借力基本作圖追溯“平行”之源

孟花維 邢成云

[摘要] 通過展示例題、分析考點，提出教學(xué)構(gòu)想與定位，借助尺規(guī)作圖法，運用逆向思維，在具體實施中使問題開放化，闡釋不同思路下的解題方法，實現(xiàn)對初中學(xué)段相關(guān)平行判定知識、技能的統(tǒng)攝，進而建構(gòu)起學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 尺規(guī)作圖;問題開放化;逆向思維;平行的判定方法

一、呈現(xiàn)例題

下面是小東設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程。

已知：如圖1，直線l及直線l外一點P;

求作：直線PQ，使得PQ∥l。

作法：如圖2，首先，在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B;隨后，在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q;最后，作直線PQ，直線PQ就是所求作的直線。

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形，并完成下面的證明。

本題是2018年北京市中考卷第17題，考查對象是尺規(guī)作圖。本來過直線外一點作已知直線的平行線是基本作圖，新的課標(biāo)將此淡出了，而北京市以此為素材，編擬了這道以閱讀理解為抓手的尺規(guī)作圖題，很有創(chuàng)意。綜觀整個題目可以發(fā)現(xiàn)，它完整展現(xiàn)了尺規(guī)作圖的一般步驟及過程：已知、求作、作法、證明，并填寫作圖依據(jù)。這是對2011年版課標(biāo)提出的“作圖要有根有據(jù)”的積極踐行，也是一種方向性引領(lǐng)。“傅種孫強調(diào)幾何作圖是存在問題的變形，其依據(jù)為存在問題所本的公理體系，就性質(zhì)而言，幾何作圖是幾何事理的另一種表現(xiàn)形式，然其作圖依據(jù)是幾何事理。”[2]這段話揭示了幾何作圖的本質(zhì)，給幾何作圖以功能定位。尺規(guī)作圖不能僅停留在操作層面，更要弄清作圖的因與果以及作圖中的邏輯關(guān)聯(lián)，而這已經(jīng)在各地中考中有所體現(xiàn)，并有遍地開花之勢。

二、教學(xué)構(gòu)想與定位

若將本題定位于上述的題目分析或者說把這道題視為一道幾何作圖題目去解決，則其重心就落在了三角形“中位線”的平行功能探尋上，既窄化了基本作圖方法，又在無形中削弱了作圖本身承載的反扣知識、技法、思想觀念等功能，其價值就大打折扣了。若以此題目的題干為項目，開展探究活動，就給學(xué)生的思維注入了活力，恰如杜威所言：“問題的沖擊與刺激，使心智盡其所能地思索探尋。”這種心智活動趨向調(diào)節(jié)著學(xué)生思維的走向，如此一來，探尋平行之法的活動就啟動了。

基于這些認(rèn)識，筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生展開了全方位的平行方法探尋活動。由于不單單朝向一個方法的解決，這就需要學(xué)生廣泛搜羅，把作圖與計算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動聯(lián)結(jié)起來，對初中學(xué)段相關(guān)的平行方法通過作圖這一動手與動腦聯(lián)袂的實踐活動實現(xiàn)凝聚，以期收到良效。

以上教學(xué)構(gòu)想是朝向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的建構(gòu)活動，它融尺規(guī)作圖、直覺判斷、思維分析于一體。基于這樣的定調(diào)，尺規(guī)作圖就不僅僅是一種操作，更是對數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究過程的追溯。如其中用到逆推的方法，用目標(biāo)圖展開探索，引導(dǎo)學(xué)生先綜合分析基本作圖模型（數(shù)學(xué)建模），借力幾何直觀，預(yù)測、判斷，積淀直觀想象，通過邏輯分析，再進行畫圖操作，進而提升學(xué)生尺規(guī)作圖的綜合能力。因此，本題目的教學(xué)定位是以作圖為載體，啟迪學(xué)生思維，探根覓宗，通透原理，在靈活應(yīng)用基本作圖方法的同時，對初中學(xué)段有關(guān)平行的知識、技法進行應(yīng)用性梳理，形成集成塊，以達到系統(tǒng)化復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的目的。

三、具體實施

直接隱去作法及后面的內(nèi)容，把問題開放化，引導(dǎo)學(xué)生去探尋不同的作法并給出作圖依據(jù)，就能夠放大本題的功能。具體教學(xué)時，可以讓學(xué)生先行獨立嘗試，并鼓勵學(xué)生多法求圖，增加挑戰(zhàn)性。學(xué)生通過自己操作直尺和圓規(guī)，在平行方法追溯的驅(qū)動下，激活自主思維，既能以“過直線外一點作平行線”為抓手，全面復(fù)習(xí)各類基本作圖，又可以在逆向思維的作用下把初中學(xué)段相關(guān)平行判定的知識、技能來一個大盤點，發(fā)揮了尺規(guī)作圖的統(tǒng)攝作用，促進了知識的內(nèi)化，磨礪了思想方法的效能，進而提高了學(xué)生的核心素養(yǎng)。以下呈現(xiàn)課堂教學(xué)實踐中師生對話與交流出來的方法，以期啟發(fā)解題思路。

方法一：如圖3，標(biāo)出∠2，作角等于已知∠2。根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”或“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，用到的是“作角等于已知角”的基本作圖。

方法二：如圖4，兩次“過一點作已知直線的垂線”（第一次過直線l外點P作直線l的垂線AP，而后過點P作直線AP的垂線）。根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行”（或根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”），用到的是“過直線上一點或直線外一點作已知直線的垂線”的基本作圖。

方法三：如圖5，構(gòu)造正方形，一次作垂線段（過直線l外點P作直線l的垂線AP），三次作相等線段（先行在直線l上截取AC=AP，再分別以點C、P為圓心，以AP為半徑畫弧，兩弧交于點D，再過P、D作直線即可）。根據(jù)“正方形的對邊平行”，用到的是“過一點作已知直線的垂線”和“作一條線段等于已知線段”的基本作圖。

方法四：如圖6，作射線PA交直線l于點A，以A為圓心、以AP為半徑作⊙A交射線PA于點B，過點B作l的垂線交⊙A于C，則直線PC即為所求。用到的是“過一點作已知直線的垂線”的基本作圖，根據(jù)“直徑所對的圓周角為直角”和“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”。

最后，梳理方法及其原理，形成方法與原理的對接，把初中學(xué)段平行的判定方法凝聚起來。可見，以基本作圖為基礎(chǔ)，在反復(fù)歷練的基礎(chǔ)上，在尺規(guī)作圖的實踐過程中讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識能夠從不同角度加以分析，從不同層次加以理解，在知法明理的追溯中，增強學(xué)生的探究能力。

四、教后反思

尺規(guī)作圖在描述“運動”、直觀“操作”、問題證明等方面具有不可替代的價值。基謝廖夫的幾何教科書特別注重尺規(guī)作圖。無獨有偶，著名數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》開篇章節(jié)就介紹尺規(guī)作圖，這也從一個側(cè)面說明了尺規(guī)作圖在平面幾何研究中的重要性。[3]2017年6月，代欽教授在中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材國際論壇上也指出“作圖是幾何教育的根基”。這些都給（尺規(guī)）作圖以正名，厘定了作圖的功用，便于教師施之以教，也給了命題評價以正確導(dǎo)向。以上的教學(xué)實踐就是對這句話的實踐性詮釋，從中可以發(fā)現(xiàn)：尺規(guī)作圖扎根于幾何原理，關(guān)乎思維發(fā)展，連接著圖形變換，是實現(xiàn)圖形運動的強有力手段，是動手與動腦的和諧、融合，是一種深層次的“做中學(xué)”，是幾何學(xué)習(xí)的有力助手。它對幾何知識的理解有深化之用，凸顯了思維張力及藝術(shù)魅力。

通過作圖，學(xué)生可以把頭腦中零散的概念和幾何事實具體化、綜合化、融通化，從而更深地領(lǐng)會幾何定理的真諦。另外，它本身的約束力，它的理性與精致，自然增強了智能挑戰(zhàn)性。“數(shù)學(xué)是思維的體操”是尺規(guī)作圖的最佳注腳，它能統(tǒng)攝知識、固本結(jié)構(gòu)、歷練學(xué)生思維，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維乃至理性精神的優(yōu)質(zhì)載體，是科學(xué)和藝術(shù)的完美結(jié)晶[4]，可謂數(shù)學(xué)“真善美”的集中體現(xiàn)。

[參考文獻]

[1]王亮亮.中考數(shù)學(xué)（北京卷）評價改革再述[J].數(shù)學(xué)通報，2018（10）：48-52.

[2]張彩云，代欽.傅種孫幾何作圖思想探析[J].數(shù)學(xué)通報，2019（01）：1-7，40.

[3]倪明，任念兵.俄羅斯再版基謝寥夫幾何教科書給我們的啟示[J].數(shù)學(xué)通報，2018（10）：4-8.

[4]樂嗣康，崔雪芳，張奠宙.尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)代意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005（12）：7-9.