一種球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動的自適應(yīng)控制方法

馬 龍，孫漢旭，宋荊洲，蘭曉娟

(北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100876)

球形機(jī)器人是一種基于內(nèi)部驅(qū)動機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的偏心力矩與慣性力進(jìn)行運(yùn)動的新型移動機(jī)器人，能夠?qū)崿F(xiàn)防傾覆且全向穩(wěn)定快速移動，具有運(yùn)動效率高、能耗低的優(yōu)勢，在危險環(huán)境探測、狹窄空間作業(yè)、監(jiān)控偵察等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用前景[1]。球形機(jī)器人系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動、非完整約束、非線性的特點(diǎn)，常規(guī)運(yùn)動控制方法無法對其進(jìn)行有效控制，同時運(yùn)動過程中存在動力學(xué)模型構(gòu)建不完整以及周圍環(huán)境對運(yùn)動產(chǎn)生未知干擾等不可測且不穩(wěn)定的因素[2]。隨著運(yùn)動速度逐漸增大，上述不穩(wěn)定因素給球形機(jī)器人運(yùn)動控制帶來的影響迅速增加，運(yùn)動精度大幅下降，導(dǎo)致球形機(jī)器人無法應(yīng)對如軍事偵察爆破、通信網(wǎng)絡(luò)中繼等需要具備高速運(yùn)動能力的任務(wù)。因此，開展面向球形機(jī)器人高速高精度運(yùn)動的控制方法研究有重要意義。

近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)注的球形機(jī)器人驅(qū)動機(jī)制主要分為以下三種：基于全向輪的偏心力矩驅(qū)動機(jī)制、基于摩擦的內(nèi)驅(qū)動機(jī)制以及基于重擺的偏心力矩驅(qū)動機(jī)制，且相關(guān)研究主要集中在低速(對于20 kg左右的小型機(jī)器人，高速界定標(biāo)準(zhǔn)是2.5 m/s[3-4])運(yùn)動狀態(tài)下的控制策略方面，對高速運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人控制策略的研究成果幾乎未見。與另外兩種驅(qū)動機(jī)制相比，基于重擺式偏心力矩驅(qū)動機(jī)制是一種具有較高可操作性和易于實(shí)現(xiàn)的驅(qū)動機(jī)制，但是運(yùn)動過程中球殼與重擺運(yùn)動的強(qiáng)耦合與欠驅(qū)動是導(dǎo)致其控制難度高的原因，然而其在運(yùn)動速度方面有明顯優(yōu)勢。因此以基于重擺的偏心力矩驅(qū)動機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動的球形機(jī)器人為研究對象，針對球形機(jī)器人典型運(yùn)動形式——直線運(yùn)動，本文開展高速運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人直線運(yùn)動的自適應(yīng)控制研究。

針對基于重擺的偏心力矩驅(qū)動機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動的球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制，國內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究。Liu等[5]針對球形機(jī)器人的直線運(yùn)動，提出了基于線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)的速度和角度控制器，但直線運(yùn)動模型的線性化使該控制方法的準(zhǔn)確性難以保證。趙勃等[6]通過在控制器中引入非線性摩擦模型進(jìn)行反饋控制。Madhushani等[7]利用PID(proportional integral derivative)反饋正則化方法對基于重擺式偏心力矩驅(qū)動機(jī)制的環(huán)形機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動控制，該方法保證了對恒定擾動的魯棒性。上述三種典型的研究成果對外界不可測的時變擾動不具備魯棒性和自適應(yīng)性。近年來，對基于重擺的偏心力矩驅(qū)動機(jī)制進(jìn)行驅(qū)動的球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制的研究主要圍繞滑模控制展開。滑模控制(sliding mode control,SMC)能夠克服系統(tǒng)的不確定性,對未建模的干擾具有很強(qiáng)的魯棒性，尤其是對非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果[8-9]。Yu等[10]提出一種對球形機(jī)器人直線運(yùn)動進(jìn)行解耦滑模控制的方法，通過設(shè)計系統(tǒng)的分層滑動面，使系統(tǒng)控制由多目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)，大大降低控制器設(shè)計難度。Yu等[11]針對球形機(jī)器人直線運(yùn)動問題提出一種模糊滑模控制(fuzzy sliding mode control,FSMC)方法，通過將第二層滑動面作為模糊邏輯系統(tǒng)的輸入，通過運(yùn)用模糊推理來得到滑模控制量。Yue等[12]運(yùn)用自適應(yīng)分層滑模控制(adaptive hierarchical sliding mode control,AHSMC)進(jìn)行球形機(jī)器人直線運(yùn)動速度的控制，通過與滾動摩阻的實(shí)時估算，使控制效果較為理想，但是超調(diào)量較大。另一種非常流行的對球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制的魯棒控制方法是基于分?jǐn)?shù)階微積分的控制技術(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分是普通導(dǎo)數(shù)和積分的任意階數(shù)，能夠提高球形機(jī)器人直線運(yùn)動過程中穩(wěn)態(tài)誤差、收斂速度和軌跡跟蹤性能[13]。周挺等[14]提出了基于分?jǐn)?shù)階微積分的分層滑模控制(fractional hierarchical sliding mode control,F-HSMC)方法，使系統(tǒng)在受到干擾的情況下具備更強(qiáng)魯棒性，同時避免系統(tǒng)的超調(diào)量過大，但是同樣未考慮控制方法的自適應(yīng)性，且只給出了仿真結(jié)果。

從球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制方法的研究現(xiàn)狀來看，大部分研究都采用了球形機(jī)器人直線運(yùn)動的理想化或者經(jīng)過線性化處理的動力學(xué)模型，以及適用于欠驅(qū)動系統(tǒng)的分層滑模控制器(hierarchical sliding mode controller,HSMC)，即使融入模糊或者自適應(yīng)控制方法來應(yīng)對無法通過傳感器或數(shù)學(xué)模型描述的不確定因素，依然面臨超調(diào)量過大、有限時間收斂性差以及抖振嚴(yán)重等情況，但由于球形機(jī)器人運(yùn)動速度較低，所以對直線運(yùn)動精度影響不明顯。面對高速運(yùn)動狀態(tài)下的球形機(jī)器人，實(shí)際運(yùn)動環(huán)境中的大量不確定因素以及控制算法在低速運(yùn)動狀態(tài)下的缺陷對球形機(jī)器人精準(zhǔn)穩(wěn)定運(yùn)動產(chǎn)生的影響會迅速放大，導(dǎo)致上述控制器很難實(shí)現(xiàn)預(yù)期的運(yùn)動精度。

HSMC能夠?qū)蓚€不同輸出量同時實(shí)現(xiàn)控制，并且魯棒性強(qiáng)、克服外界干擾以及參數(shù)攝動能力強(qiáng)。基于上述優(yōu)勢，針對高速運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人控制方法對響應(yīng)與收斂速度、抖振與超調(diào)量控制方面的要求，通過引入前饋補(bǔ)償、積分項(xiàng)、分?jǐn)?shù)階微積分以及自適應(yīng)律，本文提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑模控制器(fractional adaptive hierarchical integral sliding mode controller,F-AIHSMC)，以獲得高系統(tǒng)響應(yīng)與收斂速度、強(qiáng)魯棒性、對抖振能夠有效抑制的高精度運(yùn)動控制，實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)穩(wěn)定直線運(yùn)動。

1 球形機(jī)器人直線運(yùn)動的標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型

基于重擺式偏心力矩驅(qū)動機(jī)制的球形機(jī)器人示意圖如圖1所示。通過主框架上垂直安裝的長軸電機(jī)和短軸電機(jī)共同驅(qū)動，球形機(jī)器人能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動。當(dāng)球形機(jī)器人長軸電機(jī)或短軸電機(jī)單獨(dú)驅(qū)動時，球形機(jī)器人能沿著X軸方向或Y軸方向分別進(jìn)行直線運(yùn)動。

圖1 基于重擺式偏心力矩驅(qū)動機(jī)制的球形機(jī)器人示意圖Fig.1 The spherical robot driven by the eccentric torque driving mechanism based on weight pendulum

以沿X軸方向直線運(yùn)動作為研究對象，球形機(jī)器人直線運(yùn)動簡化模型如圖2所示，球形機(jī)器人在長軸電機(jī)理論輸出力矩τ的作用下在XOZ平面內(nèi)沿X軸滾動。其中：球殼質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別為m1和I1；主框架質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別為m2和I2；重擺質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別為m3和I3；球殼半徑為R；重擺擺長為L；球殼相對初始位置滾過角度為θ；球心沿X軸方向的位移為x，且x=θR；重擺相對垂直方向擺起角度為φ；球形機(jī)器人總質(zhì)量為M，且M=m1+m2+m3。

圖2 球形機(jī)器人直線運(yùn)動的簡化模型Fig.2 Simplified model of linear motion of the spherical robot

基于拉格朗日法建立球形移動機(jī)器人直線運(yùn)動的理想動力學(xué)模型為[15]

(1)

由式(1)所示的動力學(xué)模型，能夠得到球形機(jī)器人在直線運(yùn)動時受到的非完整約束為

(2)

其中，

h2(φ)=m3RLcosφ-(m3L2+I2+I3)

針對球形機(jī)器人的大部分研究都基于如上所示的理想狀況下動力學(xué)模型展開。在實(shí)際應(yīng)用中，球形機(jī)器人機(jī)構(gòu)存在多種復(fù)雜摩擦問題以及外界擾動，摩擦與擾動產(chǎn)生的多項(xiàng)未知量使球形機(jī)器人的動力學(xué)模型復(fù)雜化，尤其是在高速運(yùn)動狀態(tài)下，摩擦與擾動問題無法忽略。針對高速運(yùn)動狀態(tài)下的球形機(jī)器人，本文建立了如式(3)所示的球形機(jī)器人標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型。

(3)

式中：τm為電機(jī)的輸出力矩；τf為運(yùn)動過程中受到的摩擦項(xiàng)；τd為運(yùn)動過程中受到的外界擾動。

根據(jù)擾動是否可控，將τd分為可控擾動τdv與不可控擾動τdu。同樣的，將τf分成線性τfx與非線性τfn兩部分。因此，標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型可寫為

(4)

高速運(yùn)動狀態(tài)下可控擾動主要來自運(yùn)動過程中地面對球殼的滾動摩阻力偶矩，其能夠嚴(yán)重影響球形機(jī)器人的精準(zhǔn)運(yùn)動。根據(jù)“滾動摩阻力偶矩定律”，球形機(jī)器人在滾動過程中受到的滾動摩阻力偶矩為[16]

(5)

式中：δ為滾動摩阻系數(shù)；FN為球形機(jī)器人對支撐面產(chǎn)生的正壓力，表達(dá)式如(6)所示。

(6)

高速運(yùn)動狀態(tài)使球形機(jī)器人受到的摩擦更復(fù)雜。球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動過程中，重擺相對于球殼發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，軸承的黏性阻尼導(dǎo)致轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)中產(chǎn)生的摩擦力矩是線性摩擦的主要來源，其大小與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動速度成正比，方向與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動方向相反，表達(dá)式為

(7)

式中，?為黏性摩擦因數(shù)。

令可控補(bǔ)償力矩表達(dá)式為

(8)

其中，

將不可控擾動τdu、非線性摩擦τfn等不確定因素用τi表示，則球形機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型可寫為

(9)

根據(jù)式(9)可知，在設(shè)計面向高速運(yùn)動的球形機(jī)器人控制器時，需要綜合考慮以下3點(diǎn)重要因素：①與球形機(jī)器人自身相關(guān)參數(shù)；②高速運(yùn)動過程中的可控因素；③高速運(yùn)動過程中的不確定性因素。

用ξ(t,u(t))表示包含不可控的有界未知擾動以及非線性摩擦等不確定因素的不確定項(xiàng)。將直線運(yùn)動的標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為式(10)所示的等式，進(jìn)一步表示為式(11)所示兩個子系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

(10)

(11)

其中，

由于滾動過程中球形機(jī)器人受到滾動摩阻力偶矩的影響，滾動過程中的球形機(jī)器人處于動態(tài)平衡狀態(tài)時，重擺擺起平衡角的動態(tài)變化是設(shè)計系統(tǒng)控制器時不容忽視的問題，否則無法對球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中對重擺擺起平衡角的描述，平衡狀態(tài)下的擺起平衡角可用式(12)進(jìn)行確定。

(12)

本文提出的控制方法目的是設(shè)計合理的電機(jī)輸出扭矩控制律，使高速運(yùn)動狀態(tài)下的球形機(jī)器人運(yùn)動軌跡x(t)和重擺的擺動位置φ(t)均能收斂到各自的期望值xd(t)和φd(t)，運(yùn)動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)與重擺擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)盡可能小，以實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)直線運(yùn)動。

2 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑模控制器

面對高速直線運(yùn)動球形機(jī)器人的精準(zhǔn)控制問題，基于式(10)所示的狀態(tài)空間表達(dá)式，通過引入前饋控制的思想，在理想狀態(tài)下的力矩τ作用于球形機(jī)器人系統(tǒng)的同時，將具有近似精確模型的影響因素τfc提前對高速運(yùn)動控制系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，能夠降低系統(tǒng)遲滯給高速運(yùn)動精準(zhǔn)性帶來的影響，使球形機(jī)器人運(yùn)動誤差降低，同時改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。

2.1 第一層滑模面的構(gòu)建

與SMC相比，積分滑模控制(integral sliding mode control,ISMC)通過引入積分項(xiàng)，以提高控制系統(tǒng)響應(yīng)速度與魯棒性。針對球形機(jī)器人這種欠驅(qū)動系統(tǒng)控制問題中常用的HSMC方法，本文通過將ISMC與其進(jìn)行融合，并且基于球形機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型，建立分層積分滑模控制器(integral hierarchical sliding mode controller,IHSMC)。

由于HSMC的總控制律需要將由第一層滑模面得出的滑動控制律包含在內(nèi)，同時需要包含第二層滑模面的趨近控制律，以保證控制系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定以及第二層滑模面可達(dá)。因此，IHSMC的控制律如式(13)所示

u(t)=ue(t)+usw(t)

(13)

式中：ue(t)為滑動控制律，能夠通過系統(tǒng)的第一層滑模面求得；usw(t)為趨近控制律。

球形機(jī)器人兩個子系統(tǒng)的動力學(xué)方程均為二階非線性函數(shù)，因此本文將積分算子融入第一層滑模面中。考慮到積分項(xiàng)能夠加快系統(tǒng)響應(yīng)，同時也能夠使系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量增加，因此需要加入微分項(xiàng)來降低系統(tǒng)超調(diào)量。分別設(shè)計針對球殼位移和重擺擺角的第一層滑模面S1(t)和S2(t)，如式(14)所示[18]。

(14)

式中：k1>0；k2>0。

為了使球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制器具有高系統(tǒng)響應(yīng)速度、有限時間快速收斂以及精確控制性能，將Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分融入IHSMC控制器第一層滑模面中，設(shè)計了F-AIHSMC的第一層滑模面[19]

(15)

令控制目標(biāo)期望值qd=(xdφd)T。對式(15)求關(guān)于時間的二階微分，結(jié)合式(11)可得[19]

(16)

f1-ξ1]

f2-ξ2]

(17)

子系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)ξ1和ξ2本質(zhì)為具有物理邊界的未知函數(shù)。根據(jù)式(11)可知，不可控擾動能夠分別作用于兩個子系統(tǒng)，導(dǎo)致第一層滑模面中產(chǎn)生誤差。為了對第一層滑模面中的誤差進(jìn)行有效約束，需要在子系統(tǒng)控制律中融合對不可控擾動的自適應(yīng)反饋控制來抵消其影響，進(jìn)而增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。根據(jù)積分滑模控制原理，式(17)所示的每個子系統(tǒng)控制律uei只能使子系統(tǒng)到達(dá)第一層滑模面上。將穩(wěn)定控制律uei-s作為反饋控制部分加入子系統(tǒng)控制律中，能夠從子系統(tǒng)層面提高球形機(jī)器人系統(tǒng)對外界擾動以及系統(tǒng)抖振現(xiàn)象的魯棒性。子系統(tǒng)控制律uei可更新為

f1-ξ1]+ue1-s(t)

f2-ξ2]+ue2-s(t)

(18)

本文選取如式(19)所示的穩(wěn)定控制律表達(dá)式。

(19)

式中，μi和ηi為穩(wěn)定增益參數(shù)。

基于式(18)與式(19)，可得子系統(tǒng)控制律為

(20)

理想情況下，當(dāng)式(20)所示的穩(wěn)定增益大于未知影響因素的上界時，控制器具有很強(qiáng)的魯棒性。但是實(shí)際應(yīng)用時，只能通過將穩(wěn)定增益參數(shù)設(shè)置到非常大來應(yīng)對未知影響因素上界不明確的情況[20]。由于實(shí)際應(yīng)用中穩(wěn)定階段控制器具有不可避免的缺陷以及控制過程中存在延時，上述處理方法能夠?qū)е驴刂葡到y(tǒng)發(fā)生異常震蕩，對球形機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生很大危害。面對分層滑模控制，子系統(tǒng)在控制過程中的缺陷最終會在系統(tǒng)總控制律部分發(fā)生疊加與耦合，如果在第二層滑模面再對其進(jìn)行處理，會增大處理難度，最終導(dǎo)致球形機(jī)器人系統(tǒng)控制誤差加大。因此，針對子系統(tǒng)穩(wěn)定控制律uei-s(t)的穩(wěn)定增益參數(shù)μi和ηi，本文提出對其一階導(dǎo)進(jìn)行自適應(yīng)估計

(21)

因此，F(xiàn)-AIHSMC的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律分別為

(22)

2.2 第二層滑模面的構(gòu)建

構(gòu)建第二層滑模面S(t)

(23)

式中：c1>0；c2>0。

基于式(22)所示的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律，將式(23)對時間求一階微分，得到

(24)

為使第二層滑動變量S(t)快速收斂于零，本文使用如式(25)所示的指數(shù)趨近律設(shè)計F-AIHSMC。

(25)

式中，ε1，ε2均為大于0的常數(shù)。根據(jù)式(24)與式(25)，能夠求得趨近控制律usw(t)為

(26)

將其代入式(13)，可求得F-AIHSMC的控制律為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(27)

F-AIHSMC的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。針對F-AIHSMC，我們能夠得出以下定理：

圖3 F-AIHSMC結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 The structure of the F-AIHSMC

證明選取Lyapunov函數(shù)

根據(jù)式(21)可得V關(guān)于時間的一階導(dǎo)為

(28)

將式(27)代入式(28)得V關(guān)于時間的一階微分為

-ε1·S2-ε2|S|

(29)

因此，第二層滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的，在F-AIHSMC中，第一層滑模面同樣需要漸進(jìn)穩(wěn)定。

定理2假設(shè)球形機(jī)器人直線運(yùn)動的期望運(yùn)動軌跡在[0 +∞)內(nèi)是連續(xù)的且有界的函數(shù)。對于具有式(9)所示動力學(xué)方程的球形機(jī)器人系統(tǒng)，在控制律式(27)的作用下，第一層滑模面S1與S2是漸近穩(wěn)定的。

證明對式(29)進(jìn)行積分，能夠得到

(30)

(31)

由式(29)可得，滑模面S是否穩(wěn)定與ε1和ε2無關(guān)。因此假設(shè)如式(32)所示的兩個不同的滑模面SA與SB，參數(shù)cA1，cB1與c2均為正實(shí)數(shù)。

(32)

令SA(t)>SB(t)，可得

(33)

因此，S1漸進(jìn)穩(wěn)定。運(yùn)用同樣的證明方法可得S2漸近穩(wěn)定。定理2證明結(jié)束。

針對式(27)中提出的控制律，如果穩(wěn)定增益參數(shù)增大，符號函數(shù)(sign)能夠?qū)е孪到y(tǒng)抖振增大。因此，為了避免該情況發(fā)生，將F-AIHSMC控制律修改為

u(t)=ue1(t)+ue2(t)+usw(t)=

(34)

F-AIHSMC的自適應(yīng)子系統(tǒng)控制律修改為

(35)

其中，

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證F-AIHSMC對高速直線運(yùn)動狀態(tài)下球形機(jī)器人精準(zhǔn)控制的有效性，以BYQ-GS型球形機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺，運(yùn)用F-AIHSMC進(jìn)行高速直線運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)，并且運(yùn)用傳統(tǒng)的HSMC與Yue等研究中提出的AHSMC進(jìn)行相同的高速直線運(yùn)動控制作為對比實(shí)驗(yàn)。

3.1 實(shí)驗(yàn)對象

BYQ-GS球形機(jī)器人的三維模型與實(shí)物如圖4所示，性能參數(shù)如表1所示。與傳統(tǒng)球形機(jī)器人相比，BYQ-GS球形機(jī)器人面向高速運(yùn)動任務(wù)需求，基于輕量化設(shè)計原則，將玻璃纖維增強(qiáng)聚合物材質(zhì)球殼與基于3D打印的光敏樹脂材質(zhì)框架相結(jié)合，內(nèi)部結(jié)構(gòu)經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，將重擺與電源系統(tǒng)進(jìn)行功能性融合，在總體質(zhì)量大幅降低的前提下，能夠保證重擺質(zhì)量相對總體質(zhì)量的高占比，因此可以使球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)高速靈活運(yùn)動。通過采用帶有絕對編碼器的直流無刷電機(jī)、Xsens MTi-300慣性航姿測量系統(tǒng)、Trimble BD992-INS多星多頻高精度定位測向板卡相結(jié)合的方式，BYQ-GS球形機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)對運(yùn)動過程的控制與測量。

1.重擺；2.主框架；3.慣性航姿測量系統(tǒng)；4.長軸電機(jī)；5.短軸電機(jī)；6.主控制板；7.高精度定位測向板卡。圖4 BYQ-GS型高速運(yùn)動球形機(jī)器人的三維模型與實(shí)物圖Fig.4 The 3D model and physical prototype of the BYQ-GS spherical robot

表1 BYQ-GS型高速運(yùn)動球形機(jī)器人性能參數(shù)Tab.1 Performance parameters of BYQ-GS spherical robot

實(shí)驗(yàn)場地示意圖如圖5所示。實(shí)驗(yàn)場地45 m處設(shè)置15°雙向短坡道，47 m處設(shè)置2 m長、30 mm厚海綿軌道，52 m處設(shè)置15°單向短坡道，以對實(shí)際工況中由于多種路面狀況引起的復(fù)雜擾動進(jìn)行模擬。

圖5 實(shí)驗(yàn)場地示意圖Fig.5 Schematic diagram of experimental field

3.2 F-AIHSMC最優(yōu)參數(shù)確定

為了確定F-AIHSMC的最優(yōu)參數(shù)，本文基于BYQ-GS球形機(jī)器人對F-AIHSMC開展仿真研究。在不考慮分?jǐn)?shù)階微積分的情況下，即式(15)中的α為1，使用軟件Matlab中的全局優(yōu)化工具箱(global optimization toolbox)通過模式搜索對控制參數(shù)(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)以及自適應(yīng)律參數(shù)(ρ1,ρ2,κ1,κ2)最優(yōu)值進(jìn)行確定，可得對F-AIHSMC收斂速度以及控制性能最優(yōu)的參數(shù)選擇為

(k1,k2,c1,c2,ε1,ε2)=(0.697,2.187,5.896,3.434,10.103,0.117)
(ρ1,ρ2,κ1,κ2)=(17.3,21.8,12.2,14.9)

基于上述最優(yōu)值，使用軟件Matlab中的分?jǐn)?shù)階建模和控制工具箱(FOMCON)，通過試差法對分?jǐn)?shù)階微積分的α參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可得分?jǐn)?shù)階微積分的α參數(shù)的最優(yōu)值為α=0.65。

對分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行離散化是分?jǐn)?shù)階在實(shí)驗(yàn)中的主要實(shí)現(xiàn)方法。本文運(yùn)用了文獻(xiàn)[22]中提出的Al-Alaoui+CFE離散化方法，在計算過程中將分?jǐn)?shù)階算子離散化為式(36)所示的近似形式。

(36)

式中：T為采樣周期；CFE{u}為連分式展開；Pp(·)和Qq(·)為變量s-1的互質(zhì)多項(xiàng)式，通常設(shè)定Pp(·)的階次P與Qq(·)的階次Q均等于迭代次數(shù)n。

迭代次數(shù)越多，計算越復(fù)雜。在實(shí)驗(yàn)中，我們選取迭代次數(shù)n=3。參考徐智超研究中表3-2，當(dāng)n=3時，選取如式(37)所示的表達(dá)式。

Pp(s-1)=(-288α2+27)s-3+(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2+2 520αs-2-

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

Qq(s-1)=(-288α2+27)s-3-(-64α3-284α)s-3+

(672α2+1 827)s-2-2 520αs-2+

2 940αs-1-6 615s-1+5 145

(37)

3.3 實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果

針對不同的期望狀態(tài)，本文設(shè)置了3組實(shí)驗(yàn)，在每組實(shí)驗(yàn)中，分別將三種不同的控制方法作用于BYQ-GS球形機(jī)器人的高速直線運(yùn)動，作為每組實(shí)驗(yàn)的3個子實(shí)驗(yàn)。為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠，同時更直觀的對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，在子實(shí)驗(yàn)過程中，我們都重復(fù)進(jìn)行10次并取其數(shù)據(jù)的平均值，再運(yùn)用Savizkg-Golag平滑算法(30點(diǎn)2次)對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，作為該次子實(shí)驗(yàn)的最終實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。基于所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們對本文提出的F-AIHSMC、Yue等中提出的AHSMC以及傳統(tǒng)的HSMC的控制效果進(jìn)行對比。本文將每組實(shí)驗(yàn)中BYQ-GS球形機(jī)器人初次收斂到期望狀態(tài)的控制過程定義為初始控制階段，受到擾動后收斂到期望狀態(tài)的控制過程定義為擾動控制階段。

本文運(yùn)用了收斂時間tr、運(yùn)動位置誤差的最大絕對值emax以及位置誤差的均方根誤差(RMSE)值三項(xiàng)指標(biāo)，對BYQ-GS球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動控制效果進(jìn)行清晰的展示。實(shí)驗(yàn)場景如圖6所示。

1.擾動模擬區(qū)域；2.初始狀態(tài)；3.BYQ-GS通過雙向短坡道；4.BYQ-GS通過海綿軌道；5.BYQ-GS通過單向短坡道。圖6 實(shí)驗(yàn)場景圖Fig.6 The experimental scene

實(shí)驗(yàn)1球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(3t,τr/m3gL)。圖7為球形機(jī)器人運(yùn)動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖7 實(shí)驗(yàn)1的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對比圖Fig.7 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 1

定義實(shí)驗(yàn)1的初始控制階段為0～10 s，擾動控制階段為10～20 s。BYQ-GS球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動控制效果如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)1中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動效果Tab.2 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 1

實(shí)驗(yàn)2球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(3.5t,τr/m3gL)。圖8為球形機(jī)器人運(yùn)動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖8 實(shí)驗(yàn)2的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對比圖Fig.8 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 2

定義實(shí)驗(yàn)2的初始控制階段為0～12 s，擾動控制階段為12～20 s。在三種控制器作用下的BYQ-GS球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制效果如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)2中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動效果Tab.3 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 2

實(shí)驗(yàn)3球形機(jī)器人初始狀態(tài)為(x0,φ0)=(0,0)，設(shè)期望狀態(tài)為(xd,φd)=(4t,τr/m3gL)。圖9為球形機(jī)器人運(yùn)動軌跡誤差ex(t)=xd(t)-x(t)、重擺的擺動位置誤差eφ(t)=φd(t)-φ(t)與球形機(jī)器人速度變化圖。

圖9 實(shí)驗(yàn)3的子實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)變化對比圖Fig.9 Comparison of relevant data variation of sub-experiment of experiment 3

實(shí)驗(yàn)3中運(yùn)用HSMC進(jìn)行球形機(jī)器人直線運(yùn)動控制時，在遇到擾動1前BYQ-GS球形機(jī)器人未能初次收斂到期望狀態(tài)，因此以到達(dá)擾動1的期望時間為兩個階段分界點(diǎn)，即定義實(shí)驗(yàn)3初始控制階段為0～11.25 s，擾動控制階段為11.25～20 s。球形機(jī)器人在三種控制器下的直線運(yùn)動控制效果如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)3中球形機(jī)器人在三種控制器作用下直線運(yùn)動效果Tab.4 Motion control effect of spherical robot under three controllers in experiment 3

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

基于上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用綜合定量評價法對F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個控制階段的綜合控制效果分別展開對比。實(shí)驗(yàn)指標(biāo)分為三種類型：tr，emax，eRMSE，總共涉及到五個指標(biāo)：tr，ex-max，ex-RMSE，eφ-max，eφ-RMSE，因此綜合定量評價公式為

(38)

其中：c為指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，每個指標(biāo)權(quán)重系數(shù)均為c=0.2；(vi)a為指定控制器(AHSMC或HSMC)第i個指標(biāo)值；(vi)b為F-AIHSMC第i個指標(biāo)值。

由于初始控制階段部分控制方法未收斂，此時

在擾動控制階段，由于存在三個擾動，因此擾動控制階段的tr又可劃分為tr-1，tr-2，tr-3，此時

同理，在擾動控制階段，部分控制方法在面對第i個擾動時未收斂，此時

根據(jù)式(38)可得F-AIHSMC與AHSMC、F-AIHSMC與HSMC在兩個控制階段控制效果的綜合對比。對比結(jié)果如表5所示。

表5 F-AIHSMC與其余兩種控制方法的控制效果對比結(jié)果Tab.5 Comprehensive comparison of F-AIHSMC and the other two control methods %

根據(jù)三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及綜合控制效果對比結(jié)果，F(xiàn)-AIHSMC的tr,emax以及eRMSE三項(xiàng)指標(biāo)均為最優(yōu)。在三組實(shí)驗(yàn)的初始控制階段，F(xiàn)-AIHSMC與AHSMC均能收斂，但運(yùn)行速度的期望值為4 m/s時，HSMC未能實(shí)現(xiàn)收斂。在三組實(shí)驗(yàn)的擾動控制階段，當(dāng)BYQ-GS球形機(jī)器人面對3個固定位置的擾動時，F(xiàn)-AIHSMC均能實(shí)現(xiàn)迅速收斂；在第二組與第三組實(shí)驗(yàn)中，即期望運(yùn)行速度達(dá)到3.5 m/s以上時，AHSMC無法實(shí)現(xiàn)對3個擾動的同時收斂；HSMC在三組實(shí)驗(yàn)中均無法實(shí)現(xiàn)對3個擾動的同時收斂。通過對三組實(shí)驗(yàn)的tr進(jìn)行對比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在加快系統(tǒng)響應(yīng)速度和收斂速度方面具有明顯優(yōu)勢。通過對三組實(shí)驗(yàn)的ex-max與eφ-max進(jìn)行對比可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在減小系統(tǒng)超調(diào)量方面具有明顯優(yōu)勢；通過對三組實(shí)驗(yàn)的ex-RMSE與eφ-RMSE進(jìn)行對比，結(jié)合三組實(shí)驗(yàn)中基于不同控制方法的球形機(jī)器人運(yùn)行速度變化趨勢可以得出，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC在增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性方面具有明顯優(yōu)勢；通過對三組實(shí)驗(yàn)的擾動控制階段收斂情況進(jìn)行對比可以得出，在面對未知擾動時，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC能夠使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。因此，與AHSMC以及HSMC相比，F(xiàn)-AIHSMC的控制效果最好，且隨著期望運(yùn)行速度從3 m/s提升至4 m/s，F(xiàn)-AIHSMC的控制優(yōu)勢越來越明顯。

圖10 三種控制方法的總滑模面變化對比圖Fig.10 Comparison of the total sliding surface change of the three control methods

4 結(jié) 論

本文以球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動問題作為研究對象，通過理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式，開展面向球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動自適應(yīng)控制方法的研究：通過建立適用于高速直線運(yùn)動狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)動力學(xué)模型，并且基于該模型，將前饋控制、積分項(xiàng)與分?jǐn)?shù)階微積分以及自適應(yīng)控制融入傳統(tǒng)的分層滑模控制方法中，提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)分層積分滑模控制器F-AIHSMC，并且基于BYQ-GS球形機(jī)器人對F-AIHSMC進(jìn)行了直線運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，在球形機(jī)器人高速運(yùn)動狀態(tài)下，與傳統(tǒng)的HSMC以及具有自適應(yīng)功能的AHSMC相比，該方法實(shí)現(xiàn)了高系統(tǒng)響應(yīng)速度與收斂速度，并且具有更好的穩(wěn)定性和魯棒性。

系統(tǒng)的不確定性以及外部環(huán)境的未知擾動能夠?qū)η蛐螜C(jī)器人的精準(zhǔn)運(yùn)動產(chǎn)生影響，并且與低速運(yùn)動狀態(tài)相比，該影響在高速運(yùn)動狀態(tài)下會成倍增加，這是導(dǎo)致球形機(jī)器人在高速運(yùn)動狀態(tài)下運(yùn)動精度降低的重要原因。通過對球形機(jī)器人高速直線運(yùn)動控制方法的研究，使球形機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了高速精準(zhǔn)的直線運(yùn)動，為開展球形機(jī)器人高速精準(zhǔn)的全方位控制研究打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)，該研究對球形機(jī)器人的應(yīng)用推廣方面有重要的指導(dǎo)意義和促進(jìn)作用。