千里鶯啼綠映紅 杏壇思索處處春
——淺談數學問題的有效設計

毛葆媛

(江山市石門初級中學 浙江衢州 324100)

有效數學問題是指能有效促進學生發展，有效實現預期教學結果的數學問題。有效數學問題的設計包含數學教師對題目的有效設計和對提問的有效設計。在課堂教學中教師設計的數學問題要盡可能多地為學生提供觀察、操作、交流的機會，引導學生進行積極的思考，提高學生的數學思維能力和數學學習能力，有效課堂教學依賴于教師對問題的有效設計[1]。讓我們先看下面的案例：

案例：某九年級“相似三角形”的復習課上，A教師在簡單復習了相似三角形邊與角的關系后，直接給出例題：

在矩形ABCD中，AB=5，AD=2，E是DC上的一點且DE=4，連接AE并延長，交BC的延長線于點F。

（1）求線段FC的長。

（2）連結BE，求證：△ADE∽△ECB。

（3）判斷△ABE的形狀，并說明理由。

分析：從A教師設計的題目來看，教師機械地讓學生復習了三角形全等判定的條件后馬上出示例題，整個題目通過媒體直接投影呈現，模式單一，很難引起學生的共鳴和興趣。教師就題論題，學生難以理解教師設計此題的目的，學生也純粹為了解題而解題。對于第（2）小題相似的證明，教師并未考慮到學生的原有水平，由于學生習慣用“角等”來判定相似，沒有前序的準備，很多學生都沒有想到用邊的關系來證明，因此在解題時存在障礙。

從A教師的課堂提問來看，提問方式比較陳舊，在第（2）小題，教師為了說明證明相似除了找角等的方法外還有找對應邊成比例的方法，于是向學生提問：“找角好找嗎？不好找我們試試邊，可以嗎？”我想，對于這個問題，教師可以這樣處理：先請學生來找相似的條件，若學生找不到，再提問：“你為什么找不到呢？”“判定三角形相似的條件有哪些？”“你是從哪個角度出發思考問題的？”“我們可以試試其他方法嗎？”學生通過這些問題的解決可以自己發現解題方法，能夠提高學生的學習主動性。

可見，有效的問題設計應該以學生為本，教師要善于根據教學內容和學生實際，設計有價值、有效果的數學問題。教學中設計有效的問題是實現有效教學目的的重要方法，是成就精彩課堂的必要因素。因此，在教學過程中，如何設計有效的數學問題值得我們經常思索，以下筆者就這個問題談談自己一些膚淺的看法。

能有效促進學生發展的數學問題才是有效的數學問題，而類比型問題和探究型問題能有效地提高學生的學習能力；開放型問題和動態型問題能有效提高學生的思維水平。因此，在課堂教學中，設計類比型、探究型、開放型問題是教師設計有效數學問題經常采用的途徑。

一、通過設計類比型問題，培養學生的聯想、歸納能力

數學知識具備很強的外擴性，而新擴知識經常與擴前知識有許多類似之處。記得在“一元二次方程的解法（1）”的備課中，對于“教完開平方法后，如何引出配方法？”我總感覺找不到有效的解決途徑。最后只能按書本上的方法，給出方程x2=10x+16=0，然后提問：能用因式分解或開平方法解嗎？你能轉化成(x+a)2=b的形式嗎？引導學生用開平方法解。但是，我感覺這樣的問題設計使得學生對于開平方法和配方法共性的認識很被動。后來，在一次聽課過程中，我大受啟發，該教師的問題設計有效地解決了我的困惑[2][3]。

圖1

問題1：如圖，上述四個圖形能否拼成一個大正方形？（很多拼法：如圖1）問題2：若大正方形的面積為121，能否列出一元二次方程？學生得到兩個不同形式的一元二次方程：(x+3)2=121①；x2+6x+9=121 ②

問題3：你喜歡解哪個方程？（學生選擇用直接開平方法解第①個方程）

問題4：那第②個方程該如何解？（學生回答：轉化成①的形式然后求解）

該教師在問題的設計中滲透數形結合的思想方法，把同一個方程的兩種不同形式放在一起進行類比，學生很自然地聯想到舊知，教師輕松地導出了配方法。通過教師的精心設計，學生經歷了知識產生的過程，主動認識到開平方法和配方法的關系，自發地對知識進行歸納和總結。因此，通過設計類比型問題，可以培養學生的聯想、歸納能力。

二、通過設計探究型問題，培養學生的創新、實踐能力

《數學課程標準》強調要“培養學生的創新意識、實踐能力”。探索型問題要求學生自己搜集資料、自己觀察、自己分析、自己總結。因此，教師設計探究型問題，可以引導學生積極思考，提高學生發現問題的創新能力和解決問題的實踐能力[4]。

學生證明完畢后，教師再引導學生思考：

點P在其他位置上結論仍成立嗎？

這就成為了一個很好的探究題。

探究問題1：若點P過一條對角線，而不過另一條對角線，結論是否仍成立？

探究問題2：若點P為平行四邊形內任意一點，結論是否仍成立？

探究問題3：若點P在平行四邊形的外部，結論是否仍成立？

學生在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過程中，理解了數學問題的提出、數學概念的形成、數學結論的獲得與驗證。設計探究型問題，其實質上是讓學生學習科學研究的思維方式和研究方法，從而培養學生主動探究、獲取知識、解決問題的能力。學生在主動探索知識的過程中培養了創新意識；在運用知識解決問題的實踐活動中發展了實踐能力。

三、通過設計開放型問題，培養學生積極、發散的思維

新課改要求，教師在教學中對不同的學生要作不同的要求，學生可以根據自己的情況有選擇性、有目的性地學習。因此，教師設計的數學問題，要能促進不同層次的學生都能在原有基礎上進一步發展與提高。設計開放性的問題，達到了為更多學生提供思考和表現機會的目的，激發了不同層次學生思維的活躍性[5]。

記得以前在一元二次方程解法的復習課上，我直接給學生幾個一元二次方程，然后讓學生采用合適的方法來求解方程。但是，這樣的教學方式不但打擊了學生思維的積極性和活躍度，還禁錮了學生的思維，使學生永遠跳不出教師的“五指山”。思考之后，我重新設計了一個開放性題目：在下面的3個方框內填上你喜歡的數，編出一個一元二次方程：

□x2+□x+□=0

用你認為最合適的方法來解你所編的一元二次方程，請將結果與大家分享。

這個例題通過讓學生填上自己喜歡的數，體現了學生的自主性。學生填的數很多，可以得到許多不同的一元二次方程。由于它們的難易程度不同，因此每個學生都有表現自己的機會，通過他們積極的思考，每個學生都在原有的水平上對知識加深了理解，使思維得到了一定程度的發展。顯然，這樣的問題設計比原來的問題設計更加合理有效。

總之，數學問題是教學思維的動力，并為思維提供了方向。在課堂教學中，教師要不斷地給學生提出新的數學問題，為更深入的數學思維活動提供動力，使數學思維活動持續不斷地向前發展。但課堂教學不能誤以為就是問題的羅列，數學教師也不能只追求課堂上一問一答的形式上的熱熱鬧鬧，而應該選擇“有效”的問題，在“適當”的時候提出，這需要教師在設計問題的過程中不斷思考。我想，若每位教師都能要求自己經常思考，那我們的教育定會呈現出一片春光明媚！