周期分布壓電纖維復合材料平面問題研究

楊繪峰，高存法

（1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016；2.江蘇科技大學船舶與海洋工程學院，鎮江212003）

功能復合材料是指由功能相和基體組成的，除機械性能以外還具有其他物理性能（如導電、超導、半導、磁性、壓電等）的多組分材料系統。隨著科技的進步，功能復合材料向著智能化的方向發展。人們把具有自感知、自適應和自決策能力的新型材料系統，稱為智能復合材料。同時兼具感知與驅動特性的基礎功能材料在很大程度上決定了智能復合材料的潛能，壓電材料因其固有的力?電耦合特性，是一種常見的基礎功能材料。壓電纖維復合材料同時兼具壓電陶瓷的力電耦合特性和聚合物基體的韌性，從根本上提高了壓電器件的工作能力和應用范圍，能夠適應更為苛刻的使用環境。

復合材料中的粒子或纖維在力學分析中常被稱為夾雜。Pak［1］較早關注了壓電夾雜問題。Chen 等［2］基于解析延拓的方法導出了均勻熱流、反平面剪切載荷和面內電載荷共同作用下三相壓電復合材料應力場的精確解。應用類似的方法，Shen 等［3］研究了在遠場反平面剪切和面內電場作用下，無限大壓電介質中壓電螺型位錯與含涂層的圓形夾雜的相互問題。后來，他們又研究了在反平面機械載荷和面內電載荷作用下，無限大區域中任意形狀的涂層夾雜問題［4］。Zhong［5］利用復變分方法，得到了含部分脫粘橢圓夾雜的壓電介質在反平面剪切載荷和平面內電載荷作用下的一般解。Dunn 和Wienecke［6］基 于Eshelby 理 論 分 析 了 橫 觀各向同性壓電材料中含球形夾雜的電彈性場問題，得到問題的顯式封閉表達式，該方法具有形式簡單、通用性強的特點。Tong 等［7］提出了一種在多物理場（熱場、電場、磁場和彈性場）耦合作用下分析纖維復合材料面內受力的三相圓柱模型。通過引入與熱電磁彈性效應相對應的本征應變，將復雜的多場耦合問題歸結為一個形式化的平面內彈性問題，得到了一個精確的理論解。Xiao 等［8］基于Eshelby 等效夾雜理論分析了彈性基體中含有單個壓電夾雜的平面問題，將夾雜問題部分解耦為彈性問題和介電夾雜問題，利用Tanak?Mura 的疊加法得到了夾雜周圍應力分布的顯式封閉解。后來，他們又研究了壓電纖維與附近裂紋相互作用問題［9?10］。

上述的研究對象大多數是針對單個夾雜的情況，這通常對應于壓電纖維所占復合材料體積分數比較小且纖維之間距離較大的情況。當在復合材料某個局部出現纖維密集排布時，密集排布的纖維會產生一定的相互影響，這時候可以簡化為無限大基體中含有多個夾雜的情況。Wu 等［11］基于保角變換方法和解析延展理論研究了在反平面力載荷和面內電載荷作用下，含有兩個壓電圓形夾雜的無限大壓電介質的電?彈場問題。Xu 等［12］研究了雙周期壓電纖維復合材料在反平面剪切和平面內電載荷耦合作用下的力學行為，利用雙準周期Rie?mann 邊值問題理論，結合本征應變和本征電場的概念，提出了一種嚴格的解析方法。隨后，他們用同樣的方法分析了含界面相的情況［13?14］。Dai 等［15］研究了有限區域的電致伸縮固體內含兩個任意形狀孔的電?彈場問題。基于Stroh 理論和復變函數理論，楊賓華［16］系統地研究了界面相對1?3 型含壓電纖維復合材料電彈場的影響，討論了界面相與多壓電纖維相互作用，研究的內容涵蓋反平面問題和平面問題。

綜上所述，對于壓電夾雜局部電?彈場問題，無限大基體中含有單個壓電夾雜或多個壓電夾雜的二維問題已有大量報道，這種模型通常對應于壓電纖維體積分數比較低或者有壓電纖維局部密集分布的情況；通常情況下，為了便于實現機械化和自動化生產，復合材料中的纖維排布常具有某種周期性，針對壓電纖維周期排布且纖維體積分數比較大時，已有的研究多見于反平面剪切問題［12?14］，而平面問題的研究還鮮有報道。本文將基于復變函數理論和線性壓電理論，研究含周期正方形分布壓電夾雜的復合材料平面問題，試圖探討夾雜體積分數、各組分模量、外加電載荷對壓電夾雜周圍局部應力場的影響，并對復合材料有效剛度和等效壓電常數進行預測。

1 問題描述

如圖1 所示，考慮一含雙向周期正方形排布的圓形壓電夾雜的彈性體。圓形壓電夾雜半徑為R，受到沿極化方向（x3軸）的均勻電載荷E∞3，在基體遠端受到均勻載荷σ∞11、σ∞22和σ∞12的作用。此時可簡化為含一壓電夾雜的方形單胞，方形單胞邊長為a，基體與夾雜所占區域分別定義為Sm和Sf（此后，在不加說明的情況下，上標或下標帶有“m”“f”的量分別表示基體、夾雜區域的相關量），兩者相鄰界面為L，并假設基體和夾雜完全粘接。

圖1 含周期分布壓電夾雜的二維彈性體及其正方形單胞Fig.1 Elastomer with periodic piezoelectric inclusions and the corresponding square unit cell

2 理論基礎

此問題涉及普通彈性體的平面問題和壓電彈性體的平面問題，故有必要對相關的基礎理論做簡單介紹。

對于普通彈性基體區域的平面問題，在忽略體力的情況下，在x1?x2面內存在的位移分量有u1m(x1，x2) 和u2m(x1，x2)，存 在 的 應 力 分 量 有σ11m(x1，x2)、σ22m(x1，x2)和σ12m(x1，x2)，應力分量和位移分量與域內復勢函數有如下關系［17］

如圖2 所示，沿彈性體邊界AB 積分后得到平面問題的應力邊界條件［17］

式中X1m和X2m分別表示沿彈性體邊界上作用的外力。

若在邊界上給定位移分量

則，位移邊界條件可表示為［17］

圖2 作用在二維連續體邊界上的外力Fig.2 External force acting on the boundary of a two-di?mensional continuum

假設壓電體在x1?x2平面內施加機械載荷，而沿著極化方向（x3軸）施加常電載荷，對于此類問題，為了研究方便，采用橫觀各向同性的壓電截面作為分析平面，可將分析平面的場變量與垂直于平面（x3軸方向）的場變量解耦，分析平面內的力學問題可簡化為二維問題，壓電材料的位移函數和電勢函數可以表示為［16］

式中：u1f、u2f、u3f分別表示沿坐標軸x1、x2、x33 個方向的位移分量；Φf為電勢。x1?x2平面內的真實應力場與復勢函數之間的關系為［16］

式中：φf(z)和ψf(z)稱為壓電彈性體平面問題的兩個獨立的復勢函數；e31f為材料壓電系數。

仍參考圖2，沿壓電彈性體邊界AB 積分后可得壓電材料平面問題的應力邊界條件［16］

式中X1f和X2f分別表示沿壓電彈性體邊界上作用的外力。

壓電材料平面問題的位移邊界條件和普通彈性材料表達形式相同［16］

3 問題求解

根據復勢函數基礎理論［17］，壓電夾雜的復勢函數可以表示為

彈性基體中的復勢函數可以表示為

式中：an、bn、cn、dn、en、fn為待定的復常數；Pn(z)為方形域Faber 多項式［15］

在彈性基體與壓電夾雜的相鄰邊界L 上，假設粘結完好，則位移和法向應力在經過各相相鄰的邊界L 時都不會發生突變，連續性條件可表示為

根據平面問題的場變量與復勢函數的關系，連續性條件可以用復勢函數表示成如下形式

將各區域的復勢函數式（9）和式（10）代入連續性條件式（12），在邊界L 上z=Rσ，由此得到一個關于σ（可視為單位圓上的任意點σ=ei?θ）的方程組，形式如下

等式成立的條件是方程組式（13）中σn次項前面的系數相等，由此可得

將復常數中的實部和虛部解耦，方程組式（14）可以表示成如下形式

其中

A 和B 分 別 為 已 知 的8N ×8N 和8N ×4M 實矩陣；Vel為電載荷相關的8N ×1 列向量。

對A 矩陣取逆，并定義

在正方形單胞的外邊界ABCD 上，應滿足周期性邊界條件，形式如下［18］

式中Δn(n=1，…，4)表示單胞中兩對邊上相應的位移增量。將基體區域復勢函數式（10）代入式（3），然后代入平面問題的周期性邊界條件式（19），可得

式中zAB、zCD、zCA和zCA分別為邊界AB、CD、DB 和CA 上的任意點，并滿足

對于周期性邊界條件式（20），本文將采用配點法進行處理，在邊界ABCD 上均勻選取K 個配點，如下

將式（21）代入式（20），可以列出8K 個線性無關的方程，記為

式中C 和D 分別為已知的8K×4N 和8K×4M 實矩陣。

將式（18）代入式（22），得

將式（24）和式（25）代入式（10），得基體區域的復勢函數

式中

式中

在正方形單胞的邊界上應力的平均值應該等于施加在遠場的外載荷，由此確定正方形單胞對邊的位移增量Δn(n=1，…，4)，單胞對邊的位移增量應滿足如下方程

根據上述方程組便可求出增量Δn(n=1，…，4)。一旦Δn(n=1，…，4)確定，便求解出所有的復勢函數，相應地，整個材料的位移場和應力場便可由式（1～3）完全獲得。

根據平均場理論［19?20］，復合材料的有效平面剛度定義如下［18］

平均化后可得壓電纖維復合材料等效壓電應變常數deff31的表達式

4 數值分析

本文選取壓電纖維的材料常數PZT?5H 如表1所示［8］，假設基體材料的泊松比μm=0.3。為了分析問題方便，本文取材料常數的比值來進行數值模擬，在遠處作用于基體上的載荷均采取量綱化為一處理。

為檢驗方法的準確性，當纖維的體積分數減小到某個值時，可視為無限大彈性基體域內含有一壓電夾雜的情形，而這種情形是有封閉解的［16］。取單胞邊長a=40，壓電夾雜位于單胞中心位置，半徑R=1，夾雜體積分數（Volume fraction，VF）約為0.002。經計算，此時可視為無限大基體中含單個壓電夾雜的情形。圖3 給出了壓電夾雜周圍的基體中環向應力與理論解的對比情況，可謂完全吻合。

表1 PZT?5H 材料參數(彈性常數Cij(1010N/m2)，壓電常數ekl(C/m2)，介電常數εmn(10-10C/(V ?m)))Table 1 Material parameters of PZT?5H ( Elastic coefficients Cij(1010N/m2), piezoelectric coefficients ekl(C/m2), dielec?tric coefficients εmn(10-10C/(V ?m)))

圖3 本文結果與已知解的比較Fig.3 Comparison between our solutions and previous solu?tions

圖4 研究的是壓電纖維體積分數不同時，在x2軸方向施加固定的力載荷、在x3軸方向施加不同的電載荷，纖維周圍量綱化為一的環向應力沿基體與壓電夾雜相鄰界面L 的變化情況。可以看出，當夾雜模量比基體小時，壓電夾雜體積分數增大會使環向拉應力增大，環向壓應力減小；正向的電載荷也會使環向應力增大，環向壓應力減小。反之，如圖5 所示，電載荷對環向應力基本沒有影響。

圖4 體積分數和電載荷不同時軟夾雜周圍環向應力場Fig.4 Hoop stress around a soft inclusion under different volume fractions of the inclusion and electrical load?ings

圖5 電載荷不同時硬夾雜周圍環向應力場Fig.5 Hoop stress around a hard inclusion under different electrical loadings

圖6 電載荷不同時基體區域等效應力云圖Fig.6 Equivalent stress contours of the matrix under differ?ent electrical loadings

圖6 研究的是僅在x1軸方向施加力載荷、在x3軸方向施加不同的電載荷，基體區域量綱化為一的Mises 等效應力分布 情況。可以發現，當壓電夾雜模量較小時，電載荷會對等效應力分布產生顯著影響；施加的正向的電載荷有可能會使沿基體與夾雜的相鄰界面L 上的最大等效應力值位置相對于無電載或施加反向電載荷時發生90°改變；施加反向電載荷會影響等效應力大小，但不會改變應力分布形式（曲線L 上的最大等效應力值位置不會發生改變）。而當壓電夾雜模量較大時，電載荷對應力場的大小或分布影響微弱。

圖7～10 給出了含不同夾雜特性的復合材料的有效剛度隨夾雜體積分數變化情況。從圖中可以看出，有效剛度S32、S23、S13、S31總是為零，既不依賴夾雜和基體的模量，也不依賴夾雜的體積分數，這意味著復合結構面內的切應變與面內的線應變相互獨立，整體呈現正交各向異性。同時，還可觀察到S11總是和S22相等，這是因為單胞的微觀結構具有四方對稱性。當夾雜體積分數趨近于零時，有效剛度S33/Em趨近于0.385，S33/Gm趨近于1，這也間接驗證了該方法的正確性。如圖11 所示，在相同的夾雜體積分數下，當基體的模量較小時，壓電纖維復合材料具有較大的等效壓電應變常數（取絕對值）。當基體模量增大后，等效壓電應變常數迅速減小。

圖7 復合材料有效剛度中非零值量隨軟夾雜體積分數變化情況Fig.7 Nonzero effective stiffness of the composites with varying volume fractions of soft inclusions

圖8 軟夾雜體積分數不同時計算得到的復合材料有效剛度中的零值量Fig.8 Zero effective stiffness of the composites calculated by this method under different volume fractions of soft inclusions

圖9 復合材料有效剛度中非零值量隨硬夾雜體積分數變化情況Fig.9 Nonzero effective stiffness of the composites with varying volume fractions of hard inclusions

圖10 硬夾雜體積分數不同時計算得到的復合材料有效剛度中的零值量Fig.10 Zero effective stiffness of the composites calculated by this method under different volume fractions of hard inclusions

圖11 等效壓電應變常數隨夾雜體積分數的變化情況Fig.11 Effective piezoelectric strain coefficient with varying volume fractions of the inclusions

5 結 論

基于復變函數理論和線彈性壓電理論，本文研究了含周期分布壓電夾雜的復合材料平面問題。對于單純的壓電纖維功能復合材料，當壓電纖維在兩個方向上周期正方形分布時，可以簡化為含一個壓電夾雜的正方形單胞。根據復勢理論，先給出單胞中各區域的用待定系數表示的復勢函數，然后根據連續性條件、周期性邊界條件和遠場加載條件求出待定系數，進而得到復合材料有效剛度。計算發現，當壓電夾雜模量較小時，壓電夾雜體積分數增大會使環向應力大小發生改變，施加正向的電載荷有可能會使基體與夾雜相鄰界面L 上的最大等效應力值位置相對于無電載或施加反向電載荷時發生90°改變，施加反向電載荷會影響等效應力大小，但不會改變應力分布形式；當壓電夾雜模量較大時，施加的電載荷對環向應力和等效應力的影響都不大；當壓電夾雜與彈性基體的模量相對大小不同時，發現在相同的加載形式下，基體與壓電夾雜相鄰的界面上最大環向應力的出現位置相差90°；當壓電纖維在彈性基體內周期正方形分布時，由于微觀結構的對稱性，使得復合材料宏觀上沿兩個對稱軸方向具有相同的剛度；當基體較軟時，壓電纖維復合材料具有較大的等效壓電應變常數。