基于概率統計理論的鐵路橋梁損傷識別方法

陳一凡，孫利民,2

（1.同濟大學土木工程學院橋梁系，上海 200092；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

1 引言

基于概率統計的方法已被廣泛應用于檢測結構損傷。由概率密度函數擬合響應分布，然后比較各種損傷狀況下分布函數的變化，可以評估結構狀態。然后，建立損傷因子的置信區間來評估損傷程度，可以顯著改善運營養護決策。其他的研究利用統計理論來分析監測數據，并從分析結果中提取損傷指標。一些研究直接從監測數據中獲取統計指標作為損傷指標，例如峰、均值、均方根、方差、標準差以及偏度等，但是，它們的性能會受到環境因素的影響。因此，一些研究通過消除溫度效應和交通效應等的影響，從處理后的監測數據中提取統計損傷指標。此外，直接使用原始數據來重構所需數據也是一個很好地解決方案，可以從新的數據集中提取統計指標，以估計損傷程度。

2 基本理論

本研究進一步利用鐵路列車過橋過程中的梁端傾角時程數據進行橋梁結構損傷識別，首先進行車軌橋耦合振動計算以獲取橋梁響應。對于車軌橋振動系統，可將車輛視為一個子系統，軌道及橋梁視為另一個子系統，車輛子系統的運動微分方程可表示為：

軌道及橋梁子系統的運動微分方程可表示為：

借助于同濟大學李奇教授團隊編制的控制臺程序VBC2.0，利用龍格庫塔法可以數值求解橋梁梁端處的傾角時程α(t)，通過改變輸入的車速得到不同的時程序列 α(t)：

即不同傾角時程序列間的差異僅由輸入車速不同引起。隨后提取每段時程序列中的最值指標作為它們的特征θ，即各傾角時程絕對值最大的n個值的平均值：

式中n為第i個車速下橋梁發生自由衰減振動之前時程數據點個數的1/300，可通過以下簡單計算得到：

式中l為軌道總長，l為列車總長，v為第i個列車行駛速度，t為時間步長。

此時建立了車速與時程特征的映射關系：

不同鐵路列車經過同一點的速度值可以視為在某個區間內隨機出現，因此本研究假設經過橋上某點的車速服從某種特定的分布p(v)，根據上述速度—傾角的映射關系可以得到傾角的概率密度：

由于傾角θ的分布p與速度、結構狀態間的關系難以直接解析表達，故通過蒙特卡洛方法獲取結構參數改變后結構傾角的近似概率密度。用隨機抽樣的方法獲得一系列服從某分布的速度序列{v}，再利用上述映射關系可得傾角的隨機序列{θ}。當樣本數量足夠多時，該傾角的統計結果可近似認為是其概率密度。

最后本研究定義了統計指標：

式中n為核密度估計劃分區間數，θ為區間中點對應的傾角指標值，f為擬合曲線上對應于θ的擬合值。

通過對比分析損傷前后的損傷指標差異便可得出結構損傷初步結論。

3 數值模擬

3.1 獲取響應數據

本研究主要的研究對象是鐵路32m標準跨徑簡支梁橋。本文使用ANSYS建立該橋的有限元模型，選用beam4單元作為主梁單元，單元數量為32，模型其他參數為：橋長L=32m，彈性模量E=3.5e10Pa，截面慣性矩I=11.2m,密度 ρ=2500kg/m。

軌道模型方面，本文采用單層軌道模型模擬車橋之間的彈性作用，相關參數為：軌道豎向剛度k=0.75e8N/m，粘滯阻尼系數ξ=0.9e5N/(m/s)。

車輛模型方面，本文采用二系懸掛模型模擬列車，并采取一動＋三拖＋一動＋三拖共8節車廂的列車編組方式，以模擬現實情況中客運列車的編組。整個車橋系統的示意圖，見圖1所示。

圖1 車軌橋系統示意圖

列車運行速度方面，列車保持勻速行駛，并使計算程序按照{200 km/h，201 km/h，202 km/h，…，300 km/h}共 100個速度進行100次計算。時間步長方面，預設響應輸出時間步長為0.001s，時間步長過長會導致計算結果不收斂。

為進行各種工況下的對比分析，本研究設計了以下6種橋梁主梁剛度損傷工況（如表1）。

損傷工況定義 表1

橋梁無損情況下兩種車速對應的梁端傾角時程曲線，見圖2所示。

圖2 傾角時程曲線

此時可以建立列車速度與傾角指標之間的映射關系，利用三次方樣條插值法可作出插值曲線，見圖3所示。

圖3 列車行駛速度v與傾角指標"θ"的映射關系

3.2 隨機車速模擬

假設車速遵循某種特定的概率分布，借助于MATLAB產生10000個服從該分布的隨機數。結合上文中提到的列車速度與傾角指標之間的映射關系，可以獲取橋梁的傾角響應數據。在本項研究中，選擇β分布作為列車速度的概率分布。

β分布的概率密度函數的形狀由參數α和β決定，合理取值可以使隨機數覆蓋可能的車速范圍。本研究選取四組分布參數，其中x服從(0,1)上的均勻分布：

考慮到車速變化范圍的廣泛性，將β分布與均勻分布的和作為目標分布。

那么車速服從的分布，見圖4所示。

圖4 車速的目標分布

3.3 抽樣結果統計分析

得到速度隨機抽樣數據后，即可根據車速—傾角映射關系獲得關于傾角的隨機分布數據。為了更好對比各分布之間的差別，本文利用核密度估計對兩種情況下的傾角數據進行非參數估計。

其中 x，x，…，x是獨立同分布F的不同采樣點，f為概率密度函數，K為kernel函數，本文選用高斯核函數，h為帶寬，采用MATLAB中的默認值。

擬合曲線如圖5所示。

圖5 傾角指標θ的分布

圖5中圖例(a)代表車速服從Beta分布2及橋梁損傷情況為損傷工況1。為量化該擬合的優度，引入指標R-square：

各分布及各工況下的擬合效果如表2所示。

不同狀況下的R-square 表2

表2數據顯示，各工況下的擬合優度均超過0.9，即擬合效果良好，所以可以通過分析擬合曲線獲取感興趣的信息。圖5中的擬合曲線已經直觀地展現出損傷前后傾角分布的差異：傾角概率分布密度左側兩個峰值的高低關系發生了置換，同時受損狀況下第三個峰值相對于無損狀況要高。這些變化均表明了在其他條件不變的情況下橋梁已經發生了損傷。

為了量化損傷前后分布曲線的變化，分別計算各分布及各工況下損傷指標Φ的數值，見表3所示。

不同狀況下的損傷指標值 表3

通過上表的數據可知，無論原始車速服從的是四種分布中的哪一種，損傷指標的數值均隨著損傷程度的增大而增大。這是因為隨著損傷程度增大，橋梁產生更大傾角的可能性提高，又結合該損傷指標的構成特點，其數值會隨之變大。為進一步了解該損傷指標的敏感性，本文還計算了各種損傷工況下相對于原始狀態的敏感度，即：

上式中i為第i個工況，Φ為無損情況下損傷指標值。計算結果見表4所示。

損傷指標的敏感性分析 表4

分析表4數據可知，該損傷指標對損傷的敏感程度隨損傷加劇不斷提高，同時與目標分布有關，在服從分布1的情況下對損傷最不敏感，在服從分布3的情況下對損傷最敏感。同時，該指標對1/4跨處產生損傷的敏感性整體上要大于在跨中產生的損傷。

4 總結與展望

本文提出了一種基于概率統計理論的損傷指標，通過數值算例驗證了該指標的有效性，該方法可以根據梁端傾角的統計信息推測橋梁的健康狀況，具有實施方便、簡單易行、結果直觀的優點。通過對統計結果的分析，總結如下：

①橋梁某處發生損傷時，結構自身的剛度減小，在相同行車條件下橋梁的響應會隨之變大，且隨著損傷程度增大，橋梁結構的響應也將進一步變大；

②本文提出的統計指標是對大量橋梁響應數據的統計描述，可以反映鐵路橋梁長期運營所產生海量數據統計特性的改變，并以此為初步判斷損傷產生的依據，指導大量中小跨徑簡支梁橋的運營養護工作；

③本文假設車速服從β分布，通過數值模擬的方式獲取結構在無損狀況下的統計指標，同時設立了多個損傷工況展開對比研究，但缺乏針對實驗或實測數據的驗證，需要進一步研究該統計指標在處理真實響應數據時的適用性，使結論更具有實際的參考價值。