三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)分析

姜 嬌，孔祥希，羅園慶，許 琦，陳長(zhǎng)征

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870；2.沈陽(yáng)城市學(xué)院 智能工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110112)

原動(dòng)機(jī)是機(jī)械設(shè)備中的重要驅(qū)動(dòng)部分，是提供現(xiàn)代生產(chǎn)、生活中所需動(dòng)力的主要來(lái)源，包括汽油機(jī)、柴油機(jī)、直流電動(dòng)機(jī)、三相異步電動(dòng)機(jī)、泵等。幾乎所有的原動(dòng)機(jī)所能提供的動(dòng)力均是有限的：汽油機(jī)、柴油機(jī)有它們所能提供的最大馬力；直流電動(dòng)機(jī)、三相異步電動(dòng)機(jī)不能長(zhǎng)時(shí)間工作于超載狀態(tài)；泵等驅(qū)動(dòng)機(jī)械同樣具有額定功率的限制。這些提供有限動(dòng)力的原動(dòng)機(jī)稱為非理想原動(dòng)機(jī)。由于不平衡激勵(lì)的作用，原動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)在工作過程中將會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)必然會(huì)影響原動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；反過來(lái)，原動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變必將影響機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)。這種充分考慮振動(dòng)系統(tǒng)與非理想原動(dòng)機(jī)相互作用的系統(tǒng)稱之為非理想振動(dòng)系統(tǒng)[1]。但是，在很多對(duì)于非理想振動(dòng)系統(tǒng)的研究中[2-3]，往往忽略原動(dòng)機(jī)與振動(dòng)系統(tǒng)的相互作用，沒有考慮原動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力的限制，將其視為理想振動(dòng)系統(tǒng)，這勢(shì)必對(duì)研究結(jié)果產(chǎn)生影響。

當(dāng)充分考慮原動(dòng)機(jī)系統(tǒng)與振動(dòng)系統(tǒng)的相互作用時(shí)，由于原動(dòng)機(jī)所提供的動(dòng)力是有限的，原動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的非理想振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)一種直接由共振前跳躍至共振后的非線性跳躍現(xiàn)象，稱之為Sommerfeld效應(yīng)[4]。近些年，已經(jīng)有很多國(guó)外學(xué)者對(duì)于非理想振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)的進(jìn)行了相關(guān)研究工作。Bharti等[5]將直流電動(dòng)機(jī)視為非理想原動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的二自由度的單盤剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并對(duì)其出現(xiàn)在兩個(gè)不同臨界轉(zhuǎn)速處的Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行了研究。Bisoi等[6]對(duì)非理想直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的懸臂梁?jiǎn)伪P轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行了分析。Sinha等[7]研究了非理想原動(dòng)機(jī)-直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題，并對(duì)其產(chǎn)生的Sommerfeld進(jìn)行分析。Rocha等[8]對(duì)非理想原動(dòng)機(jī)-直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的三自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究。Palacios等[9]研究了動(dòng)力吸振系統(tǒng)與非理想系統(tǒng)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。Jaime等[10]研究了非理想直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。此外，Kovriguine[11]對(duì)雙機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的自同步與Sommerfeld效應(yīng)問題進(jìn)行了研究。Djanan等[12]對(duì)矩形板支撐的兩臺(tái)加速移動(dòng)電機(jī)的自同步及Sommerfeld效應(yīng)問題進(jìn)行了研究，以減小矩形板的振動(dòng)。但是，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于非理想振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)的研究還是較少的。易園園等[13]建立了三相異步電機(jī)-多級(jí)齒輪系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其沖擊載荷下的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究，但并未對(duì)Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行研究。張力豪等[14]對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行升速過臨界實(shí)驗(yàn)，從其實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅在臨界轉(zhuǎn)速之前平緩增大，而在轉(zhuǎn)速通過臨界轉(zhuǎn)速之后，振幅并不是平緩降低，而是突然急劇降低，發(fā)生了明顯非線性跳躍現(xiàn)象，即Sommerfeld效應(yīng)，但其并未對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行深入研究。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果在文獻(xiàn)[15-17]中也可以得到，但相關(guān)作者同樣并未對(duì)Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行相關(guān)研究。

綜上所述，以上研究工作往往采用了簡(jiǎn)單的直流電動(dòng)機(jī)作為原動(dòng)機(jī)，對(duì)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行了分析。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，采用復(fù)雜的三相異步電動(dòng)機(jī)代替直流電動(dòng)機(jī)，對(duì)三相異步電動(dòng)機(jī)與振動(dòng)系統(tǒng)間的相互作用進(jìn)行分析。將三相異步電動(dòng)機(jī)的模型引入到振動(dòng)系統(tǒng)中，建立三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用所建模型，對(duì)三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld效應(yīng)進(jìn)行研究，為振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力設(shè)計(jì)與原動(dòng)機(jī)的選型提供借鑒。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1為所研究振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合模型。如圖所示，一個(gè)剛體由一組彈簧和阻尼器支撐。一臺(tái)三相異步電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)偏心轉(zhuǎn)子沿著逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。僅僅考慮剛體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)，用坐標(biāo)y表示。

圖1 三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of a vibration system driven by three-phase asynchronous motor

偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)心的坐標(biāo)可表示為

(1)

(2)

式中:mb為剛體質(zhì)量;m1為偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量;J1為偏心轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，包括三相異步電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J01和偏心塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即J=J01+m1r2。

可以計(jì)算得到系統(tǒng)的勢(shì)能為

V=ky2/2

(3)

式中，k為彈簧y方向的剛度系數(shù)。

系統(tǒng)耗散函數(shù)D可表示為

(4)

式中:c為彈簧y方向的阻尼系數(shù)；c1為三相異步電機(jī)的阻尼系數(shù)。

根據(jù)Lagrange方程建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

(5)

式中:qj為系統(tǒng)廣義坐標(biāo);Qj為廣義力。

對(duì)于圖1所示系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)向量為q=(yφ)T，廣義力向量為Q=(0Te)T，其中，Te為三相異步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，可表示為[18]

(6)

式中:np為極對(duì)數(shù);U為相電壓;Rs為定子電阻;Rr為轉(zhuǎn)子電阻;ωs為同步角速度;Ω為機(jī)械角速度;L1s=Ls-Lm為定子漏感，L1r=Lr-Lm為轉(zhuǎn)子漏感，Ls為定子自感，Lr為轉(zhuǎn)子自感，Lm為互感系數(shù)。

將式(2)～式(4)代入式(5)，可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為

(7)

由于電機(jī)轉(zhuǎn)速的波動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平均轉(zhuǎn)速，因此可以忽略轉(zhuǎn)速波動(dòng)，則式(7)變?yōu)?/p>

(8)

2 理論計(jì)算與穩(wěn)定性分析

2.1 理論計(jì)算

引入無(wú)量綱參數(shù)

則式(8)第一式變?yōu)?/p>

(9)

式(9)的解為

其中，

(11)

式中，To為電機(jī)的平均輸出轉(zhuǎn)矩。

(12)

將式(12)代入式(11)，可以得到關(guān)于ω的方程

(13)

可以看出，式(13)是關(guān)于ω的非線性高次超越方程，不能得到ω的解析解，需要通過數(shù)值方法計(jì)算ω的值。

2.2 穩(wěn)定性分析

下面研究解ω的穩(wěn)定性。設(shè)ω0是已求得的ω的解，ε為ω在ω0處的攝動(dòng)量，則

(14)

將式(14)代入式(8)的第二個(gè)方程，并略去關(guān)于ε的高階小量，可以得到關(guān)于ε的攝動(dòng)方程

(15)

其中，

η2mr2ζωnμ2(1+4μ2(ωn/ω0)2(2ζ2+(ωn/ω0)2-1))

式(15)可整理為

(16)

其中，

λ=ce-cL-c1

顯然，如果λ<0，ω=ω0的解是穩(wěn)定的；反之，ω=ω0的解是不穩(wěn)定的。

3 研究案例

本節(jié)對(duì)所研究的機(jī)電耦合系統(tǒng)進(jìn)行分析，并基于Matlab/Simulink數(shù)值仿真對(duì)所提出理論方法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，最后分析偏心質(zhì)量及三相異步電動(dòng)機(jī)功率對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響規(guī)律。三相異步電動(dòng)機(jī)參數(shù)以及振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)分別如表1、表2所示。

表1 三相異步電動(dòng)機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of three-phase asynchronous motor

表2 振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of vibration system

3.1 理論分析與仿真驗(yàn)證

選擇偏心質(zhì)量m1=1.3 kg，采用所提出的解析方法得到不同頻率下的機(jī)電耦合振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，如圖2所示。圖2(a)為電機(jī)轉(zhuǎn)速隨頻率的變化曲線，可以看出：隨著頻率的增加，電機(jī)的轉(zhuǎn)速并不是線性增大的；當(dāng)供電頻率低于25 Hz或高于36 Hz時(shí)，隨著頻率的增加，電機(jī)轉(zhuǎn)速快速增加；而當(dāng)25 Hz

圖2 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=1.3 kg)Fig.2 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1.3 kg

圖3為不同頻率條件下平均電磁與平均輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。由式(11)、式(12)可知，To與機(jī)體的振動(dòng)有關(guān)，隨著轉(zhuǎn)速由0增加到100 rad/s，To先增大后減小，當(dāng)機(jī)體共振時(shí)(ω≈ωn)，達(dá)到最大值。由式(6)可知電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩與供電頻率和電機(jī)轉(zhuǎn)速均相關(guān)，當(dāng)頻率不同時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化情況不同。由式(13)可知，不同頻率條件下，Te與To的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)就是該頻率條件下的電機(jī)轉(zhuǎn)速。當(dāng)f=33.8 Hz，34 Hz及34.2 Hz時(shí)，Te與To隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在三個(gè)交點(diǎn)，即轉(zhuǎn)速存在三個(gè)解，而通過所提出的穩(wěn)定性判據(jù)，中間解是不穩(wěn)定的，最終得到圖2所示結(jié)果。

下面從能量角度對(duì)產(chǎn)生Sommerfeld效應(yīng)的原因進(jìn)行分析。作為典型的機(jī)電耦合系統(tǒng)，電機(jī)所提供的能量一部分用于維持電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而另外一部分用于滿足機(jī)體振動(dòng)所需的能量，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于機(jī)體固有頻率(ω<<ωn)時(shí)，機(jī)體振動(dòng)所需能量較小，電機(jī)能量主要用于維持電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此隨著頻率的增加，電機(jī)轉(zhuǎn)速線性增大，此時(shí)平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在一個(gè)交點(diǎn)，如圖3(a)所示；當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速接近于機(jī)體固有頻率時(shí)，機(jī)體振動(dòng)所需能量大大增加，對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生影響，隨著頻率的增加，電機(jī)轉(zhuǎn)速緩慢增加，此時(shí)平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在三個(gè)交點(diǎn)，如圖3(b)所示；當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到固有頻率時(shí)，機(jī)體振動(dòng)所需能量達(dá)到最大，電機(jī)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)尖點(diǎn)(A)，此時(shí)平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線存在兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)供電頻率繼續(xù)增大，平均電磁轉(zhuǎn)矩與輸出轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的變化曲線的交點(diǎn)直接跳躍至共振后，電機(jī)轉(zhuǎn)速迅速增大，機(jī)體振幅大大減小，機(jī)體所需能量大大減小，電機(jī)能量主要用于維持電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，電機(jī)轉(zhuǎn)速隨著頻率的增大線性增加。

圖3 不同頻率條件下轉(zhuǎn)速-轉(zhuǎn)矩變化曲線(m1=1.3 kg)Fig.3 Speed-torques curves with different frequency for m1=1.3 kg

為了驗(yàn)證所采用理論分析方法的正確性，基于Matlab/Simulink進(jìn)行了仿真分析。為了保證仿真的準(zhǔn)確性，采用Matlab/Simulink中的三相異步電動(dòng)機(jī)模塊，采用V/F開環(huán)控制方式實(shí)現(xiàn)電機(jī)頻率的調(diào)節(jié)，電機(jī)頻率f由20 Hz變化至50 Hz，每1 Hz進(jìn)行一次仿真計(jì)算，仿真時(shí)間均為10 s，最終得到電機(jī)與振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的平均轉(zhuǎn)速與幅值如圖2所示。可以清楚地看出：在35 Hz附近，電機(jī)轉(zhuǎn)速以及振動(dòng)系統(tǒng)的幅值均出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象；而在其他頻率范圍內(nèi)，仿真結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果也是完全一致的。圖4為電機(jī)轉(zhuǎn)速、振動(dòng)系統(tǒng)位移響應(yīng)及電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩隨時(shí)間的變化曲線。仿真時(shí)間為10 s，電機(jī)轉(zhuǎn)速由0啟動(dòng)，當(dāng)t=5 s時(shí)，f由34 Hz增加到35 Hz。由圖4(a)轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化曲線可知，當(dāng)t=2 s時(shí)，轉(zhuǎn)速達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)，但是由于機(jī)體是振動(dòng)的，因此電機(jī)轉(zhuǎn)速不是常數(shù)而是波動(dòng)的，但波動(dòng)幅度與平均轉(zhuǎn)速相比較是非常小的，因此在理論分析中忽略電機(jī)轉(zhuǎn)速的波動(dòng)是合理的；當(dāng)f由34 Hz增加到35 Hz時(shí)，由于頻率的突然變化，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)波動(dòng)，而當(dāng)轉(zhuǎn)速再次達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速不是緩慢增加的，而是由約60 rad/s跳躍至70 rad/s，明顯出現(xiàn)了非線性跳躍現(xiàn)象，再次說(shuō)明了理論分析方法的正確性。電機(jī)轉(zhuǎn)速由60 rad/s跳躍至70 rad/s，跳過共振點(diǎn)，機(jī)體響應(yīng)的幅值迅速減小，如圖4(b)所示。電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩與機(jī)體響應(yīng)的變化是一致的，幅值的減小，電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)也相應(yīng)的減小，如圖4(c)所示。此外，從共振區(qū)跳躍至共振后，平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩也有所減小，因此，電機(jī)提供的電磁轉(zhuǎn)矩也相應(yīng)的減小。對(duì)比理論計(jì)算與仿真分析的結(jié)果可以充分說(shuō)明所提出的理論計(jì)算方法是正確的。

圖4 振動(dòng)系統(tǒng)瞬時(shí)響應(yīng)曲線(m1=1.3 kg)Fig.4 Transient responses curves of vibration system for m1=1.3 kg

3.2 參數(shù)影響

通過上面的分析可知，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是由電機(jī)所能提供的能量與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需的能量之間的相互關(guān)系決定的。當(dāng)電機(jī)所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩不滿足系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需轉(zhuǎn)矩時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)。下面，分析偏心質(zhì)量與電機(jī)功率對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響規(guī)律。

首先，分析偏心質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。當(dāng)偏心質(zhì)量較小時(shí)(m1=1 kg)，電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)如圖5所示。由于偏心質(zhì)量較小，系統(tǒng)振動(dòng)對(duì)電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響較小，與η=0(即m1=0 kg)相比較，電機(jī)轉(zhuǎn)速僅僅在共振區(qū)附近略有降低，不會(huì)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)，如圖5(a)所示。電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)相互作用，相互影響，系統(tǒng)響應(yīng)同樣不會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，如圖5(b)所示。圖5(c)更清晰地表明，在不同的頻率條件下，電機(jī)轉(zhuǎn)速的值是唯一的且穩(wěn)定的。當(dāng)偏心質(zhì)量較大時(shí)(m1=2 kg)，電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)如圖6所示。由圖6(a)可知：當(dāng)f<36 Hz時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速存在唯一穩(wěn)定解；而當(dāng)f>36 Hz時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速存在三個(gè)不同的解，且有兩個(gè)穩(wěn)定解，根據(jù)圖6(c)判斷，其中一個(gè)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速始終低于系統(tǒng)固有頻率，而另外一個(gè)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速大于系統(tǒng)固有頻率且隨著頻率的增加迅速增大。振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，如圖6(b)所示。由于偏心質(zhì)量較大，系統(tǒng)通過共振區(qū)，需要更大的能量，電機(jī)功率略有不足，施加適當(dāng)?shù)臈l件，轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)響應(yīng)將會(huì)直接跳過系統(tǒng)固有頻率，即出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)。由圖7可以看出，繼續(xù)增加偏心質(zhì)量(m1=3 kg)時(shí)，電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率的變化規(guī)律與m1=2 kg時(shí)相似，僅僅是轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解的頻率有所增大，當(dāng)頻率大于多解所對(duì)應(yīng)的臨界頻率時(shí)，系統(tǒng)有出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)的可能性。由上述結(jié)果可以推測(cè)，當(dāng)偏心質(zhì)量增大到一定值時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速將始終低于固有頻率，系統(tǒng)將不能通過共振區(qū)。當(dāng)偏心質(zhì)量增加到m1=6 kg時(shí)，電機(jī)功率完全不能滿足系統(tǒng)通過共振區(qū)的要求，電機(jī)轉(zhuǎn)速始終低于系統(tǒng)固有頻率，如圖8所示。

圖5 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=1 kg)Fig.5 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1 kg

圖6 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=2 kg)Fig.6 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=2 kg

圖7 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=3 kg)Fig.7 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=3 kg

圖8 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(m1=6 kg)Fig.8 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=6 kg

接下來(lái)，分析電機(jī)功率對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。選擇偏心質(zhì)量m1=6 kg，由圖8可知，當(dāng)P=0.2 kW時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速將始終低于固有頻率，系統(tǒng)將不能越過共振區(qū)。下面，分別選擇P=0.75 kW,2 kW及4 kW的電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，采用所提出的理論方法對(duì)其系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析。電機(jī)相關(guān)參數(shù)如表3所示。當(dāng)電機(jī)額定功率為P=0.75 kW時(shí)，電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與系統(tǒng)響應(yīng)隨頻率的變化曲線，如圖9所示。可以看出，當(dāng)f>40 Hz時(shí)，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解，系統(tǒng)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)，轉(zhuǎn)速可以越過固有頻率，系統(tǒng)可工作于非共振狀態(tài)。當(dāng)電機(jī)額定功率P=2 kW時(shí)，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)多解所對(duì)應(yīng)的頻率減小至約35 Hz，如圖10所示。但從上述兩種工作狀態(tài)可以看出，當(dāng)頻率大于臨界頻率時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速存在兩個(gè)穩(wěn)定的解，系統(tǒng)既可以穩(wěn)定工作于共振前，也可以穩(wěn)工作于共振后。當(dāng)電機(jī)額定功率增大到P=4 kW時(shí)，電機(jī)的供電頻率大于34 Hz，系統(tǒng)將直接跳過共振區(qū)，隨著頻率的增大，系統(tǒng)將快速遠(yuǎn)離共振區(qū)，如圖11所示。

圖11 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=4 kW)Fig.11 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=4 kW

圖10 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=2 kW)Fig.10 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=2 kW

圖9 振動(dòng)系統(tǒng)非線性響應(yīng)曲線(P=0.75 kW)Fig.9 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=0.75 kW

表3 三個(gè)不同功率三相異步電動(dòng)機(jī)參數(shù)Tab.3 Parameters of three three-phase asynchronous motors with different powers

4 結(jié) 論

將三相異步電動(dòng)機(jī)的模型引入振動(dòng)系統(tǒng)，在充分地考慮三相異步電動(dòng)機(jī)與振動(dòng)系統(tǒng)相互作用的基礎(chǔ)上，對(duì)非理想三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究。從工程實(shí)際出發(fā)，忽略電機(jī)轉(zhuǎn)速的波動(dòng)，采用解析方法，計(jì)算得到不同頻率條件下的電機(jī)轉(zhuǎn)速，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。基于Matlab/Simulink進(jìn)行仿真驗(yàn)證，充分說(shuō)明了所采用理論分析方法的正確性。此外，對(duì)偏心質(zhì)量以及電機(jī)功率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響進(jìn)行了分析。通過上述研究，得到以下結(jié)論：

(1)與理想振動(dòng)系統(tǒng)相比較，三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)了Sommerfeld效應(yīng)，電機(jī)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象，振動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)出硬式非線性現(xiàn)象。

(2)三相異步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是由電機(jī)所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩與振動(dòng)系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系決定的。當(dāng)振動(dòng)所需轉(zhuǎn)矩較小時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響較小，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)Sommerfeld效應(yīng)；當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩較大時(shí)，電機(jī)所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩不能滿足系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩要求，系統(tǒng)出現(xiàn)非線性跳躍現(xiàn)象，即Sommerfeld效應(yīng)；當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)所需轉(zhuǎn)矩完全超過電機(jī)所能提供的電磁轉(zhuǎn)矩時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速將始終低于系統(tǒng)共振頻率，系統(tǒng)不能通過共振區(qū)。

(3)針對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)不能通過共振區(qū)的問題，可以采用兩種方法來(lái)解決：?減小系統(tǒng)的幅值以減小電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，最終使振動(dòng)系統(tǒng)通過共振區(qū)；?選擇更大功率的電機(jī)，滿足系統(tǒng)通過共振區(qū)所需電磁轉(zhuǎn)矩的要求。