橋梁動態稱重迭代算法的理論與試驗研究

張龍威，汪建群，陳 寧，孫洪鑫

(湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411100)

隨著國民經濟的高速發展，交通量迅速增長，公路橋梁中的超載現象變得越來越嚴重。超載車輛會造成橋梁不可恢復的損傷，并加速既有病害發展，危及結構安全，甚至造成橋梁坍塌。如何控制超載車輛，防止既有橋梁的狀況加速惡化，已成為橋梁養護管理部門的棘手難題。

目前，監控超載車輛的方式主要有兩種：路面稱重系統和橋梁動態稱重系統。其中，路面稱重系統(weigh-in-motion，WIM)[1]通過在路面埋置傳感器獲取通行車輛的軸重。由于車輪作用于路面傳感器上的響應時間較短，僅有幾毫秒，傳感器附近路面與車輪之間相互振動會影響稱重的精度。當車速較快或路面不平整度較差時，WIM的稱重精度較低。此外，路面傳感器的安裝與更換需要中斷交通才能進行[2]。橋梁動態稱重系統(bridge weigh-in-motion，BWIM)[3- 4]是通過安裝在橋梁主梁底部的傳感器采集車輛駛過橋梁產生的動力響應，反算車輛軸重。相比WIM系統，BWIM系統安裝方便、測試隱蔽，無需中斷交通，用于稱重的響應時間較長(1～5 s左右)，稱重精度高且穩定性好。BWIM系統在美國、日本以及歐洲等廣泛應用[5]。

商用BWIM系統通常選用Moses算法作為核心構架進行橋梁的動態稱重，如：都柏林大學和愛爾蘭ROD-IS公司開發的DuWIM系統，斯洛文尼亞CESTEL和ZAG公司開發的SiWIM系統等[6]。Moses算法最早由Moses[7]提出，是以橋梁跨中位置的理論影響線為基礎，建立軸重求解方程。由于橋梁實際的邊界條件、材料特性等較難真實地模擬，理論影響線與真實影響線之間會存在一定的差異,從而降低稱重精度。針對這一問題，OBrien等[8-9]提出用實測影響線代替理論影響線進行橋梁動態稱重。實測影響線是從橋梁的車橋動力標定試驗數據中提取得到，能夠較真實地反映橋梁的力學特性。修正后的Moses算法具有更高的計算精度，但是Moses算法本身存在一定的局限性，即：軸重求解方程是病態方程，當路面較粗糙或車軸軸距較小時，軸重識別精度較低[10]。為此，Rowley和Gonzalez引入Tikonov正則化技術修正病態方程。這種方法雖然可以提高單軸軸重精度，但是，作為影響計算精度的正則化參數，它的選取需要人為干預，無法通過算法自動選定[11]。

為進一步提高BWIM系統的軸重識別精度，本文提出橋梁動態稱重迭代算法，首先，基于Moses算法，將橋梁實測影響線作為基準影響線識別車輛軸重；然后，將計算得到的車軸軸重作為已知量，用影響線算法反算出橋梁影響線作為新的基準影響線；最后，反復使用Moses算法和影響線算法更新基準影響線和車輛軸重，直到相鄰兩次迭代得到的車輛軸重差值小于或等于閾值為止，所對應的車輛軸重即為橋梁動態稱重迭代算法的計算值。以實橋的車橋動力試驗作為實例，分別用基于實測影響線的Moses算法(后文簡稱：商用BWIM算法)和橋梁動態稱重迭代算法識別車輛軸重，對比分析兩種算法的識別精度，并得出相關結論。

1 橋梁動態稱重理論研究

在商用BWIM系統中：首先，在選定的橋梁進行車輛動力試驗，作為標定試驗；然后，用影響線法從標定試驗數據中提取出橋梁的實測影響線；最后，基于Moses算法，用實測影響線對行駛在橋面上的車輛進行軸重識別[12]。

1.1 Moses算法

Moses算法最早是由Moses提出。該算法以梁橋作為研究對象，假定橋梁為一維線彈性梁，根據橋梁跨中位置的理論彎矩影響線(I)計算出橋梁跨中的理論彎矩響應(MT)，基于最小二乘法原理，擬合出與實測彎矩響應最接近的理論彎矩響應，此時，彎矩響應擬合值所對應的車輛軸重即為橋梁動態稱重的計算值。

在Moses算法中，理論彎矩響應(MT)可通過每個車軸乘以相應的影響線數值再疊加求和得到，其表達式為

(1)

式中：t為影響線和彎矩響應的時刻或車輛在橋上移動的位置；N為車輛的總軸數；Ai為車輛第i個車軸的軸重；Ii為第i個車軸所對應的橋梁影響線坐標值。

對橋梁荷載響應的實測彎矩響應(MM)和理論彎矩響應(MT)之間差值的平方和作最小化處理，建立誤差函數E，如式(2)所示

(2)

式中，K為荷載響應的總時間。誤差函數中，實測彎矩響應為已知量，理論彎矩響應可通過未知的車輛軸重和已知的理論彎矩影響線由式(1)計算得到。根據最小二乘法原理，誤差函數對每個車軸軸重的偏導為零時，誤差函數取最小值。通過求解計算，得出行駛在橋梁上的車輛軸重(詳細過程，可參見Moses的研究)。車輛軸重的表達式為

{A}=([I]T[I])-1[I]T{MM}

(3)

式中，[I]為車輛所對應的橋梁影響線矩陣，維度為K(時間)×N(車軸)。

1.2 影響線算法

影響線算法由OBrien等提出，是指用車橋動力響應信號提取出的橋梁實測影響線代替理論影響線，再以Moses算法計算車輛軸重。相比理論影響線，橋梁實測影響線不僅取決于橋梁的實際剛度，還與橋梁的路面不平整度、車速及車橋耦合效應密切相關。由于橋梁實測影響線是直接從橋梁的車橋動力響應信號提取而來，它在一定程度上更能準確地反映橋梁實際的力學性能。

實測影響線的計算是基于最小二乘法原理，利用橋梁荷載響應測試值和理論值之間形成的誤差函數(如式(2)所示)計算得到。與Moses算法不同，影響線算法的未知量是影響線，車輛軸重為已知量。為了獲取誤差函數的最小值，使荷載響應的理論值能夠準確地預測響應的實測值，對式(2)中的影響線求偏導，并取值為零，如式(4)所示

(4)

式中：I為影響線向量。求解式(4)，并整理結果，可得

{I}=([A]T[A])-1[A]T{MM}

(5)

式中，[A]為車輛軸重矩陣，是已知量。通過式(5)，計算得到橋梁的實測影響線。

1.3 BWIM迭代算法算法

在商用BWIM系統中：首先，對選定的橋梁進行車輛動力試驗，作為標定試驗；然后，用影響線法從標定試驗數據中提取出橋梁的實測影響線；最后，基于Moses算法，用實測影響線對行駛在橋面上的車輛進行軸重識別。由于實橋標定試驗現場條件的限制，通常用于標定影響線的車橋動力試驗次數較少，得到的實測影響線存在欠擬合的情況，較難全面地模擬橋梁真實地受力特性。為解決這一問題，筆者所在研究團隊提出橋梁動態稱重迭代算法。橋梁動態稱重迭代算法的具體計算流程如下所示：

步驟1選定一組車橋動力響應信號，用影響線算法計算出橋梁的實測影響線，作為車輛軸重識別的基準影響線Io；

步驟2基于Moses算法，用基準影響線Io對行駛在橋面上的車輛進行軸重識別。以實測的橋梁動力響應信號MM為例，用式(3)計算得到軸重A1;

步驟3將計算的軸重A1作為已知量，基于影響線算法，用式(5)計算得到新的影響線I1;

步驟4重復步驟2和步驟3的操作，直到軸重的計算結果收斂為止，即|An-An-1|≤ε。

相比于商用BWIM系統，橋梁動態稱重迭代算法用于稱重的影響線不是恒定不變的。在識別車輛軸重時，以基準影響線為依托，通過反復應用Moses算法和影響線算法不斷地更新修正基準影響線，最終用更新后的影響線計算車輛軸重。從理論上講，橋梁動態稱重迭代算法求得的影響線能更好地匹配橋梁動力響應信號，更新后的影響線與車軸軸重的計算值擬合出的車橋動力響應理論值也將更好地吻合實測值。即橋梁動態稱重迭代算法計算得到的車軸軸重更準確。

2 實橋試驗

為了驗證橋梁動態稱重迭代算法的軸重識別精度，本文以湖南省懷化市的舞水五橋引橋作為研究對象進行相關研究。

2.1 橋梁概況

懷化舞水五橋引橋是一座跨度為40 m的簡支梁橋。它由10片T梁組成，橋寬24 m，雙向四車道，兩側分別設有非機動車道和人行道，具體設計參數詳見文獻[13-14]，橋梁的示意圖如圖1所示。

2.2 試驗方案

試驗選定一輛兩軸車作為加載車。加載車總重28.5 t(前軸重7.4 t，后軸重21.1 t)，軸間距4.7 m。在試驗過程中，加載車以30 km/s以內的車速反復從車道三駛過，共10次。

在試驗過程中，在跨中截面兩側的翼緣板下安裝車軸探測傳感器(free-alxe-detector,FAD)獲取車輛類型、軸數、軸距及車速等信息；在主梁跨中截面的每片T梁底部安裝動態應變傳感器作為稱重傳感器，用于識別車輛軸重，如圖1所示，具體位置詳見龍波的研究。試驗采用揚州科動KD4001工具式應變傳感器和日本TML公司的DC-204動態信號采集儀記錄車輛駛過橋梁產生的動態應變信號。數據的采樣頻率為200 Hz?，F場試驗測試系統如圖2所示。

圖1 懷化舞水五橋引橋示意圖[13] (cm)Fig.1 Schematic diagram of Wushui Fifth Bridge approach bridge (cm)

圖2 試驗測試系統Fig.2 Data acquisition system

3 結果與分析

本節基于懷化舞水五橋引橋的車橋動力試驗，分別用商用BWIM算法和橋梁動態稱重迭代算法進行車輛軸重識別，通過對比分析，驗證橋梁動態稱重迭代算法軸重識別的可靠性。

3.1 試驗數據

試驗過程中，橋梁翼緣板處的FAD傳感器和跨中T梁處的稱重傳感器同時采集加載車駛過橋梁產生的動力響應信號。

圖3為10組跑車試驗中的一組信號。其中：圖中的兩條實線分別表示前后兩個FAD傳感器采集的信號。每個車軸經過時會產生一個峰值，利用已知的兩個FAD傳感器縱橋向間距，計算車輛的車速以及軸間距等信息。圖中的點線表示跨中T梁位置所有稱重傳感器動力響應信號的總和。由于稱重算法是一維算法，假定車輛荷載對橋梁動力響應(彎矩/應變響應)不受車輛橫向加載位置的影響，因此，將稱重傳感器動力響應信號之和作為軸重識別的信號。

圖3 車橋動力響應信號Fig.3 Vehicle-bridge dynamic response

3.2 軸重識別結果

在BWIM系統中，橋梁的實測影響線是車輛軸重識別的前提條件。通過上文介紹的影響線算法，計算得到每組車橋動力響應信號相對應的橋梁實測影響線，如圖4所示。這里需要指出的是，考慮到車輛在上橋和下橋時會對橋梁的動力響應產生影響，在計算實測影響線時，在橋梁的前后兩端各取10 m。即：影響線的總長度為60 m(10 m+40 m+10 m)。

圖4 實測影響線匯總圖Fig.4 The calibrated influence lines

由圖4可知，實測影響線總體的變化趨勢相同，峰值相近，都為8左右。但是，每條實測影響線在局部略有不同，上下振動的方向不盡相同。為了全面地反映橋梁的動力特性，商用BWIM算法通常選取多條影響線的均值用于車輛軸重識別。因此，本文選取所有實測影響線的均值分別用兩種算法(商用BWIM算法和橋梁動態稱重迭代算法)對所有的車橋動力響應信號進行車輛軸重識別，計算結果如表1所示。

表1 不同算法的車輛軸重識別誤差匯總表Tab.1 Summary of vehicle axle weight identification errors with different algorithms %

由表1可知：①對于商用BWIM算法，單軸軸重和總重識別誤差的平均值都較低，分別為2.0%(前軸)、-0.7%(后軸)和0%(總重)。但是，單軸軸重的識別誤差不穩定。其中，前軸識別誤差變化的區段為[-47.0%，96.2%]，最大的誤差接近了100%，導致其誤差的標準差較高，達到了49.0%。相比之下，后軸的識別誤差也較大，與相應前軸誤差的大小相近，方向相反。以第三組的計算結果為例，前軸的誤差為5.69 t(7.4 t×76.9%=5.69 t),后軸的誤差為-5.32 t(21.1 t×-25.2%=-5.32 t)，相應總重的誤差為0.37 t。這使得總重誤差的變化范圍較小，為[-1.5%，1.3%]，相應的標準差為0.9%。由此可知，商用BWIM算法車輛總重的識別精度較高，單軸軸重的分配不合理，識別精度較差。②對于橋梁動態稱重迭代算法，車輛總重識別精度較高，其誤差的均值和標準差都較低，分別為0.1%和0.9%。相比之下，單軸軸重的識別精度稍差。其中：前軸軸重的計算值一般小于真實值，其誤差變化范圍為[-30.8%，0.1%]；而后軸軸重計算值普遍大于真實值，其誤差范圍為[-0.5%，9.7%]。前軸軸重誤差的均值和標準差都大于后軸軸重，數值上是相應后軸軸重誤差的3倍左右。③對比兩種算法發現，車輛總重誤差的均值和標準差都較低。這表明兩種算法的總重識別精度都達到了較高的水平。對于單軸軸重，雖然橋梁動態稱重迭代算法單軸軸重誤差的均值大于商用BWIM算法，但商用BWIM算法計算得到的單軸軸重誤差絕對值都不小于橋梁動態稱重迭代算法的計算誤差。以第一組數據為例，橋梁動態稱重迭代算法的軸重誤差絕對值(前軸1.2%，后軸0.5%)明顯低于商用BWIM算法的計算誤差(前軸47.0%，后軸14.4%)。此外，橋梁動態稱重迭代算法單軸軸重計算誤差的標準差(前軸10.8%，后軸3.2%)也明顯低于商用BWIM算法(前軸49.0%，后軸16.3%)。由此說明，相比商用BWIM算法，橋梁動態稱重迭代算法能顯著改善車輛軸重識別的精度。

3.3 分 析

為了研究橋梁動態稱重迭代算法改善軸重識別精度的原理，以表1中的第三組數據為例，繪制出每次迭代稱重后相應的軸重，如圖5所示。圖中的點線表示車輛軸重的真實值，實線表示每次迭代計算后的車輛軸重。這里需要指出的是，當迭代次數為0時，橋梁動態稱重迭代算法等效于商用BWIM算法，即：軸重的計算值與商用BWIM算法的計算值相同。

圖5 迭代過程中軸重變化圖Fig.5 Axial weight change diagram during iteration

由圖5可知：在迭代計算過程中，軸重前期變化的較快，曲線的斜率較大；當迭代次數達到30以后，每次迭代的軸重變化率越來越小，曲線趨于平緩，直到計算結果收斂為止。相比于初始軸重(商用BWIM算法的軸重結果)，軸重不斷向實際軸重值靠近，最終在實際軸重附近收斂。

在軸重計算的過程中，軸重變化的同時，橋梁的實測影響線也在不斷更新，其變化過程如圖6所示。為了較全面地反映實測影響線的變化過程，圖中分別繪出了初始(基準)影響線ILo(所有實測影響線的均值)、迭代1次的影響線IL1、迭代30次的影響線IL30、最終的影響線ILe以及第三組實測車橋動力響應所對應的實測影響線ILs。

由圖6可知：①基準影響線與第三組實測車橋動力響應所對應的實測影響線有較大差異。這是由于ILo是所有實測影響線的均值，消除了影響線中部分的車橋動力效應，使得ILo曲線比ILs曲線更加平緩，振蕩更少。ILo的最大峰值(7.89)明顯低于ILs(8.94)，這導致由ILo計算出的軸重偏大。②經過第一次迭代計算，更新后的影響線IL1形狀發生較大變化。IL1的峰值曲線變的更陡峭，波峰和波谷的位置也發生了細微的改變。這是由于實測車橋動力響應含有較明顯動力效應(見圖3)，利用已知A1計算出的影響線IL1比ILo包含更多的動力信號，影響線IL1的相位角信息(波峰和波谷所在的位置)更貼合實測車橋動力響應的變化規律。③隨著迭代次數的增加，更新后的影響線的峰值逐漸向ILs靠近，最終收斂于ILe。ILe和ILs曲線的變化規律相同，各個峰值點的數值相近，因此，由ILe計算得到的軸重與真實軸重相近。

圖6 迭代過程中影響線對比圖Fig.6 Influence line comparison diagram during iteration

3.4 討 論

由上文可知，在軸重識別過程中，橋梁動態稱重迭代算法通過基準影響線不斷迭代更新，得到與實測車橋動力響應較完美匹配的影響線，由此便可計算出與真實值相近的車輛軸重。為了探究基準影響線的選取對軸重識別精度的影響，本節分別以10組實測影響線為基準影響線對所有的實測車橋動力響應進行軸重識別，計算結果如表2所示。表中序號表示軸重識別采用的基準影響線號碼。以序號1為例，它表示以第1組車轎動力響應所得的實測影響線作為基準影響線，對所有車轎動力響應進行動態稱重，得到軸重識別誤差的平均值和標準差。

表2 不同基準影響線對應的車輛軸重識別誤差匯總表 Tab.2 Summary of vehicle axle weight identification error corresponding to different baseline influence lines %

由表2可知：不同的實測影響線作為基準影響線進行軸重識別，計算結果的精度存在一定差異。以前軸為例，軸重識別誤差平均值的范圍為[-65.5%,43.2%]，其中，絕對值最小的誤差平均值是選用4號實測影響線進行軸重識別的結果，達到了10.6%。而最大的絕對值選用的是6號實測影響線，達到了-65.5%。對比表1發現，表2的計算結果都要高于以影響線均值作為基準影響線的計算誤差。這說明單一車橋動力響應提取出的實測影響線不能較全面的反映橋梁的力學特性，若直接用于橋梁動態稱重迭代算法，無法迭代更新出與所測車橋動力響應相匹配的影響線，將不能得到較高精度的車輛軸重。因此，橋梁動態稱重迭代算法宜選用實測影響線的均值作為基準影響線進行軸重識別。

4 結 論

為了改善BWIM系統的軸重識別精度，本文提出了一種新的橋梁動態稱重算法——橋梁動態稱重迭代算法?；趹鸦杷鍢蛞龢虻能嚇騽恿υ囼?，分別對商用BWIM算法和橋梁動態稱重迭代算法進行軸重識別，進行對比分析，得出如下結論：

(1)實橋試驗的計算結果表明，商用BWIM算法可以得到較高精度的總軸重，但其單軸軸重識別的精度較差。

(2)相比于商用BWIM算法，橋梁動態稱重迭代算法通過反復應用Moses算法和影響線算法，更新基準影響線，使其能更好地匹配車橋動力響應，從而計算出誤差更小的車輛軸重。

(3)橋梁動態稱重迭代算法中，選用不同的實測影響線作為基準影響線，軸重識別的精度存在一定的差異。其中：最能反映橋梁真實力學特性的均值影響線能夠在軸重識別過程中得到較高的精度。

(4)橋梁動態稱重迭代算法更新迭代出的影響線包含更多橋梁信息(如：車橋耦合信號、噪聲信號、路面不平整度等)，后續可用于橋梁安全評定。