利用射電天線軸線信息測定VLBI站點垂線偏差

馬小輝，孫中苗，張志斌，張阿麗，袁 野，孫正雄，王 宏

1. 信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450001； 2. 西安測繪研究所，陜西 西安 710054； 3. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054； 4. 中國科學院上海天文臺，上海 200030； 5. 中國科學院大學天文與空間科學學院，北京 100049； 6. 中國科學院新疆天文臺，新疆 烏魯木齊 830011； 7. 北京跟蹤與通信技術研究所，北京 100094

垂線偏差(deflection of the vertical,DOV)的定義為地面一點上的重力矢量和相應橢球面上的法線矢量之間的夾角[1]。DOV在天文與大地成果(坐標、方位角)間的轉換、觀測水平角垂直角到橢球的歸算、大地網平差、大地水準面檢核、不同高程系統間的轉換等方面有著廣泛應用；在航天領域[2-3]以及地下物質遷移、地震信號分析等地球物理研究[4-9]領域也有重要應用價值。國際天文聯合會[10]與國際大地測量協會[11]以及中國大地測量學學科發展戰略研究組[12-13]等組織均對DOV的研究十分重視。

DOV的測定方法包括傳統天文大地測量法[14]、GNSS水準法[15-16]、重力測量法[17]和地球重力場模型法[18-19]。天文大地測量法觀測設備近年已由天頂筒升級為數字天頂儀[20]，內符合觀測精度為～0.2″，軸線絕對定位精度為1～2″。GNSS水準法在采用相對精度為厘米級的大地水準面的情況下可獲得～0.7″計算精度的DOV[21]，該方法適用于面積不大且地形呈線性變化的地區，DOV測定精度為幾個角秒。采用重力測量法和地球重力場模型法，我國2000中國重力場與似大地水準面模型(CGGM2000)確定任一點DOV的精度可達1.5″。

甚長基線干涉測量技術(very long baseline interferometry，VLBI)觀測站會在建站初期開展本地測量以測定VLBI天線參考點坐標初值[22]。觀測站開展運行后，會對多技術并置站(如VLBI和GNSS)開展不定期本地連接測量。VLBI全球觀測系統(VGOS)要求每兩年半開展一次本地連接測量[23]，來測定VLBI天線參考點與其他空間大地測量設備參考點之間的連接矢量，從而對多技術地球參考架提供約束。VLBI測站需定期開展天線指向改正測量和天線歸心測量，以保證天線的觀測性能。但因VLBI技術對重力不敏感[24]，長期以來VLBI測站DOV測量需依托專用測量設備，如天文經緯儀、天頂筒、數字天頂儀和GNSS接收機等。鑒于VLBI測站對DOV測定需求的功能擴展，考慮依托本地歸心測量中的水準信息，使得VLBI測量對重力信息變得敏感，從而進一步結合VLBI天線指向改正測量結果反演DOV信息。本文針對應用廣泛的方位俯仰型天線，提出利用天線方位軸指向信息測定DOV的原理與方法，并利用已有數據對VLBI測站處DOV測定結果進行初步驗證。

1 原 理

利用天線方位軸與本地垂線和法線的關系來測定VLBI測站DOV原理簡單直觀，如圖1所示。圖1(a)中，天線方位軸近似指向天頂；圖1(b)中，通過對天線開展本地歸心測量，觀測與天線隨動的靶標，再進行歸心解算，不僅可以計算出參考點點位，而且可以確定天線方位軸與本地垂線矢量間的夾角u1；圖1(c)中，通過開展天線指向修正測量，不僅可以構建天線指向修正模型保證天線指向精度，而且可以確定天線方位軸與本地法線矢量間的夾角u2；u1與u2之差即為該站DOV。

圖1 利用天線歸心測量與天線指向測量信息確定DOV的原理Fig.1 The principle of determining DOV by telescope local surveying and pointing calibration data

u1與u2分別基于天線歸心測量模型和天線指向改正模型求出。一直以來，射電天線的歸心測量工作與指向改正工作分別服務于站址標定和天線觀測，兩者分別獨立開展，所采用模型中的軸系誤差與正負角等定義并不相同，這在一定程度上限制了兩者的測地推廣與應用。為了獲得可靠的u1與u2，天線歸心測量模型與指向改正模型中的相關定義必須統一，這些定義包括軸系誤差的類別、正方向及可合并誤差項等。

2 統一的天線指向改正模型和歸心測量模型

統一的天線歸心測量模型與指向改正模型，是利用天線歸心測量和天線指向改正產品(即u1與u2)計算DOV的前提。所謂統一是指將兩個模型中的坐標系、正角負角以及軸系誤差的定義保持一致。本節將分別對兩者共用坐標系、正角負角以及軸系誤差進行定義，并推導出統一的天線指向改正模型和歸心測量模型。需要注意的是，本文的天線指向改正模型僅涉及因軸系誤差而引起的天線指向改正(主項改正)，并不涉及大氣折射、天線重力形變等指向改正(小項改正)。

2.1 本文定義

2.1.1 坐標系定義

本文共用到3套坐標系，分別為站心坐標系OENU、天線坐標系Oxyz以及天線指向切面坐標系OA′RE′，3套坐標系均為笛卡爾坐標系(右手系)，均以參考點為原點O，如圖2所示。天線參考點定義為天線主動軸與包含從動軸運動平面的交點[25]，站心坐標系OENU3軸指向分別對應“東、北、上”方向，注意指向模型建模中的“上”近似于參考點相對參考橢球法線的反方向；天線坐標系Oxyz第1軸為天線俯仰軸x，第2軸為天線指向方向y，與兩軸均垂直且過O點的為z軸；天線指向切面坐標系OA′RE′，第2軸R為天線指向方向，第1軸A′和第3軸E′分別對應方位和俯仰方向。

圖2 三套坐標系示意圖Fig.2 Three coordinate systems

本文所用旋轉矩陣共兩種，第1種用來描述質點在同一坐標系中的旋轉，用R1/2/3表示，下標分別表示繞第1、2、3軸的旋轉；第2種用來描述新坐標系相對舊坐標系的旋轉，用S1/2/3表示，下標意義同上。

2.1.2 正角負角定義

笛卡爾坐標系中，坐標系旋轉實質是軸系相對某一角度旋轉，角度正方向符合右手準則，反之為負。本文涉及的正角包括α、β、γ、δ、μ和E；負角包括λ和A。

2.1.3 軸系誤差定義

文中E和A分別表示天線俯仰角(或高度角)和方位角，各軸系誤差名稱與符號見表1。天線準直差反映了天線實際指向與設計指向在空間中的固定差異，δ表示該準直差在空間中的水平分量，其對方位角的影響ΔA隨天線高度角不同而不同(見圖3)；天線垂直指向準直差則與俯仰度盤差耦合，本文將其合并稱為俯仰度盤差。表1中前6項統稱為軸線傾斜，用角度來描述，后一項e為方位軸與俯仰軸間的軸線偏差，用距離來衡量。e的正向為天線的水平指向方向。

表1 各類軸系誤差及其解釋

圖3 天線水平準直差對方位角的影響Fig.3 The effect on the azimuth angle caused by telescope collimation error

2.2 指向改正模型推導

如圖4所示，推導步驟為：

(1) 設初始狀態，坐標系Oxyz與OENU重合，此時天線方位俯仰均為0，定義某點p位于天線指向上，距離參考點(原點O)為無量綱的單位矢量P。

圖4 天線軸系改正模型推導過程Fig.4 The derivation process of correction model of telescope axes

(2) 依次考慮天線準直差δ、俯仰角E、俯仰度盤差μ、軸線偏差e、俯仰軸傾角γ、方位角A、方位度盤差λ，方位軸傾角α和β，p點在OENU中考慮了軸系誤差的位置P′與P的關系如式(1)所示

P′=R1(β)R2(α)R3(-A-λ)R2(γ)

[e+R1(E+μ)R3(δ)P]

(1)

設此時通過掃描法所測定的射電目標的真實位置為Ao與Eo，則P′在OA′RE′坐標系中的位置P″可由式(2)計算得到

P″=S1(Eo)S3(-Ao)P′

(2)

如上所述，p點與固定于天線指向上相對天線某一指向下在OA′RE′系中的理論位置仍可用P表示，由此得到天線軸系誤差指向改正模型的完全表達式C，見式(3)

C=P″-P

(3)

令Ao=A，Eo=E，且對軸線傾角進行小角近似簡化，令α、β等小角參數的正弦量為對應小角，余弦量為1。為方便描述系數矩陣，式(3)可拆解為式(4)

(4)

2.3 天線指向改正模型

式(4)為天線軸系誤差改正模型的完全表達式，指向模型的軸系影響系數矩陣即CA和CE。為確保軸系誤差模型精度達到1″以內，可舍去CA和CE中二次及以上的項，則天線指向軸系誤差改正模型見式(5)

(5)

該模型包括了常用的9項天線指向改正模型[26]中有關軸系誤差的項，也是22項天線指向模型[27]軸系誤差的主項。

2.4 天線歸心測量模型

天線歸心測量模型構建了天線參考點位置Prp，天線軸系誤差α′、β′、γ及e，以及本地觀測靶標點理論位置Pcalc之間的關系。文獻[28]給出的L?sler歸心模型，如式(6)所示，該式坐標系與正負角度定義分別與上文一致

Pcalc=Prp+R1(β′)·R2(α′)·R3(A+OA)·

R2(γ)·R1(E+OE)·(Ptel+e)

(6)

式中，OA和OE分別為起始方位角和起始俯仰角，OA不僅包含了2.1.3節中λ，也包含了本地坐標系與OENU北方向之間的方位差；OE則包含了2.1.3節中的μ以及靶標位置與指向位置的俯仰角之差；2.1.3節中提到的天線準直差δ則被靶標位置矢量Ptel吸收；A、E、γ及e的定義與2.1.3節中的定義完全相同；由于歸心測量是基于本地高程基準開展的，因此歸心測量模型中的站心坐標系OENU3軸中的“上”指過參考點垂線的反方向，即α′和β′表示的是天線方位軸相對本地垂線的傾角。

通過對VLBI站開展歸心測量，觀測與VLBI天線隨動的靶標軌跡，結合靶標點理論位置和實測位置，構建及解算誤差方程，即可確定參考點及式(6)中各軸系參數的值。

2.5 垂線偏差求解

由上文可知，天線指向模型中的α與β是天線方位軸相對于法線的傾角，而天線歸心測量模型中的α′和β′是天線方位軸相對于垂線的夾角。一般情況下，天線方位軸指向是不變的，因此可由式(7)求得VLBI測站本地垂線偏差

(7)

式中，η⊙與ξ⊙分別表示西東向與北南向的垂線偏差，本文定義垂線法線均指向天頂方向，則垂線偏差也標注天頂方向。

3 試驗與結果

3.1 試驗過程

2011年7月至2011年8月，對烏魯木齊南山站25 m VLBI天線開展了歸心測量與天線指向測量。本次歸心測量，圍繞VLBI天線共布設了連同GNSS基準站(GUAO)在內的共6個基墩組成的本地控制網，如圖5所示?？刂凭W的GNSS坐標結果由超過1周的同步環觀測數據解算得到。天線歸心測量過程及參數解算細節可參考文獻[29—30]。天線指向修正觀測作為天線的常規維護任務，一般幾月進行一次。南山站采用22項天線指向修正模型，其中與軸系誤差相關的7項修正項與本文定義相同，模型擬后指向精度約5″～10″[31]。南山25 m天線已于2014年重建，2011年的天線狀態已不可追溯，此處取7″作為其擬后殘差。對于式(5)中方位改正模型右側5項，以及俯仰改正模型右側4項，令各項對天線指向的貢獻相同，則天線指向改正模型中的軸線擬合系數的精度為3″～4″。

2020年5月，采用AT330型數字天頂攝影定位系統(天頂筒)，依據GJB 149A—2013《軍用天文測量規范》對烏魯木齊南山站開展了垂線偏差測定。結合觀測期間烏魯木齊南山站氣象條件與地面硬化范圍限制，共選取了5個DOV觀測點，如圖5中“△”所示，具體測定結果見表2。南山站2020年DOV值與2011年相比可能存在長期性變化，對于京滇地區重復測量結果表明，DOV每年有0.001″～0.004″的偏移[32]，具體因地而異，但9年的DOV差別仍在實測精度范圍內。

圖5 南山并置站本地連接控制網(▲)與垂線偏差觀測點(△)Fig.5 Local control network (▲) and DOV surveying points (△) in NANSHAN co-located station

表2 南山站DOV實測值

3.2 軸系誤差間的一致性

表3為歸心測量與天線指向模型中所解算的各軸系參數對照表。指向測量和歸心測量分別基于本地法線和本地垂線，其所解算方位軸傾角參數間存在不一致，這種不一致即DOV；22項天線指向修正模型給出的e為151.76″，考慮弧度為無量綱單位，將“m”作為上節中e的單位，則e等于0.7″，e的符合度為1～2 mm，類似的可將其形式精度4″換算到長度單位；天線俯仰軸參數γ符合得很好。

3.3 垂線偏差結果

采用其他3種方法對本文反演的DOV結果進行驗證，包括易于開展的地形積分方法、重力場模型法以及最為可信的天頂筒實測法。各種方法相互比較，同時也可用以分析不同模型和方法間的一致性。天頂筒實測法在3.1節中已進行介紹，本文取與VLBI天線站址最為接近的D1點作為該區域DOV的實測值；重力模型法則利用我國2000中國重力場與似大地水準面模型(CGGM2000)[17]計算出南山站VLBI天線處的DOV值。下面對地形積分法進行詳細說明。

表3 歸心測量與天線指向模型中的軸系參數對照

相關計算參考紫金山重力異常對時間測定影響的計算經驗[5]，本文稱其為地形積分模型。假設天線周邊地殼中物質分布均勻，對天線周邊東西和南北區域分塊并做地形填補，計算東西向和南北向物質分布差異，從而確定測站周邊物質分布引起的重力異常。如圖6所示，調取南山站周邊30 km內的地形，并以南山站參考點為中心，分為東西側和南北側開展計算，具體計算過程如下。

首先標記參考點對應兩側(如西側和東側)土方填挖量相同時各自的參考高程HW和HE，那么參考點兩側中的一側(西側或東側)將形成半圓臺土方形狀，利用式(8)計算其相對天線參考點處的東西側引力異常ΔgWE。圖6中，計算東西重力異常，先將Ⅲ和Ⅳ區域作為整體，填成半圓臺狀，再將Ⅰ和Ⅱ區域作為整體，填成半圓臺狀，兩個半圓臺高程差出的部分，即為東西側物質之差。同理可得南北重力異常

(8)

式中，G為引力常數；ρ為巖土密度；H0為參考點處的高程；R為積分半徑，取30 km。南山站周邊山體溝壑縱橫，采用30 km的積分范圍可增加可信度，如果進一步擴大半徑，積分區域會抵達天山北側主峰，此時將不得不考慮山體負載均衡，因此本文以30 km為限。θ0和θ1分別為圓面角度積分下上限，HB和HU分別為土方填平后所形成圓臺高程的下上限。利用不同的半圓臺土方計算兩個方向上的Δg，分別為西東向引力異常ΔgWE和南北向引力異常ΔgNS，這里還需扣除計算土方時的四分之一重疊半圓臺土方Δgo，這部分土方對西東和南北向的重力影響相同。那么，由引力異常計算垂線偏差的計算式為式(9)。3個Δg的積分限的取值見表4，其中各填平半圓臺上下高程值由數字高程模型軟件Local SpaceViewer計算得到。

圖6 南山周邊地形及地形積分范圍Fig.6 Topography and topography integral range around Nanshan

表4 不同Δg積分上下限取值

(9)

式中，φ和H0分別為測站緯度與大地高。相對于本地法線，垂線偏差u可以有兩個方向，一個指向地心，一個指向天頂，文中分別用u?和u⊙表示，其分量表示方法也類似。采用VLBI天線軸線信息反演法、地形積分法、重力模型法以及天頂筒實測法所計算的DOV結果見表5。

表5 垂線偏差值符合

由表5可知：①4種方法均可求取VLBI測站DOV，所求DOV分量的方向均一致，表5中DOV方向分別定義為東向和南向；②天頂筒在VLBI站點的DOV實測精度分別為0.047 7″(子午方向)和0.046 6″(卯酉方向)，重力模型精度約1″，兩者符合度均在各自觀測或標稱精度范圍內；③由于未考慮地底物質分布，地形積分模型所測DOV值在量級上相較實測值偏大；④用本文方法確定的DOV形式精度約5″，在卯酉方向上與實測值符合很好，在子午方向上存在著～18″的不符。這是由于天線指向校正測量時射電源在測站天區南北分布不均勻引起的。

3.4 討 論

本文測定DOV的原理可概括為：通過基于本地水準面開展的歸心測量確定天線方位軸相對垂線的傾角，再通過同一時期的天線指向測量確定天線方位軸相對于法線的傾角，兩者之差即為測站垂線偏差。該值嚴格定義于天線參考點處，由指向測量和歸心測量結果推出，無須另行開展天文大地觀測。

VLBI歸心測量控制網大小一般在方圓約200 m范圍內(本例控制網中最長基線約為160 m)，控制網內的垂線方向具有一致性是本文方法開展的前提，即天線參考點處的垂線方向應能夠代表整個本地歸心測量控制網的垂線方向。歸心測量中的水準是采用本方法開展VLBI站DOV測量的基礎。

作為VLBI測站的常規測量標校手段，天線指向測量周期為幾個月；而VGOS測量規范中規定，天線歸心測量(本地連接測量)開展周期應為2.5 a。對于同期開展的歸心測量與天線指向測量見表3，俯仰軸傾角以及軸線偏差參數間有著很好的符合度。

本文計算的DOV測量形式精度約為5″，DOV卯酉分量與實測值符合得較好，但在子午分量上兩者差別達到了18″。其原因是天線在開展指向測量時，所觀測射電源相對本地天區在東西方向上分布近乎對稱，而在南北方向上分布不均勻。因南山站2011年天線指向測量狀態已不可追溯，此處以上海天馬VLBI全球觀測系統(VGOS)站某次指向校準時所觀測校準源的天區分布為例。觀測校準源共5顆，如圖7所示，這些源東西分布近乎對稱而南北分布極不均勻，這導致了該天線方位軸傾角在子午分量上測定精度較差。類似情況，傳統VLBI天線指向改正模型建立時，并不會太多關注參數的物理意義，且β值的多解性并不會影響天線指向模型的建立(并不會引起誤差方程的奇異)，這使得DOV子午分量的測定出現較大的不確定性。后期將對天線指向修正觀測綱要等開展優化設計，從而可以高精度測定β值。

圖7 某次天馬VGOS指向修正所用的射電源分布(天頂俯視圖)Fig.7 The case of observed radio source distribution used for the pointing calibration of the TIANMA VGOS(viewed from zenith)

4 結 論

本文通過構建統一的天線指向改正模型與歸心測量模型，建立了VLBI天線指向改正測量、歸心測量以及站點DOV測定三者間的聯系，并基于南山站天線指向改正和歸心測量實測數據，實現了站點垂線偏差的初步測定。結果表明，采用該方法所測得的站點DOV，在量級和方向上與實測值以及DOV模型值表現一致。因天線指向修正觀測所采用的射電源南北分布不均勻，所測DOV在子午分量數值上存在一定偏差，然而所測DOV在卯酉分量上與天頂筒實測值的一致性可達0.2″。后續工作中，將針對天線指向修正觀測與歸心測量方案分別開展射電源天區覆蓋與靶標點覆蓋的專項優化，預計DOV測定精度可提高約1″。

通過引入歸心測量中的水準信息，VLBI天線將不再對重力方向變化“不敏感”?？紤]到天線指向測量與歸心測量是VLBI天線的常規維護手段，采用該方法不僅可實現射電天線站點DOV的“零成本”監測，而且有望實現VLBI測站的DOV常規監測。