深度學習下的概念課教學思考
——基于“指數函數及其性質”（第1課時）課例分析

劉文浩

(廣東省平遠縣梅青中學 廣東梅州 514600)

前不久，筆者在參加廣東省教師素質能力培訓中有幸參加了東莞教育局教研室組織的同課異構活動，雖然同是一節“指數函數及其性質”（第1課時）的概念課，但不同的教學處理方式給我留下了深刻的印象。其中一位老師在課堂中巧妙地把學生已有知識和經驗進行有機聯系，再通過合理的教學設計，使學生進入了主動探究的學習狀態，展現了“大膽猜想—合作探索—反思歸納—綜合應用”的課堂教學模式，這也是當前教育研究中熱點之一——“深度學習”理念的一次生動課堂教學應用。

一、問題的提出

隨著國家新課程改革的全面推進，讓越來越多的教育者意識到我們的課堂教學需要更注重學生的核心素養，更加強調提高學生主動學習和綜合運用知識解決實際問題的能力。然而，幾十年的教育改革并沒有提升學生在課堂中的專注力、參與性和多樣性。當前，高中學生學習數學仍然處于方式被動、效率低下、缺乏熱情的狀態。因此，廣大教育者都在尋找出路，嘗試突破這種困境。深度學習也在此背景下應運而生。在高中數學課堂中，尤其是在概念課中深度學習又該如何呈現呢？

二、深度學習在課堂教學中的實施

在這節“指數函數及其性質”（第1課時）課程中，教師首先應了解指數函數是高中階段學習的第一個基本初等函數，在它之前學生已經學習了函數的概念、函數的性質（定義域、單調性、奇偶性和最值）及指數運算。本節課對一種具體函數的研究方法也對下面對數函數和冪函數的研究提供了基礎和借鑒，這也符合深度學習的內在要求。因為深度學習要求教學者打破原有的教材框架，站在整個知識體系中挖掘知識點之間的內在聯系，并在課堂教學中組織學生參與合作探究，引導學生在學習中敢于猜想，勤于反思，謹于歸納，善于運用[2][3]。

（一）理清概念，追本溯源——認識指數函數

1.設置情境，讓學生感受指數函數的“爆炸式”增長，激發學生主動學習新知的興趣。

師：每位同學帶根繩子，如果讓1號同學準備2毫米，2號同學準備4毫米，3號同學準備6毫米，4號同學準備8毫米，5號同學準備10毫米……按這樣的規律，50號同學該準備多少毫米？

學生回答完后教師公布事先估算的數據：50號同學該準備100毫米，也就是10厘米，大約半個直尺長。

師：如果改成讓1號同學準備2毫米，2號同學準備4毫米，3號同學準備8毫米，4號同學準備16毫米，5號同學準備32毫米……按這樣的規律，50號同學該準備多少毫米？

師：大家能否估計一下50號同學該準備的繩子要有多長嗎？

教師公布事先估算的數據：50號同學所需準備的繩子約長112589990684262毫米。

師：1 1 2 5 8 9 9 9 0 6 8 4 2 6 2 毫米是多長呢？約等于112589990.684262千米，也就是約1.1億千米，這又是什么概念呢？這就是說50號同學所需準備的繩子相當于繞地球約2814圈！

設計意圖：通過一個看似簡單又能讓同學參與的小活動，為引出指數函數的概念做準備；同時通過與一次函數的對比讓學生感受指數函數的爆炸式增長，激發學生學習新知的興趣和欲望。

在以上兩個問題中，每位同學所需準備的繩子長度用y表示，每位同學的座號數用x表示，y與x之間的關系分別是什么？學生很容易得出y=2x(x∈N*)和y=2x(x∈N*)。

2.課前練習（細胞分裂問題；木錘取半問題；經濟增長問題；碳14衰減問題），學生總結。

設計意圖：通過一系列的實例引入，為引出正整數指數函數y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)作準備，以有利于學生體會指數函數是刻畫增長率的一種函數模型，這也是對數學核心素養之一“數學建模”的一次認識。

3.通過以上四個函數模型的表達式，從式子結構上看有什么共同特征？

設計意圖：通過四個函數模型在結構上、底數上的取值等共同特征，提煉出正整數指數函數的概念。同時在教學中也很好地簡要說明了底數的取值規定。

分析：能在直觀感受的基礎上，認識指數函數的增長速度。同時通過對實際問題進行數學抽象，構建數學模型，結合前面已經學過的指數式很好地過渡到正整數指數函數，從而讓學生在歸納時不會顯得慌亂而盲目，這也通過追本溯源，理清了指數函數的概念緣由，為學生的深度學習找到了起點[4]。

（二）師生探究，類比猜想——了解指數函數

從實踐的視角出發思考“深度學習如何開展”，下面將從具體的教學環節作出如下的設計：

1.提出兩個問題：（1）研究函數一般可以包括哪些方面？（2）研究函數可以從什么角度？用什么方法去研究？

設計意圖：讓學生在研究指數函數時有明確的目標：函數三個要素（對應法則、定義域、值域、）和函數的基本性質（定義域、值域、單調性、奇偶性）。

函數的研究方式多種多樣，比如可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行研究；也可以用列表法研究函數，但今天我們所學的函數用列表法不易得出此函數的性質，可見具體問題要選擇適當的方法來研究才能事半功倍。

設計意圖：讓學生知道圖象法不是研究函數的唯一方法，由此引導學生可以從圖象和解析式（包括列表）不同的角度對函數進行研究；對學生進行數學思想方法（從一般到特殊再到一般、數形結合、分類討論）的有機滲透。

2.引導學生先從具體的函數y=2x(x∈N*)的圖象特征入手，分析函數的定義域、值域、單調性、奇偶性和最值等性質，并推廣到一般情形y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)的圖象特征，重點突出了兩個特征：離散、單調遞增或遞減(0＜a＜1)，體會底數a對函數y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)的圖象性質影響。

設計意圖：讓學生經歷從特殊到一般，體會研究函數圖象性質的一般思路：具體函數—圖象性質—拓展推廣—一般函數圖象性質—操作驗證。

3.將指數從整數擴充到一般實數得到教材中指數函數的定義。

4.課堂練習一。

設計意圖：通過對指數函數的判斷，將指數運算性質與指數函數進行聯系，進一步加深學生對指數函數定義和本質的理解。

分析：本教學環節通過對正整數指數函數到一般指數函數的過渡，充分考慮到了知識的生成與發展過程和學生的認知規律。要讓學生找到深度學習的狀態需要教師先進入深度教學的狀態，這就需要教師對教材內容，學生的認知有著深入的分析與理解。從教育心理學的角度來說就是通過理解數學、理解學生來找到學生的“最近發展區”[5]。

（三）分組活動，合作學習——理解指數函數

活動方案：

1.下面我們就通過類比正整數指數函數的圖象性質研究過程對一般指數函數進行研究。

（2）每一大組再分為兩個合作小組；

（3）每組都將研究所得到的結論寫出來，并派一位代表上臺交流。

設計意圖：通過分組活動、合作學習不僅能讓學生充當學習的主人，更可加深學生對所得到結論的理解。

2.交流、總結。

設計意圖：讓學生通過對圖象的研究看出函數的一些性質，當然，也要讓學生知道研究一個具體的函數可以從多個角度入手，如通過對解析式的研究；讓學生上臺總結探究成果，可以讓學生體會成就感，同時還可訓練其對數學問題的分析和表達能力，培養其數學素養；讓學生再次經歷從特殊到一般的過程，體會具體函數的圖象特征，歸納性質。然后將其推廣到一般情況，體會底數a對指數函數的圖象性質的影響。師生通過幾何畫板演示底數取值變化時，函數y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)圖象的變化情況，驗證猜想，歸納性質。

師生共同總結指數函數的圖象和性質，教師可以邊總結邊板書（表格呈現）。

分析：《新課標》指出“自主探索與合作交流是數學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。”同時，交流與合作也是進行深度學習需要的重要素養。專門研究深度學習達成的美國研究機構威廉和弗洛拉林休伊特基金認為：深度學習需要的素養和目標至少涵蓋以下幾個方面的內容：第一，掌握核心的學業內容；第二，批判性思維以及復雜的問題解決技能；第三，有效的交流技能；第四，合作技能；第五，理解如何學習；第六，學術思維模式。可見，在課堂教學中更加科學合理地組織開展交流探討活動是必不可少的，這也是學生積累基本實踐活動經驗的重要途徑之一[6]。

（四）綜合應用，鞏固提升——運用指數函數

1.例題解析，運用指數函數的單調性比較兩個值的大小。

2.課堂練習二：（1）不等式3x＞31-2x中的x的取值范圍是____ __________。

（2）ax＞a1-2x(a＞0，a≠1)中x的取值范圍是____________。

設計意圖：讓學生通過對比例題中的兩個值的同底和不同底實數的特征，構造相應的指數函數，通過指數函數的單調性、圖象轉化為兩個函數值的大小問題進行解決，體會函數思想的應用。而拓展練習則通過不同難易梯度，逐步提升鞏固學生對所學知識的運用能力。

分析：學生在例題講解及課堂練習過程中把所學的新舊知識進行遷移應用，并在一次次的遷移應用中不斷形成數學學習習慣和思考能力，這樣可進一步促進學生數學思維的發展。上海師范大學黎加厚教授對深度學習的定義中指出：“深度學習就是在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情景中，作出決策和解決問題的學習。”因此，在課堂教學實施中教師在對例題和練習的選取時應該考慮知識的可遷移性及拓展性[1]。

三、深度學習在課堂教學中的思考

（一）把握深度學習的關鍵，開展主體性探究學習

深度學習下的學習者能深度理解知識信息，主動完成知識體系的建構，并具備遷移與應用的能力。新課程標準提出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式……數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”[7]。

在理解指數函數的圖象及其性質這一教學環節中，教師充分給學生自主的時間和空間，首先分成兩大組，然后根據學生自愿再自由組合成四小組，并讓不同小組的學生合作畫圖和運用幾何畫板驗證結論，讓每位學生都參與進來，充分發揮學生的合作意識。還有讓每組學生通過自主討論，總結成果，并民主推薦一位同學匯報成果，讓所有的知識都是學生通過自主學習獲取。

（二）促進深度學習的有效教學，開展問題驅動設計策略

讓學生主動參與學習的探究過程，必須激發學生內在驅動下的積極性。那么，問題驅動是激發學生學習興趣，促進深度學習的重要途徑。

在本節課例中，我們可以發現，不管是情境的引入，還是從特殊的正整數指數函數到一般的指數函數的過渡。教師都很好地通過問題的驅動對知識的建構進行了層層遞進，逐步深入。把教學難點進行了自然分解，得到了很好的突破。

本節課還有個最大特點，就是充分尊重知識的生成與發展過程及學生的認知規律，并且重視通過學生畫圖操作發展學生的探索能力，讓學生經歷科學發現的過程，這使深度學習理念在本節課得到了充分體現，學生的學習興趣很濃，整節課都在積極思考，教學效果很好。

數學學習不僅是對某一知識的掌握，而是培養學生的數學能力，讓學生學會用數學的眼光看世界，用數學的語言表達世界，用數學的思維思考世界。這就需要教師在教學中轉變觀念，還學生學習中的主體地位，給學生一個深度學習的機會。