讓學生學會“數學地想”

李鐵安 張惠云

這節課是以數學家歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”為史料背景展開的。本節課不僅要讓學生探究一筆畫圖形的規律，還要讓學生經歷一個發現提出問題和分析解決問題的完滿的過程，并在探索的過程中引導學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界”。

【教學過程】

環節一：創作及判斷圖形能否一筆畫——明確何為一筆畫

教師在屏幕上動態展示一筆寫出“好玩”兩個字的過程（如圖1）。

師：同學們請看！這兩個字認識嗎？

生：認識！是“好玩”兩個字。

生：我發現“好玩”這兩個字是一筆寫出來的。

師：一筆連著寫出“好玩”兩個字，確實挺好玩。今天讓我們一起來學習“好玩的一筆畫”。大家請看，我用一筆創作了一個圖形，這是什么？（生答，略）

師：是的，老師用一筆畫出了一個向上指的箭頭。你們能用一筆畫出怎樣的圖形呢？自己試一試！

（學生交流各自的作品，如圖2）

師：哦！這么多圖案都能用簡單的一筆就畫出來，你們的想象和創意都很獨特。下面同學們再認真看看這些圖形（出示圖3）。想一想，試一試，能一筆畫嗎？

生：第①個圖形能一筆畫，我是這樣畫的（從圓點處起筆）。

生：我還有其他的畫法，這樣畫也是可以的（從圓點處起筆）。

生：我再試試其他兩個點，都不行。

師：你們是從每個點開始嘗試一筆畫的，這個想法挺好。

生：第②個圖形和第⑤個圖形從哪個點開始畫都行，只要繞著所有的線走一圈就可以啦！

師：從哪個點畫都行！你的發現太美妙了！

生：第③個圖形也能一筆畫，從這兩個點開始都是可以的。

師：是啊，這個圖形能一筆畫，也確實只有這兩個點能走通。

生：第④個圖形我嘗試了所有的點，無論從哪個點開始都不能一筆畫，大家看。（展示圖片，如圖4）

生：第⑥個圖形也不能一筆畫，怎么畫都少一條線。

師：能不能一筆畫成，這里面會不會藏著什么秘密呢？（生陷入思考）

師（出示圖5）：再看這幅圖，好好觀察一下，也可以試著在頭腦里操作一下，它能一筆畫嗎？

生：這個圖形看起來是可以一筆畫的，但我試了一下，先從一個點開始，還剩一條線走不到。我繼續試，還是不行……我把所有的點都試過了都不行，所以這個圖形是沒有辦法一筆畫的（如圖6）。

師：說得太好了，思考很嚴謹。

環節二： 探究一筆畫圖形是否有規律可循——確立奇偶點并明確規律

師：同學們，我很好奇，你們在試的過程中都有什么感覺呢？

生：感覺很繞，很神奇。

生：感覺像走迷宮一樣，很有意思。

生：有時候用眼睛看能夠一筆畫，但是實際畫卻不行。

生：在畫的過程中有時候還覺得挺著急，試了好多次，真想一次成功。如果有規律就好了。

師：是啊，如果有規律，是不是就會簡單很多呢？那我們就帶著這樣的思考繼續探索圖形的一筆畫與什么有關系。（生說猜想，過程略）

師：你們有的猜與點有關，有的猜與線有關，有的猜與點和線都有關系，這些猜測都很有道理！那么，就讓我們從這些猜測入手吧?。▽W生露出興奮的神情）

師：以上圖（指圖3）中的第①個圖形為例來進行探究，這個圖有4個點，將每個點分別用字母ABCD表示，每個點都能引出線，大家研究一下這些點和線，有什么發現（如圖7）？

生：從A點和C點能引出3條線，從B點和D點能引出2條線。

師：從一個點引出的線有單數條，這個點我們稱之為奇點;從一個點引出的線有雙數條，這個點我們稱之為偶點。

生：就是說這個圖形中有2個奇點，2個偶點。

環節三：使用規律判斷圖形——揭示“哥尼斯堡七橋問題”歷史背景

師：我們已經能夠數出圖形中的奇偶點個數，但是它們和能一筆畫出的圖形又有什么關系呢？請自主完成表格，并探索發現其中的規律。

生：我們需要探究的是能一筆畫的圖形與奇點和偶點有什么樣的關系，這里面還包含不能一筆畫的圖形，我覺得只展示一筆畫圖形會更好。

師：這個想法太好了，那我們就像你說的這樣展示。你有哪些發現呢？

生：我看偶點個數是2、6、3、5，好像沒有什么規律。

生：我發現奇點個數是雙數的能一筆畫。

生：我感覺不對，圖（指圖3）中第④、第⑥個圖形的奇點個數都是4，但是不能一筆畫。

師：你用舉反例的方法進行證明，看來奇點個數是雙數的未必都能一筆畫呀！

生：我發現奇點個數是0或2的就能一筆畫。

師：真的是這樣嗎？（師出示圖8）你能用這個規律來判斷這兩個圖形究竟能不能一筆畫嗎？判斷后再動筆畫一畫。

生：第①個圖形中有2個奇點，能一筆畫，我畫了一下，確實能一筆畫。

生：第②個圖形中有4個奇點，不能一筆畫。我嘗試了很多次，還真的不能一筆畫。

師：看來我們探究出的這個規律還挺好用的。（師又出示圖5）還記得這個圖形吧，請你們再利用我們發現的規律來判斷一下。

生：不能一筆畫，因為這個圖中有4個奇點。

師：是?。∧敲茨銈冎绬幔窟@幅你們最初看來很亂很煩，后來看起來又很清晰很可愛的圖，在它的背后，還有一段激動人心的故事呢！

（教師播放課件，背景語音+動態展示）

18世紀，哥尼斯堡有一條河，河中有兩個小島。全城被河分割成四塊陸地，河上架有七座橋，當時許多市民都在思索一個問題：一個人能否從某一地點出發，不重復地走遍所有的橋。這就是歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”。最后瑞士大數學家歐拉把這七橋問題轉化為圖形能否一筆畫的問題。

師：所以，我們今天就像數學家一樣，通過奇偶點判斷圖形能否一筆畫，由此順利地解決了七橋問題。

環節四：通過規律解決灑水車行走路線問題——發現奇點為0或2起止點不同

師：其實生活中還有很多這樣的問題。例如灑水車要給這兩個街道灑水，仔細看圖（師出示圖9），能不能從每個點出發不重復地灑遍所有的路呢？

生：第①個圖形可以從每個點出發灑遍所有的路，第②個圖形只有從兩個點出發能灑遍所有的路，其他點都是不可以的。

師：是這樣嗎？（動態展示所有點行走路徑）

師：你還有哪些發現？

生：我發現第①個圖形從每個點出發都回到了出發點，第②個圖形沒有回到出發點。

師：真是這樣！這兩幅圖的起止點不同。

生：我發現了第①個圖形的奇點是0，第②個圖形的奇點是2。

生：也就是說，奇點是0的圖形從哪個點開始都可以一筆畫，從起點開始最終都回到起點。如果奇點是2的圖形只能從一個奇點開始，到另外一個奇點結束，而且只能從那兩個奇點畫才能一筆畫。

環節五：根據規律嘗試改造“哥尼斯堡七橋問題”，使之可以一次走完

師：下面我們再來玩一玩！之前老師在教學這課時，曾經有一位小朋友好奇地提出：能不能把無法一筆畫的圖形變成能夠一筆畫的圖形呢？這是不是也很有意思？我們就來試一試！（過程略）

師：我們今天共同學習了好玩的一筆畫。一筆畫好玩，對這個問題的探究過程更好玩！我們經歷了一次充實而愉悅的數學文化之旅！最后我要告訴你們一個小秘密——今天的課也讓老師特別地充實和愉悅，所以我要謝謝同學們?。≡僖?！

【育人意蘊解析】

本節課在創新性上做了一些探索與突破。

開課情境引入“新”。課始，教師就出示了一筆寫成的兩個字“好玩”?！笆裁醋?？”“好玩?！薄昂猛鎲?？”“好玩。”“好玩在哪里？”“一筆寫出‘好玩兩個字，是挺好玩的?！边@個略帶俏皮的設計能讓學生初步感受一筆畫圖形，同時也告訴學生這節課是要“玩”數學。簡單的設計恰到好處！既能喚起學生的認知，又能迅速調整好學生的學習狀態。

問題結構搭建“新”。課程內容要“問題化”才能成為教學內容;教學內容要“邏輯化”才能成為學習內容。本節課設計了以下問題：①在學生嘗試一筆畫的基礎上，教師給出一些圖形，讓學生判斷可否一筆畫出。②特別給出哥尼斯堡七橋問題的抽象圖，讓學生判斷可否一筆畫出。③結合給出的圖形，讓學生探究什么樣的圖形能夠一筆畫出。 ④讓學生通過分類，概括出“奇點”和“偶點”的概念。⑤讓學生歸納出一筆畫與偶點個數無關，只與奇點個數有關（0或2）。⑥給出哥尼斯堡七橋問題的抽象圖，讓學生揭示為什么不能一筆畫。⑦介紹哥尼斯堡七橋問題，讓學生抽象出結構圖。⑧讓學生應用特征規律解決實際問題并探究歸納奇點個數是0或2的圖形一筆畫出的路徑特征。⑨探索如何把不能一筆畫的圖形升級為可以一筆畫的圖形（以哥尼斯堡七橋問題為例）。

前5個問題直接指向核心問題，其中問題①②重在實踐感知，學生通過畫一畫、想一想、試一試，形成對一筆畫圖形的初步認識;問題③④⑤則在感知的基礎上通過列表分類歸納得出結論。這是一個完整的培養學生的思維從形象思維向邏輯思維過渡的過程。問題⑥⑦旨在建立起數學模型和現實問題之間的聯系，“哥尼斯堡七橋問題”從抽象圖到結構圖再回到抽象圖，學生在經歷像數學家一樣思考的過程中感悟數學從生活中來再回到生活中去。問題⑧⑨指向具體應用，在解決實際問題時進一步理解規律并啟發學生從更深層次對問題進行追問、反思和再創造。這樣的問題結構按邏輯搭建之后，便為學生提供了一個充滿學習意義的有力抓手，讓學生經歷完滿的學習過程成為可能。同時，學生的數學核心素養在結構化和邏輯化問題的導引下得到有效發展。

數學史料處理“新”。在數學文化課堂上，隱性的數學史料要成為顯性的教學內容。因此，對數學史料的設計處理往往決定一節課的高度。本節課教學中三次出現“哥尼斯堡七橋問題”，第一次直接出示數學模型——抽象圖，讓學生嘗試探索能否一筆畫，初步感知;第二次先讓學生用規律直接判斷抽象圖能否一筆畫后出示現實問題，經講解后再嘗試建立抽象圖和結構圖之間的聯系;第三次結合模型和現實問題讓學生再創造——怎樣改造成能一筆畫的圖形，即不重復不遺漏走完所有的橋。這是一種極為巧妙的創新！“哥尼斯堡七橋問題”的每一次出現都獨具匠心、別有意味。設計上充分把數學史料作為課堂教學主線，用好用透，課程內容充滿了文化意蘊。

學生活動過程“新”。由于教師基于具體問題科學地組織教學，學生的學習方式就變得靈活有效，學生的思維體驗和情感體驗就變得生動有趣。在本節課開始階段學生動手嘗試哪些圖形能一筆畫時，教師沒有滿足于學生的淺嘗輒止，而是充分引導——“能一筆畫的圖形還可以怎樣畫？”學生初步感知能一筆畫的圖形的不同畫法。在得到規律進行實際應用，解決“灑水車不重復不遺漏灑水”的兩個具體問題后，教師有意留白，給學生足夠的時間進行思考。果然，學生恍然大悟，激動不已，發現能一筆畫圖形的不同畫法：一種圖形奇點的個數是0，一種圖形奇點的個數是2。首尾照應，水到渠成，學生的認知體驗和情感體驗都得到了強化。在提煉能一筆畫圖形的規律的過程中，教師很好地引導學生觀察一組圖形的列表：“認真觀察，你有什么發現？”學生首先發現可以去掉不能一筆畫的圖形讓表格更簡潔直觀，接著又有學生發現偶點的個數與能否一筆畫沒有直接關系，可以在表格中去掉“偶點個數”一欄。在教師精妙的評價中學生的思維火花完全被點燃，通過舉反例的方法聚焦奇點的個數是0或2。在此過程中，師生、生生的信息交流渠道完全被打通，學生既能在教師的預設下獨立思考問題，不斷地進行追問和反思，又能在同伴的啟發下，多角度思考問題，完善自己對問題的理解和解決。此時，學習真正發生！

（中國教育科學研究院基礎教育研究所? ?100088

北京小學華潤海中國大連分校? ?116600）