基于廣義多項式混沌的跨座式單軌車輛隨機平穩性分析

周生通，王 迪，肖 乾，李鴻光，張 沛

(1.華東交通大學 載運工具與裝備教育部重點實驗室，南昌 330013；2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

自我國第一條跨座式單軌交通線路在重慶市建成以來，跨座式單軌憑借其獨特優勢和特點，已成為我國城市軌道交通系統首選制式之一，而與之相關的跨座式單軌車輛動力學性能研究在近年來也受到了國內外學者的普遍關注[1]。眾所周知，動力學性能的好壞決定著軌道車輛運行品質的高低，一直以來國內外學者主要從車輛結構參數、輪軌接觸特性和外部環境條件等研究不同因素對軌道車輛動力學性能的影響[2-4]。但現有研究大多是建立在確定性分析框架下的，即建立確定的動力學仿真模型，設置固定的參數，時域積分得到車輛系統動態響應，而且在探討參數變化對系統響應的影響規律時，還往往存在選取參數變量單一、仿真工況有限等問題，得到的響應規律較為片面。然而，若是執行完全參數分析又會使仿真組合工況過于龐大，難以完成[5]。另一方面，在工程實踐中，軌道車輛系統的懸掛參數(如剛度和阻尼系數)、軌道和輪軌參數(如軌道超高率、輪軌靜/動摩擦因數)、車輛載重等往往會受運營里程、制造/安裝誤差、磨損老化、外部環境(如溫度、濕度)等的影響而變化，再加之各種偶然和認知方面的影響因素，勢必造成車輛參數具有隨機不確定性[5-7]。顯然，這些隨機因素在傳統確定性分析中是無法被合理考慮的，進而也就無法準確預測軌道車輛動力學性能。因而，針對跨座式單軌車輛系統，發展有效的隨機分析方法，開展隨機參數作用下的車輛動力學研究，就顯得很有必要。

當前，針對跨座式單軌車輛的隨機分析并不多見，已有研究主要是一些其他類型的軌道列車。早期的軌道車輛隨機分析主要關注軌道不平順作用下的隨機響應問題，利用隨機振動的線性頻域法、數值積分法、Monte Carlo仿真、虛擬激勵法和概率密度演化法等方法求解[8-9]。近年來，隨著隨機量化理論的發展，考慮隨機參數的軌道車輛動力學性能開始受到關注，如Kassa等[6]考慮軸重、輪軌摩擦因數和輪軌型面的隨機性，分析了某列車-道岔耦合系統的隨機動力響應；滕萬秀等[7]考慮車輛系統懸掛參數、輪軌匹配、輪軌界面參數的隨機性，研究了高寒動車組低溫環境運行時的動力學性能；羅仁等[5,10]考慮懸掛剛度和阻尼、輪軌匹配參數、輪軌界面參數、載荷工況和軌道不平順的隨機統計分布，獲得了高速列車動態包絡線和動力學指標的統計規律；Bigoni等[11]研究了隨機懸掛參數下的軌道車輛臨界轉速全局靈敏度；趙巖等[12]研究了軌道不平順和一系和二系彈簧剛度隨機下的車軌耦合系統振動靈敏度問題；李雙等[13]則假設懸掛阻尼器兩端橡膠節點剛度服從高斯分布，獲得了Sperling指標的統計矩和靈敏度。不過，這些已有研究多是基于仿真工況隨機組合思想利用Monte Carlo仿真或拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)方法進行分析的。顯然，對于具有高昂計算成本的復雜非線性軌道車輛數值仿真模型，大樣本的組合工況計算是不現實的，而在有限樣本數目限制下，即使是適合于小樣本工況的LHS方法有時也難以獲得滿足精度的結果，尤其是在高階統計矩和概率分布方面。

在軌道車輛多目標優化領域，構建近似模型(亦稱代理模型)是克服車輛仿真模型高昂計算成本的主要途徑，如謝歡等[14]結合Kriging模型、二階響應面、徑向基函數模型構造混合代理模型，研究懸掛參數的多目標優化問題；東方世平[15]利用有限實驗設計樣本構造懸掛系統參數與動力學指標的徑向基函數人工神經網絡模型，實現CRH2型動車組懸掛參數的快速多目標優化。作為一類隨機代理模型，非侵入式廣義多項式混沌(generalized polynomial chaos,gPC)方法在隨機不確定量化領域被廣泛應用[16-18]，其本質是通過對隨機響應量進行有限的多項式混沌展開，從而實現對復雜非線性數值模型隨機響應的高效估算。Bigoni等[19]利用隨機配置法和gPC方法研究了某簡單Cooperrider車輛模型的非線性臨界轉速統計分布規律；項盼等[20]則結合虛擬激勵法和gPC方法開展了車軌耦合系統的復合隨機振動分析，指出gPC方法存在的維數災難問題，并討論了一種結合繼承性拉丁超立方抽樣和利用決定系數篩選基函數的自適應方案。當前，針對gPC的自適應稀疏展開技術頗受重視并發展迅速，如逐步回歸[21]、最小角回歸[18,22]、壓縮感知[23]等。其中，最小角回歸算法利用相關性選出對模型響應影響大的回歸量以形成最佳基函數集合，是一種非常有效的自適應稀疏gPC展開方案。

為此，本文以某型跨座式單軌車輛為研究對象，首先構建隨機參數作用下的單軌車輛隨機平穩性分析模型；之后，考慮到單軌車輛數值仿真模型的高昂計算成本，同時在有限試驗設計樣本限制下，探討廣義多項式混沌的自適應稀疏展開方案；最后，結合工程算例分別基于拉丁超立方抽樣法和廣義多項式混沌法，開展不同速度等級下單軌車輛隨機平穩性指標的統計分布規律和全局靈敏度分析，對比兩種方法結果的異同，驗證自適應稀疏gPC方法的有效性。

1 跨座式單軌車輛的隨機平穩性模型

1.1 參數化UM仿真模型建立

圖1所示為某型跨座式單軌車輛，由1個車體和2個轉向架子系統構成，其中單個轉向架子系統包括1個構架、4個走行輪、4個導向輪和2個穩定輪，屬于典型的多體動力學系統。為此，這里利用UM(universal mechanism)多體動力學軟件的參數化建模功能，建立單軌車輛輸入參數、運行速度與系統加速度響應之間的映射模型

圖1 跨座式單軌車輛參數化UM仿真模型Fig.1 Parameterized UM simulation model of straddle monorail vehicle

(1)

在UM多體動力學仿真模型中，將車體、轉向架構架及各輪組假設為剛性體，并用鉸接和力元模擬各剛體之間的連接關系，其中采用基于Fiala模型的輪胎特殊力元(tyre)模擬各輪組的橡膠輪胎，以黏彈性的空間線性力元(viscous-elastic)模擬車體與構架之間的空氣彈簧，以點繪式雙極力元(point-numberic)模擬構架與車體之間的減振器，以襯套特殊力元(bushing)模擬牽引拉桿、抗側滾扭桿和橫向止擋等的剛度阻尼特性，最終建立的跨座式單軌車輛的UM仿真模型共有38個自由度，如表1所示。

表1 跨座式單軌車輛仿真模型自由度Tab.1 Degree of freedom of straddle monorail vehicle model

1.2 單軌車輛平穩性指標

車輛運行平穩性是考慮車輛在直線或曲線工況下運行狀態的描述，是對旅客乘坐舒適性和運載貨物完整性的評價。當前，單軌車輛的運行平穩性多是依據軌道車輛客車運行平穩性指標進行評價。為此，將式(1)中加速度響應量a(t)取為基于UM仿真模型獲得的距離1位心盤一側1 000 mm的車體地板面上的加速度時間歷程，那么參照GB/T 5599—1985，單軌車輛的運行平穩性指標Y可由下式計算

(2)

(3)

式中：fi(i= 1,2,…,n)為加速度時間歷程a(t)進行頻譜分析后在頻域中的第i個頻率分量，Hz；Wi為頻率為fi時的平穩性指標分量；Ai為頻率為fi時的振動加速度幅值，g；F(fi)為頻率為fi時的頻率修正系數，由GB/T 5599—1985確定。

若測量的加速度響應a(t)為垂向加速度歷程，則式(2)計算的是垂向平穩性指標，若是橫向加速度歷程，則計算的是橫向平穩性指標。

1.3 隨機平穩性分析模型

依據不確定性傳播原理，當考慮輸入向量X的隨機不確定性時，單軌車輛動力學系統響應量a(t)也必然是隨機的，進而計算的平穩性指標Y將呈現隨機分布規律。為此，在前述確定性平穩性指標分析基礎上，將輸入向量X作為隨機向量，可建立描述單軌車輛不同速度等級V下的隨機平穩性分析模型

(4)

單軌車輛運行平穩性指標是利用車體上規定位置的各方向振動加速度經統計處理后得到的評價車體隨機振動的指標。顯然，在眾多影響平穩性指標的系統定義參數中，各參數的隨機性對平穩性指標的影響程度是不同的。這里，參照已有研究工作[24]，選取部分關鍵的單軌車輛外部運行條件及自身結構參數作為系統輸入參數，組成隨機輸入向量X，并研究各參數隨機性作用下的單軌車輛運行平穩性隨機分布和響應靈敏度規律。具體包括：①車輛載重m；②懸掛元件剛度阻尼參數——走行輪垂向剛度k1、水平輪(包括導向輪和穩定輪)徑向剛度k2、空氣彈簧垂向剛度kz和橫向剛度kxy、抗側滾扭桿剛度CAX、牽引拉桿剛度CX、空氣彈簧垂向阻尼cz；③軌道和輪軌界面參數——軌道超高率h、輪軌動摩擦因數μ1和輪軌靜摩擦因數μ0。將各參數組成隨機向量X，即

X=[m,k1,k2,kz,kxy,CAX,CX,cz,h,μ1,μ0]T

(5)

2 自適應稀疏廣義多項式混沌法

2.1 平穩性指標的gPC近似

依據gPC展開理論，設M維隨機向量X各元素獨立且滿足Askey方案，否則必須利用隨機空間變換方法變換實現[16,18]。那么，具有有限方差的隨機平穩性指標Y可被近似展開為

(6)

(7)

式中：‖·‖1為1范數；p為gPC最大展開階數。在標準截斷下，總的gPC展開項數P為

(8)

若gPC基函數是標準正交的，那么隨機平穩性指標Y的均值μ和方差D(或標準差σ)可由gPC展開系數直接估算，即

(9)

(10)

對于隨機平穩性指標Y的更高階統計矩(如偏斜度、峰度)、概率分布等信息可由大量Monte Carlo樣本在gPC近似模型式(6)的基礎上統計推斷獲得。此外，利用gPC展開系數還可直接獲得隨機平穩性指標對各隨機變量的Sobol全局靈敏度[18,25]。其中，一階Sobol靈敏度指標為

(11)

式中，集合Ii={α∈|αk≠0?k=i}。Si描述了單一隨機變量Xi(i=1,2,…,M)對隨機響應方差D的相對貢獻大小。總的Sobol靈敏度指標為

(12)

2.2 自適應稀疏展開方案

從式(8)中可以看到，隨著維數M和階數p的增加，總的gPC展開項數P(即隨機模型維數)將急劇增加，從而導致隨機平穩性分析的維數災難問題。因此，考慮到跨座式單軌車輛UM仿真模型的高昂計算量，在有限試驗設計樣本的限制下，提出有效的降維方法，以獲得最佳gPC近似精度，就顯得尤為重要。

通常，增加階數p會提高gPC模型的近似精度，但階數的增加也意味著隨機維度P的大幅增加，尤其是維數M較大時(文中M= 11)，同時在有限樣本數據下，過高的維度(如P接近甚至超過N)將會造成過擬合問題，甚至無法求解。為此，這里給出結合低階交互截斷、最小角回歸(least angle regression,LAR)、最小二乘法(ordinary least squares,OLS)和留一法交叉驗證(leave-one-out,LOO)實現的gPC自適應稀疏展開方案，如圖2所示。可以看到，在N個有限試驗設計數據基礎上，該方案主要從兩個方面：①gPC最大展開階數p的自適應選取；②特定展開階數下的基于低階交互截斷和LAR的最優稀疏gPC基集合*(p)選取，來實現gPC近似模型的降維和獲得最佳近似精度的。

圖2 廣義多項式混沌展開的自適應稀疏方案Fig.2 Adaptive sparse scheme for gPC expansion

在稀疏gPC基選擇方面，相比式(7)的傳統標準截斷策略，低階交互截斷方案認為只有變量之間的低階交互才是重要的，從而通過舍棄標準gPC展開基集合中的某些高階高秩項獲得稀疏gPC基集合。這里采用如下低階交互截斷，亦稱q-范數或雙曲截斷[22]

(13)

式中，‖·‖q為q-范數。當q= 1時退化為標準截斷；當q<1時部分高階高秩交叉項則會被剔除，且q取值越小剔除的項數越多。除了低階交互截斷，基于最小角回歸可進一步獲得更稀疏的gPC基集合。本質上，最小角回歸是通過將候選集(candidate set)中與當前殘差最相關的回歸量逐步加入到有效集(active set)中來實現最優稀疏gPC基集合選取的。有關低階交互截斷、最小角回歸及其在稀疏gPC基集合選擇中的應用詳見文獻[22,26]。

一旦獲得了當前階數p下的最優稀疏gPC基集合*(p)，那么利用最小二乘法即可獲得該稀疏集合對應的gPC展開系數{cα,α∈*(p)}。同時，為了評估該稀疏集合下gPC近似模型的精度，這里采用基于留一法的后驗交叉驗證誤差估計

(14)

(15)

經過一系列循環后，依據最小的εLOO即可獲得最佳的gPC展開階數

(16)

3 工程算例

3.1 算例描述

本節以某型跨座式單軌車輛為研究對象，建立該型單軌車輛在R300曲線段以不同速度等級運行時的隨機平穩性模型，在有限試驗設計樣本限制下，分別采用拉丁超立方體抽樣方法和前述自適應稀疏廣義多項式混沌方法，詳細探討車輛載重、懸掛元件剛度和阻尼、軌道參數和輪軌界面參數的隨機性影響下的單軌車輛隨機平穩性統計分布規律，同時對比兩種方法的優劣。

為此，在已有研究基礎上，并結合專家經驗取式(5)中的11個輸入參數作為隨機向量，設各隨機參數服從正態分布或截尾正態分布，相應的分布參數列于表2。其中，考慮到單軌車輛在空載和超載下的重量限制，設定車輛載重m的截尾區間為[14 220，25 800]；按GB 50458—2008設定軌道超高率h最大截斷點為12%；同時限制輪軌動摩擦因數μ1和靜摩擦因數μ2的分布區間分別為[0.7，0.9]和[0.9，1.3]；而其余各元件的剛度和阻尼參數由于沒有明確的上/下限值規定，這里將它們取為非截尾的正態分布。此外，考慮空氣彈簧剛度和車輛載重之間存在的正相關性，并用Spearman相關系數描述，其中車輛載重m與空簧垂向剛度kz和空簧橫向剛度kxy的相關系數均設為0.7，空簧垂向剛度kz和橫向剛度kxy的相關系數設為0.8。

表2 隨機參數取值Tab.2 The values of stochastic parameters

算例中以確定性的軌道不平順樣本模擬軌道激勵，并取V1=45 km/h，V2=60 km/h和V3=75 km/h三種單軌車輛運行速度工況，同時考慮到UM數值仿真模型的高昂計算量，這里限制每一速度等級的試驗設計樣本數目為200組，并采用拉丁超立方體抽樣技術獲得試驗設計樣本。為便于比較，取三種速度等級下的200組試驗設計樣本保持一致，并計算該200組樣本在三種速度下的單軌車輛橫向平穩性和垂向平穩性指標，以獲取輸入輸出試驗設計數據。參照規范GB/T 5599—1985，跨座式單軌車輛的橫向和垂向平穩性指標分別由車體1位端心盤一側1 000 mm地板面上一點的橫向和垂向振動加速度數據按式(2)計算得到。

3.2 基于LHS樣本的隨機分析

圖3和圖4是依據200組LHS樣本數據直接繪制的三種速度等級下單軌車輛橫向和垂向平穩性指標的直方圖及其正態分布擬合，并估算了相應的前四階矩(均值、標準差、偏斜度和峰度)和樣本極差，列于表3。

圖3 基于LHS樣本的橫向平穩性指標分布Fig.3 Lateral stationarity index distribution based on LHS samples

從均值統計量角度，可以看到：①同一速度等級下，該型跨座式單軌車輛的垂向平穩性指標均值要大于橫向平穩性指標均值；②在三種速度等級下，橫向平穩性指標隨運行速度增加而增加(1.584 2,1.585 7,1.606 8)，但增幅卻不大，尤其是45 km/h和60 km/h速度等級之間相應增幅不超過1‰，而60 km/h和75 km/h速度等級之間的增幅低于1.5%；③在三種速度等級下，垂向平穩性指標從45 km/h的1.821 4先略微下降到60 km/h的1.817 1，之后又相對顯著地增加到了75 km/h的1.934 0。這些均值結果規律與傳統的確定性平穩性分析規律較為一致[24]，間接驗證了計算模型的正確性。

從統計離散性來看，三種速度等級下的橫向和垂向平穩性指標，無論是標準差還是極差，隨著速度的增加均呈現減小趨勢，其中橫向平穩性指標從60 km/h到75 km/h的離散性下降較為明顯(如標準差從0.030 0降到0.017 3)，而垂向平穩性指標的離散性則是在45 km/h和60 km/h下降相對明顯。表明隨著車輛響應量的增加，隨機參數隨機性對平穩性指標的離散性影響整體在下降。

從樣本數據的偏態分布來看，橫向和垂向平穩性指標的偏斜度隨著三個速度等級的增加而增大，其中45 km/h時兩種平穩性指標的偏斜度均比較接近零，分別為5.56×10-4和0.058 4，表明該速度工況下的隨機平穩性指標呈對稱分布形式，而60 km/h和75 km/h速度下的偏斜度均明顯大于零，尤其是75 km/h速度時的垂向平穩性指標偏斜度達到了0.750 5，使得分布呈現明顯右偏態，即有更多的樣本數據落在均值右側且右側尾部較長，如圖4(c)所示。

從峰度統計量角度，三種速度等級下的橫向和垂向平穩性指標，以60 km/h時的峰度值最小但均大于3，表明相比正態分布，各平穩性指標在分布峰值處更為陡峭。其中，橫向平穩性指標在45 km/h和60 km/h時以及垂向平穩性指標在60 km/h時的峰度值均比較接近3，分別為3.083 8，3.054 8和3.036 0，因而可以近似認為它們具有和正態分布一致的峰態。不過，45 km/h時的垂向平穩性指標和和75 km/h時的橫向和垂向平穩性指標的峰度值是明顯大于3的，分別為3.200 4，3.252 9，3.975 7，表明這些情況下的分布峰值和尾部特征與正態分布差異較大。

不過，需要注意的是，雖然拉丁超立方抽樣利用分層抽樣原理可做到以較小樣本數目獲得較高的抽樣精度，但在這里200組有限樣本數據限制下，其對高階統計矩(如偏斜度、峰度等)的估計精度仍然誤差較大，因此本小節基于LHS樣本的單軌車輛隨機平穩性指標統計規律的結論不一定完全正確，尤其是針對高階統計矩的規律(見表3)。這一問題在下一節討論。

表3 三種速度下隨機平穩性指標的統計矩Tab.3 Statistical moments of stochastic stationarity index for three different speeds

3.3 基于gPC近似模型的隨機分析

將前述200組拉丁超立方試驗設計數據作為訓練樣本，利用文中給出的自適應稀疏展開方案，設定低階交互截斷參數q=0.75，最高展開階數范圍p∈[2,10]，建立單軌車輛隨機平穩性指標的最優gPC近似模型。

3.3.1 gPC近似模型及其驗證

表4給出了三種速度等級下自適應稀疏gPC近似模型的構建情況。可以看到，不同速度下橫向和垂向平穩性指標的gPC模型都具有較高的近似精度(誤差量級10-4)。以60 km/h時垂向平穩性指標的gPC近似模型為例，在標準截斷下由式(8)可以計算出11維5階gPC展開項數為4 368項，遠超過已知的200組試驗設計數目，但采用式(13)低階交互截斷方案后，項數降低至496項，之后再利用LAR稀疏選擇方案，項數更是降低到33項，此時利用OLS算法即可估算出gPC展開系數，構建出gPC近似模型，且留一法誤差εLOO為5.61×10-4，模型精度很高。而該工況下的最佳階數p*= 5正是在最高階數展開范圍p∈[2,10]內自適應運算的結果。

表4 自適應稀疏gPC近似模型的構建Tab.4 Construction of adaptive sparse gPC approximation model

為了進一步驗證構建的gPC模型近似精度，這里基于拉丁超立方抽樣方法再額外計算出100組試驗設計點作為驗證集，并采用泛化誤差估算

(17)

(18)

表5 基于驗證集的gPC模型近似精度Tab.5 The accuracy of gPC models based on validation set

圖5 75 km/h時平穩性指標的真實值和gPC近似值散點圖Fig.5 Scatter plot of the statinarity index of real model and gPC model at 75 km/h

3.3.2 基于gPC模型的結果分析

在前述gPC近似模型基礎上，開展20 000組大樣本數據抽樣。圖6和圖7是利用獲得的20 000組樣本數據繪制的三種速度等級下單軌車輛橫向和垂向平穩性指標的直方圖及其正態分布擬合，并估算了相應的前四階矩(均值、標準差、偏斜度和峰度)和樣本極差，列于表3。可以看到：相比前述基于200組有限數據的直接LHS結果，在基于gPC近似模型的20 000組大樣本數據下繪制的統計直方圖可以更精細地表達單軌車輛隨機平穩性指標的分布規律。

對比三種速度等級下的各階統計矩信息(見表3)，可以發現LHS和gPC兩種方法下的統計數據變化規律是基本一致的。特別是，前兩階統計矩(即均值和標準差)數據，不僅變化規律一致，數據大小的差異也非常小，這也從側面證明了建立的自適應稀疏gPC近似模型的正確性。不過，兩種方法下的更高階統計矩(如偏斜度和峰度)數據則差異比較大。以45 km/h時的LHS結果和gPC結果為例，垂向平穩性指標的偏斜度分別為0.058 4和0.034 9，峰度分別為3.200 4和2.980 2，差異明顯。考慮到本算例中建立的自適應稀疏gPC模型在近似精度上有保證，因此將獲得的gPC結果作為探討單軌車輛平穩性指標統計規律的依據是合理的。

為此，基于gPC結果，同時考慮到前兩階矩差異性較小，這里僅對上一節基于LHS結果的偏斜度和峰度規律進行部分修正。在偏態方面，基于gPC的橫向和垂向平穩性指標的偏斜度，同樣是隨著三個速度等級的增加而增大的。不過，相比LHS結果，所有偏斜度大小均有所下降，其中45 km/h和60 km/h時橫向偏斜度減小到了負值，表現出左偏態，說明隨著速度等級的增加，單軌車輛的橫向平穩性指標分布偏態是由左偏態逐步過渡到右偏態的。從偏態程度上看，60 km/h時橫向偏斜度和45 km/h時垂向偏斜度均非常接近零，分別為-0.029 2和0.034 9，表明這兩種情況下的隨機平穩性指標可認為呈對稱式分布，而其余情況下的橫向和垂向偏斜度絕對值均明顯大于零，尤其是75 km/h時橫向和垂向偏斜度分別達到了0.334 4和0.556 2，呈現出明顯的右偏態，使得更多的樣本數據落在了均值右側且具有較長的右尾部，如圖6(c)和圖7(c)所示，這表明：單軌車輛運行速度越大，出現較大平穩性指標的概率也越高，使得列車舒適性體驗下降。

在峰態方面，三種速度等級下，基于gPC的橫向和垂向平穩性指標，雖然仍以60 km/h時的峰度值最小，但相比LHS結果，所有峰度值大小有所下降，其中60 km/h時的橫向和垂向峰度值以及45 km/h時的垂向峰度值更是下降到了3以下，分別為2.983 2，2.882 4和2.980 2，說明這些隨機平穩性指標的峰態比正態分布更為平緩。而45 km/h時的橫向峰度值和75 km/h時的橫向和垂向峰度值則仍然大于3，分別為3.076 1，3.096 9和3.950 1，具有比正態分布更陡峭的峰態，尤其是75 km/h的垂向平穩性指標，其分布特征與正態分布在峰值和尾部方面有較為顯著的差異，如圖7(c)所示。不過，除了75 km/h時的垂向峰度值(即3.950 1)，其余各速度等級下的橫向和垂向峰度值均較為接近3，差異值很小，可以近似認為與正態分布有一致的峰態。

最后，以GB/T 5599—1985中客車運行平穩性等級作為單軌車輛平穩性評定標準，可知當橫向和垂向平穩性指標Y<2.5時，平穩性等級為1級，評定為優。從圖6和圖7中可以看到，即使考慮參數的隨機性，本算例中三種速度等級下的該型單軌車輛的橫向垂向平穩性指標超出2.5的概率也是微乎其微。以算例中最大的75 km/h的垂向平穩性指標為例，基于20 000組試驗設計樣本可得：統計均值為1.934 1，標準差為0.014 8，超出閾值2和2.5的樣本個數分別為16和0，對應的樣本估算失效概率分別為0.8‰和0‰。說明本算例所涉工況的單軌車輛平穩性等級為優。

圖6 基于gPC模型的橫向平穩性指標分布Fig.6 Lateral stationarity index distribution based on gPC model

圖7 基于gPC模型的垂向平穩性指標分布Fig.7 Vertical stationarity index distribution based on gPC model

3.4 隨機平穩性靈敏度分析

利用前述構建的gPC近似模型，依據式(11)和式(12)可直接獲得三種速度等級下橫向和垂向平穩性指標對各隨機變量的Sobol全局靈敏度，如圖8、圖9和表6所示。這里僅討論橫向和垂向隨機平穩性指標的一階和總的Sobol靈敏度。

圖8 基于gPC模型的橫向平穩性指標靈敏度Fig.8 Sensitivity of lateral stationarity index based on gPC model

可以看到，對橫向平穩性指標方差貢獻最大的隨機參數是水平輪(即導向輪和穩定輪)的徑向剛度k2，其次是車輛載重m；對垂向平穩性指標方差貢獻最大的隨機參數是走行輪垂向剛度k1，其次是空簧垂向阻尼cz，再次是車輛載重m；而其余各隨機參數對平穩性方差的貢獻相對就非常小，也意味著它們在單軌車輛隨機平穩性分析中通常是可以被忽略掉。

進一步，對比三種速度等級下的Sobol靈敏度，可以看出：隨著運行速度的增大，車輛載重m對橫向和垂向平穩性指標方差的貢獻均呈增大趨勢；走行輪垂向剛度k1對垂向平穩性指標方差的貢獻則呈減小趨勢；水平輪徑向剛度k2對橫向平穩性指標方差的貢獻逐漸減小；空簧垂向阻尼cz對垂向平穩性指標方差的貢獻在逐漸增大。

另外，對比三種速度等級下一階Sobol靈敏度和總的Sobol靈敏度可知，兩者的數據差異很小，這說明在本算例中單軌車輛平穩性指標的離散性受隨機參數交互作用的影響是較小的。不過，隨著運行速度的增加，這種隨機參數交互作用的影響也在逐漸增大，如75 km/h時垂直平穩性指標對車輛載重m和走行輪垂向剛度k1的一階和總的Sobol靈敏度數據差異就比較明顯了，如表6和圖9(c)所示。

表6 三種速度下垂向平穩性指標的Sobol靈敏度Tab.6 Sobol sensitivity of vertical stationary index under three different speeds

圖9 基于gPC模型的垂向平穩性指標靈敏度Fig.9 Sensitivity of vertical stationarity index based on gPC model

4 結 論

(1)提出了以橫向和垂向平穩性指標為關鍵響應量的單軌車輛運行平穩性隨機分析和靈敏度計算方法；同時，借助參數化UM建模和仿真功能可以實現任意輸入參數影響下單軌車輛復雜響應量的模型函數建立。

(2)給出的gPC自適應稀疏方案可基于現有有限的試驗樣本數據極大地降低隨機平穩性分析模型的隨機維度(即總展開項數)，并達到自適應范圍內的最佳gPC模型近似精度。與直接采用拉丁超立方抽樣方法相比，基于gPC近似模型的隨機結果更為準確可靠，尤其是高階統計矩。

(3)該型跨座式單軌車輛在三種速度等級下的平穩性指標整體呈現正態分布規律，其中同一速度等級下垂向平穩性指標均值要大于橫向平穩性指標均值，并且隨著速度的增加各平穩性指標的離散性(標準差和極差)在減小；而在高階矩方面，速度增加則引起平穩性指標的偏斜度和峰度增大，尤其是在75 km/h時，表明運行速度越大單軌車輛出現較大平穩性指標的概率也越高，使得列車舒適性體驗下降。不過，即使受到輸入參數隨機性的影響，本算例所涉工況的平穩性等級仍為優。

(4)車輛載重m、走行輪垂向剛度k1、水平輪徑向剛度k2、空簧垂向阻尼cz是影響單軌車輛平穩性指標方差的主要隨機參數。其中，在垂向平穩性方面，隨著速度的增大，m和cz的貢獻增大，k1的貢獻減小；而在橫向平穩性方面，m的貢獻增大，k2的貢獻減小。