將它們看成具有各自轉動慣性張量矩陣的剛體。為了計算其動能相應在基坐標系下的表達，參考1.2 節的姿態描述所得出各根驅動臂的方向余弦矩陣Ti。電動推桿與電動缸的慣性張量一般在自身坐標系進行描述,并令第i 根桿的電動推桿與電動缸慣性張量分別為I1i和I2i（自身坐標系），則電動推桿與電動缸的慣性張量在旋轉后的自身固定坐標系下的表達如下

動能計算中將動參考點選到質心位置，消除平移與轉動的耦合項。動能看成質量集中于質心的質點動能和繞質心轉動動能的簡單疊加。

電動推桿動能

電動缸動能

電動推桿與電動缸的勢能依據式(20)與式(21)可得到

2.3 LIDM 捕獲過程中的廣義慣性力

作用在LIDM 上的主動力主要影響因素包括驅動臂的驅動力與負載環碰撞產生的接觸力。鑒于LIDM 的負載傳感環上安裝有六維力傳感器，碰撞接觸力等均等效為作用在負載環環心的合力。這包含了力與力矩兩個部分[13]。

設位姿信息q= [ x y z α β γ ]T。

取位姿信息為廣義坐標。廣義力是作用于廣義坐標上的力。為了計算廣義力，通過計算系統內全部主動力的虛功，然后將所有的虛位移用廣義坐標的變分表示，各個廣義坐標變分前的系數即為相應的廣義力[12]。設驅動臂關節驅動力為

同時設其余等效合力為

在δt 時間內，設驅動臂關節虛位移量為

系統虛功如下

驅動臂關節變分δX 與δq 存在如下關系

式中J 被稱為速度雅克比矩陣。將式(36)代入式(35)，可以得出廣義力表達式

2.4 LIDM 的動力學方程

拉格朗日方程是確定質點系運動規律的普遍形式動力學方程，可以用來建立不含約束力的動力學方程，也可以用來在給定系統運動規律的情況下求解作用在系統上的主動力。

根據LIDM 所處的外在環境，不考慮對接機構接觸元件的微小變形，故系統拉格朗日方程如下

只需要計算系統的動能、勢能以及廣義力即可應用拉格朗日方程。

總動能

總勢能

拉格朗日函數

將式(37)和(41)代入式(38)即可以得到動力學方程，限于篇幅，這里不給出其具體的顯示表達式。

3 仿真算例及結果分析

3.1 仿真結果

本節將在已知對接環LSR 位姿的條件下，對各個驅動臂產生相應運動時所輸出的驅動力進行仿真驗證。按照以上算法，利用MATLAB 編制程序對系統的動力學進行計算，并利用商業軟件AD?AMS 進行仿真對比驗證。

弱撞擊對接機構的各項參數設置如表1～4 所示。其中表2 動力學參數參考建模過程，為自身坐標系下的數值。

表1 弱撞擊對接機構的基礎構型參數Table 1 Basic configuration parameters of LIDM

表2 系統動力學參數Table 2 System dynamics parameters

表3 驅動臂的控制特性參數Table 3 Control characteristic parameters of driving arm

表4 負載環的參數設置Table 4 Parameter setting of load ring

給予負載環沿Z 軸z=0.1×sin(πt/5)m 的升降運動規律。重力加速度大小g 取0 m/s2。

根據MATLAB 構建的動力學模型，各驅動臂驅動力大小計算結果如圖5 所示。

圖5 各驅動臂的驅動力大小Fig.5 Driving force of each driving arm

下面通過ADAMS 軟件對上述的LIDM 捕獲動力學模型進行仿真運算來驗證以拉格朗日方程建立的動力學模型。首先根據LIDM 的質量、幾何結構組成、運動學參數、受力狀態等在ADAMS 內構建虛擬樣機，設置合理的約束并以直線驅動施加給每根驅動臂。ADAMS 虛擬樣機如圖6 所示。

圖6 ADAMS 虛擬樣機Fig.6 ADAMS virtual prototype

LIDM 通過改變驅動臂的伸縮量來改變LSR對接環的位姿，為了模擬這一過程，事先在MAT?LAB 中通過運動學反解來求解出在上述LSR 對接環運動規律下的各驅動臂工作行程。由于該運動規律定位升降運動，且初始姿態角均為0、系統幾何結構具有對稱性，故6 根驅動臂工作行程一致，如圖7 所示。可見工作行程滿足表3 的控制特性。

在ADAMS 中將上述圖7 中曲線以樣條曲線的形式作為輸入量、以位移類型作為ADAMS 中驅動的輸入，并施加與MATLAB 程序中相同方向的外力，進行ADAMS 的仿真運算，輸出相應的驅動力曲線如圖8 所示。

圖7 各驅動臂的工作行程Fig.7 Working stroke of each driving arm

圖8 各驅動臂的驅動力大小Fig.8 Driving force of each driving arm

為了更加形象直觀，導出圖8 中各曲線數值，并將每根驅動臂的MATLAB 理論值與ADAMS仿真值放在一張圖中進行對比。對比圖如圖9所示。

圖9 一般外力工況下驅動臂驗證結果對比Fig.9 Comparison of verification results of driving arm under general external force conditions

僅改變負載環質心所受的外力作用力[F FM]T=[0 0 0 100 200 0]T，由原先的一般外力工況變更為外力矩工況。依照相同方法求得程序與仿真對比結果如圖10 所示。

圖10 一般外力矩工況下驅動臂驗證結果對比Fig.10 Comparison of verification results of driving arm under general external torque conditions

3.2 結果分析

圖9 與圖10 給出了在已知對接環LSR 位姿的條件下，給對接環施加不同方向的作用力/力矩，兩種工況下各個驅動臂所輸出的驅動力的仿真驗證對比圖。從圖中可見，ADAMS 仿真結果趨近MATLAB 的理論值，這里考慮到理論模型與仿真模型之間存在有鉸鏈空間、樣條曲線的插值轉化等不可避免的誤差情況，如果忽略這些因素，兩者的計算結果基本一致。由此得出，ADAMS 的仿真結果驗證了由拉格朗日方程建立的LIDM 捕獲動力學模型的正確性，捕獲動力學的建立為控制算法的搭建與優化算法的進程提供了數字模型。

4 結 論

本文研究了弱撞擊對接機構在捕獲階段的動力學建模方案。通過將外部載荷簡化為LSR 對接環質心，以LSR 隨體坐標系相對基坐標系的位姿作為廣義坐標，利用拉格朗日方程建立了系統的捕獲動力學方程，方程構成形式簡潔，易于求解。此外，通過MATLAB 計算出相關的動力學參數，同步建立了ADAMS 仿真模型，驗證了模型的正確性。驅動力的計算分析研究對于弱撞擊對接機構本體的機械結構、控制系統研發優化等工作提供理論與數據支持。但本文視各鉸鏈為理想鉸鏈，未考慮鉸鏈間隙、關節摩擦等帶來的影響。因此后續研究將考慮關節間隙、精度、結構優化等問題的求解。